2022年湖南省湘潭市县白石乡联校马家堰中学高二数学文上学期摸底试题含解析

2022年湖南省湘潭市县白石乡联校马家堰中学高二数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知Ｐ是抛物线上的一个动点，则点Ｐ到直线和的距离之和的最小值是（）Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4参考答案：C略2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石参考答案：B【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．3.“”是“”的(

)A．充分不必要条件

B.必要不充分条件C．充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4.已知是实数，则“且”是“且”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C5.庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有A．36种

B．42种

C．48种

D．54种参考答案：B6.参考答案：D7.在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则二等品中A被抽取到的概率为()A．

B．

C．

D．不确定参考答案：A略8.

用若干单位正方体搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值和最小值分别为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A9.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有()A．30种

B．36种

C．42种

D．48种参考答案：C10.已知向量，且的夹角为钝角，则在平面上，点所在的区域是（

）参考答案：A，，的夹角为钝角，由=知则，等价于或，则不等式组表示的平面区域为A. 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若向量，，，满足条件，则

．参考答案：．12.曲线在点处的切线方程为--------

参考答案：略13.各项均不为零的等差数列中，则等于（

）

A．2009

B．4018

C．4024

D．1006参考答案：C略14.在极坐标系中，点到直线的距离是______．参考答案：【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【详解】解：在极坐标系中，点（2，）化为直角坐标为（，1），直线ρsin（θ﹣）＝1化为直角坐标方程为x﹣y+2＝0，（，1）到x﹣y+2＝0的距离d＝，所以，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）＝1的距离为：1。故答案为：1.【点睛】本题考查直角坐标和极坐标的互化，点到直线的距离公式，体现了等价转化的数学思想．15.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C=度． 参考答案：120【考点】正弦定理． 【专题】计算题；转化思想． 【分析】利用正弦定理可将sinA：sinB：sinC转化为三边之比，进而利用余弦定理求得cosC，故∠C可求． 【解答】解：∵由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c， ∴a：b：c=7：8：13， 令a=7k，b=8k，c=13k（k＞0）， 利用余弦定理有cosC===， ∵0°＜C＜180°， ∴C=120°． 故答案为120． 【点评】此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求角，体现了正、余弦定理的综合运用． 16.已知数列的前项和为，若(是常数)，则数列是等比数列的充要条件是

.

参考答案：略17.已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为．参考答案：7【考点】基本不等式．【分析】由题意可得y=，整体代入变形可得x+y=x﹣1++3，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy=2x+y+2，∴y=，∴x+y=x+=x﹣1++1=x﹣1++3≥2+3=7当且仅当x﹣1=即x=3时取等号，故答案为：7．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

参考答案：略19.（本小题满分12分）已知复数，求实数使参考答案：解：，……………….2分

……….4分……….6分…………….……………….……………….8分解得……………….……………….……………….12分

略20.已知动圆M过定点F（1，0），且与直线x=﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）过点F且斜率为2的直线交轨迹C于S，T两点，求弦ST的长度；（3）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（1）根据抛物线的定义和题设中的条件可知点M是以F（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，进而求得抛物线方程．（2）直线方程为y=2（x﹣1），代入y2=4x，可得x2﹣3x+1=0，利用抛物线的定义，即可求弦ST的长度；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0．利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB，可化为化为4+y1y2=0．又直线PQ的方程代入化简整理为y（y1+y2）+4=4x，令y=0，则x=1即可得到定点．【解答】（1）解：由已知，点M到直线x=﹣1的距离等于到点（1，0）的距离，所以点M是以F（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，∴点M的轨迹方程为y2=4x；（2）解：直线方程为y=2（x﹣1），代入y2=4x，可得x2﹣3x+1=0，设S（x1，y1），T（x2，y2），则x1+x2=3，∴|ST|=x1+x2+2=5；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0．∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=﹣kQB，∴化为4+y1y2=0．直线PQ的方程为y﹣y1=（x﹣），化为y（y1+y2）+4=4x，令y=0，则x=1，∴直线PQ过定点（1，0）【点评】本题综合考查了抛物线的定义与标准方程、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于中档题．21.甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（1）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望；（2）求乙至多投中2次的概率；（3）求乙恰好比甲多投进2次的概率．参考答案：（1）见解析；（2）（3）【分析】（1）甲投中的次数服从二项分布，利用二项分布的特征直接求解。（2）用减去乙投中次的概率即可得解。（3）乙恰好比甲多投进2次可分为：乙恰投中2次且甲恰投中0次，乙恰投中3次且甲恰投中1次，利用独立事件同时发生的概率公式计算即可得解。【详解】解：（1）的可能取值为：0,1,2,3的分布列如下表：0123p

所以（2）乙至多投中2次的概率为．（3）设乙比甲多投中2次事件，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件，则，、为互斥事件所以乙恰好比甲多投中2次的概率为．【点睛】本题主要考查了二项分布的分布列及期望计算，还考查了分类思想及独立事件同时发生的概率，考查计算能力，属于中档题。22.（本小题共14分）已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，

AB=2，E、F分别是AB、PD的中点.（1）求证：AF//平面PEC；（2）求PC与平面ABCD所成角的正切值；

参考答案：解法一：（1）取PC的中点O，