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文档简介
2023-2024学年江苏省无锡市锡山高级中学高考数学五模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,.若分别是棱上的点,且,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.2.已知函数,若函数的所有零点依次记为,且,则()A. B. C. D.3.已知集合,,若,则()A.4 B.-4 C.8 D.-84.如图,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B. C. D.5.已知复数满足,则的共轭复数是()A. B. C. D.6.已知函数则函数的图象的对称轴方程为()A. B.C. D.7.一袋中装有个红球和个黑球(除颜色外无区别),任取球,记其中黑球数为,则为()A. B. C. D.8.已知全集,集合,,则阴影部分表示的集合是()A. B. C. D.9.已知函数,若关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围是()A. B.C. D.10.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.11.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()A. B.C. D.12.设为等差数列的前项和,若,,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,,,的夹角为30°,,则_________.14.三棱柱中,,侧棱底面,且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上,则球的表面积的最小值为_____.15.正项等比数列|满足,且成等差数列,则取得最小值时的值为_____16.设集合,(其中e是自然对数的底数),且,则满足条件的实数a的个数为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设直线与抛物线交于两点,与椭圆交于两点,设直线(为坐标原点)的斜率分别为,若.(1)证明:直线过定点,并求出该定点的坐标;(2)是否存在常数,满足?并说明理由.18.(12分)已知两数.(1)当时,求函数的极值点;(2)当时,若恒成立,求的最大值.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(m为参数),以坐标点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)已知点M(2,0),若直线l与曲线C相交于P、Q两点,求的值.20.(12分)已知是抛物线:的焦点,点在上,到轴的距离比小1.(1)求的方程;(2)设直线与交于另一点,为的中点,点在轴上,.若,求直线的斜率.21.(12分)已知函数,.(1)求函数在处的切线方程;(2)当时,证明:对任意恒成立.22.(10分)已知矩阵不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
建立空间直角坐标系,利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为,建立空间直角坐标系如下图所示.所以,所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法,属于中档题.2、C【解析】
令,求出在的对称轴,由三角函数的对称性可得,将式子相加并整理即可求得的值.【详解】令,得,即对称轴为.函数周期,令,可得.则函数在上有8条对称轴.根据正弦函数的性质可知,将以上各式相加得:故选:C.【点睛】本题考查了三角函数的对称性,考查了三角函数的周期性,考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.3、B【解析】
根据交集的定义,,可知,代入计算即可求出.【详解】由,可知,又因为,所以时,,解得.故选:B.【点睛】本题考查交集的概念,属于基础题.4、D【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离,再加上侧面三角形的高,即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为,球心为,由题意,球的体积为,即可得球的半径为1,又由边长为的正方形硬纸,可得圆的半径为,利用球的性质可得,又由到底面的距离即为侧面三角形的高,其中高为,所以球心到底面的距离为.故选:D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及球的性质的综合应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与计算能力,属于基础题.5、B【解析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由,得,所以.故选:B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则,考查了复数的共轭复数的定义,属于基础题.6、C【解析】
,将看成一个整体,结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知,,令,得.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题,在处理余弦型函数的性质时,一般采用整体法,结合三角函数的性质,是一道容易题.7、A【解析】
由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,则,,,.因此,随机变量的数学期望为.故选:A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算,考查计算能力,属于基础题.8、D【解析】
先求出集合N的补集,再求出集合M与的交集,即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由,,可得或,又所以.故选:D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合,集合的交集和补集的运算,属于基础题.9、B【解析】
利用换元法设,则等价为有且只有一个实数根,分三种情况进行讨论,结合函数的图象,求出的取值范围.【详解】解:设,则有且只有一个实数根.当时,当时,,由即,解得,结合图象可知,此时当时,得,则是唯一解,满足题意;当时,此时当时,,此时函数有无数个零点,不符合题意;当时,当时,,此时最小值为,结合图象可知,要使得关于的方程有且只有一个实数根,此时.综上所述:或.故选:A.【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法,数形结合是解决本题的关键.10、A【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.11、D【解析】构造函数,令,则,由可得,则是区间上的单调递减函数,且,当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.12、C【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式,判断出最小时的值,由此求得的最小值.【详解】依题意,解得,所以.由解得,所以前项和中,前项的和最小,且.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算,考查等差数列前项和最值的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
由求出,代入,进行数量积的运算即得.【详解】,存在实数,使得.不共线,.,,,的夹角为30°,.故答案为:1.【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算,属于基础题.14、【解析】
分析题意可知,三棱柱为正三棱柱,所以三棱柱的中心即为外接球的球心,设棱柱的底面边长为,高为,则三棱柱的侧面积为,球的半径表示为,再由重要不等式即可得球表面积的最小值【详解】如下图,∵三棱柱为正三棱柱∴设,∴三棱柱的侧面积为∴又外接球半径∴外接球表面积.故答案为:【点睛】考查学生对几何体的正确认识,能通过题意了解到题目传达的意思,培养学生空间想象力,能够利用题目条件,画出图形,寻找外接球的球心以及半径,属于中档题15、2【解析】
先由题意列出关于的方程,求得的通项公式,再表示出即可求解.【详解】解:设公比为,且,时,上式有最小值,故答案为:2.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算,中档题.16、【解析】
可看出,这样根据即可得出,从而得出满足条件的实数的个数为1.【详解】解:,或,在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象,由图可知与无交点,无解,则满足条件的实数的个数为.故答案为:.【点睛】考查列举法的定义,交集的定义及运算,以及知道方程无解,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(0,2);(2)存在,理由见解析【解析】
(1)设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直线过定点(2)由斜率公式分别求出,,联立直线与抛物线,椭圆,再由根与系数的关系得,,,代入,,化简即可求解.【详解】(1)证明:由题知,直线l的斜率存在且不过原点,故设由可得,.,,故所以直线l的方程为故直线l恒过定点.(2)由(1)知设由可得,,即存在常数满足题意.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系,直线过定点问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.18、(1)唯一的极大值点1,无极小值点.(2)1【解析】
(1)求出导函数,求得的解,确定此解两侧导数值的正负,确定极值点;(2)问题可变形为恒成立,由导数求出函数的最小值,时,无最小值,因此只有,从而得出的不等关系,得出所求最大值.【详解】解:(1)定义域为,当时,,令得,当所以在上单调递增,在上单调递减,所以有唯一的极大值点,无极小值点.(2)当时,.若恒成立,则恒成立,所以恒成立,令,则,由题意,函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以所以,所以,故的最大值为1.【点睛】本题考查用导数求函数极值,研究不等式恒成立问题.在求极值时,由确定的不一定是极值点,还需满足在两侧的符号相反.不等式恒成立深深转化为求函数的最值,这里分离参数法起关键作用.19、(1)l:,C方程为;(2)=【解析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】(1)曲线C的参数方程为(m为参数),两式相加得到,进一步转换为.直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1,则转换为直角坐标方程为.(2)将直线的方程转换为参数方程为(t为参数),代入得到(t1和t2为P、Q对应的参数),所以,,所以=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.20、(1)(2)【解析】
(1)由抛物线定义可知,解得,故抛物线的方程为;(2)设直线:,联立,利用韦达定理算出的中点,又,所以直线的方程为,求出,利用求解即可.【详解】(1)设的准线为,过作于,则由抛物线定义,得,因为到的距离比到轴的距离大1,所以,解得,所以的方程为(2)由题意,设直线方程为,由消去,得,设,,则,所以,又因为为的中点,点的坐标为,直线的方程为,令,得,点的坐标为,所以,解得,所以直线的斜率为.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点,斜率问题时,可采用韦达定理或“点差法”求解.21、(1)(2)见解析【解析】
(1)因为,可得,即可求得答案;(2)要证对任意恒成立,即证对任意恒成立.设,,当时,,即可求得答案.【详解】(1),,,函数在处的切线方程为.(2)要证对任意
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