利用导数研究函数的综合问题课件高二下学期人教A版选择性

拓展：第2课时利用导数研究函数的综合问题第五章

一元函数的导数及其应用题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解1.函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.3√解：由题意得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<－2；令f′(x)<0，得－2<x<2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2,2)，所以函数的极大值为f(－2)＝0，极小值为f(2)＝－32，当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)>0，所以函数的零点个数为2.2.方程(x＋1)ex＝a(a>0)解的个数为A.3B.2C.1D.0√题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解解：设f(x)＝(x＋1)ex，所以f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，当x>－2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x<－2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)>0.函数f(x)的大致图象如图所示，因为a>0，所以方程(x＋1)ex＝a(a>0)的解的个数为1.√题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解4.给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数.（1）函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减1单调递增所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增.当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞).题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解（2）由(1)可知，函数的最小值为1.当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞；当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示.题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解（3）截取函数f(x)在区间[－1,2]上的图象如图所示.由图象知，当f(0)<m≤f(－1)，即当m∈时，f(x)与y＝m恰有两个不同的交点，即当m∈

时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上恰有两个不同的实根；同理，当m＝1或

＋1<m≤e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上有唯一的实根；当m<1或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上无实根.题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解判断零点的个数问题的思路:(1)求出函数的定义域.(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点.(3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值.(4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势.(5)画出f(x)的大致图象.题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解题型二：利用导数研究恒成立问题1.若不等式ax2≥lnx恒成立，则实数a的取值范围是√2.关于x的不等式ax<ex在x∈(0,1)上恒成立，则a的取值范围是__________.(－∞，e]题型二：利用导数研究恒成立问题所以f′(x)<0，即f(x)在(0,1)上单调递减，所以当x∈(0,1)时，f(x)>e，所以a≤e.3.已知函数f(x)＝lnx＋ax－a2x2(a>0).若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.题型二：利用导数研究恒成立问题解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，xf′(x)＋0－f(x)单调递增极大值单调递减题型三：导数在解决实际问题中的应用1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为√2.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.