计算机数学基础一求导方法市公开课一等奖省赛课获奖课件

2024/4/1311.4

求导方法

本节内容1.4.1按定义求导数1.4.2导数四则运算法则1.4.3复合函数求导法则1.4.4求导例题1.4.5隐函数求导法

第1页2024/4/132例1-23

求函数f(x)＝sinx导数。解1.4.1按定义求导数第2页2024/4/133续解即对于任意x∈R， 用类似方法能够得到，对于任意x∈R，1.4.1按定义求导数（续一）第3页2024/4/134例1-24

求函数f(x)＝logax(a＞0,a≠1)导数。解1.4.1按定义求导数（续二）第4页2024/4/135续解即对任意x＞0，尤其地，对任意x＞0，1.4.1按定义求导数（续三）第5页2024/4/136定理1-7设函数u＝u(x)和v＝v(x)在点x处都可导，则 （1-21） （1-22） （1-23）注意：1.4.2导数四则运算法则

第6页2024/4/137尤其地，假如法则（1-22）中v(x)＝c

（c是常数），因，有 （1-24）假如法则（1-23）中u(x)=1，有

（1-25）1.4.2（续四）第7页2024/4/138求以下函数导数.例1:例2:例3例4:第8页2024/4/139例5求导数。第9页2024/4/1310课堂练习求以下函数导数第10页2024/4/1311第11页2024/4/1312思索求以下函数导数第12页2024/4/1313定理1-8

设y＝f(u)，u＝g(x)，且u＝g(x)在点x处可导，

f(u)在对应点u处可导，则复合函数y＝f[g(x)]在点x处可导，且 （1-26）

或写成 （1-27）

1.4.3复合函数求导法则

第13页2024/4/1314显然，复合函数求导法则（1-26）或（1-27）能够推广到多个函数复合情形。比如，假如y＝f(u)，u＝g(v)，v＝h(x)，满足定理1-8条件，则有 上式右端按y→u→v→x次序求导，通常称为链式法则。

1.4.3（续一）第14页2024/4/13151.4.3（续二）例1求y=sin6x导数。

例2求函数导数。第15页2024/4/1316对于幂函数有比较常见情况第16页2024/4/1317练习求以下函数导数：第17页2024/4/1318(1)(c为常数) (2)(3) (4)(5) (6)基本初等函数导数公式

第18页2024/4/1319(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)（续）第19页2024/4/1320例1

求以下函数导数（其中只有x、t是自变量）：（1） （2）（3）（4）1.4.4求导例题

第20页2024/4/1321（1）解这一类函数特点是：分母只是幂函数。对这类函数用负指数最简便，假如用函数相除求导公式（3）也能够解，但比较麻烦。

1.4.4求导例题（续一）

第21页2024/4/1322（2）解对括号若干次方这一类函数求导用复合函数求导法则最简便，普通不要把括号展开。1.4.5求导例题（续二）

第22页2024/4/1323（3）解（4）解1.4.4求导例题（续三）

第23页2024/4/1324例2

（1），求。解1.4.4求导例题（续四）

第24页2024/4/1325练习求以下各函数导数第25页2024/4/13261.4.5隐函数求导法

凡是因变量y用自变量x表示式表示函数y＝f(x)称为显函数。前面介绍求导法适合用于显函数。但有时两个变量之间函数关系由一个方程F(x,y)＝0确定，这种由方程所确定函数称为隐函数。有些隐函数能够变换为显函数，但也有不能变换为显函数。对隐函数求导就是把其中一个变量看成另一个变量函数（即使并没有用显式表示）。第26页2024/4/13271.4.4隐函数求导法（续一）例1

求由方程xy＋y－x－8＝0所确定函数导数。解方法1

变换为显函数，所以 （a）方法2

原方程两边分别对求导（注意：y是x函数），得 所以（b）第27页2024/4/1328例1-32

用隐函数求导法求函数y＝arcsinx导数。解将y＝arcsinx改写成x＝siny

，两边对x求导，得 因为函数y＝arcsinx定义域是[－1,1]，值域是，所以cosy≥0，所以 即

1.4.4隐函数求导法（续二）第28页29仿此题能够证实例2

求椭圆在点处切线方程。解把椭圆方程两边分别对求导，有 从而有

1.4.4隐函数求导法（续三）第29页30续解将代入上式得 将相关数据代入切线方程（1-20）得 整理后得1.4.4隐函数求导法（续四）第30页31续解将代入上式得 将相关数据代入切线方程（1-20）得 整理后得1.4.4隐函数求导法（续四）第31页32补充：导数应用一、函数单调性应用由导数几何意义知（其中a为曲线f(x)在点x0处切线与x轴正向夹角）。由图可知，若f’(x0)>0，则曲线切线倾角a都是锐角，函数f(x)单调递增；若f’(x0)<0,则曲线切线倾角a都是钝角，函数f(x)单调递减。所以，能够利用导数正负来判断函数单调性。第32页33函数单调递增。夹角内，切线与在轴正方向，斜率为正，即第33页34函数单调递减。夹角内，切线与在轴正方向，斜率为负，即第34页35例1判断函数在上单调性。所以由定理可知，函数在上单调增加。，，例2内，解在在和内函数单调降低。第35页36判断函数单调性普通步骤：（1）给出函数定义域；（2）求一阶导数，用一阶导数根和一阶导数不存在点来划分定义区间；（3）判定一阶导数在每个子区间上符号。第36页37实例例1讨论单调性解：先求出f(x)函数导数，经过考虑导数正负来判定函数单调性。因为此函数定义域是R，而当，函数f(x)单调递减；当x<-1或,x>2时，