方阵问题（提高卷）-六年级数学思维拓展高频考点培优卷

方阵问题（提高卷）小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）A.44B.48C.52D.40

9.四年级的同学参加“六一”儿童节的团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多.王箸的位置是

一.选择题（共12小题）

从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人.则参加表演的同学有（）人.

1.有一个六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点,

A.272B.255C.245D.210

这个六边形点阵共10层，一共有（）点。

10.某学校进行体操表演，五一班的同学排成5X5的方阵，则整个方阵的最外层一共有（）名同学.

A.16B.17C.18D.19

11.同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有（）人.

A.271B.330C.331D.336A.81B.25C.32D.120

2.三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第512.用棋子摆成一个两层空心方阵，外层每边有10枚棋子，这个方阵一共用了（）枚棋子.

个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（）人参加入场式.A.64B.16C.32D.128

A.64B.63C.56D.49二.填空题（共28小题）

3.如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正13.学校举行文艺表演，四年级学生排成一个方阵,最外层的人数是40人，四年级参加表演的学生共有人。

三角形了.14.如图是由圆和菱形组成的4行4列方阵，按同样的规律组成一个9行9列方阵，那么最外面一圈一共有

个◊圆。。。

A.6B.7C.8D.9OOOO

4.小虎在19X19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵.然后再加上45枚棋子,就正好OOOO

摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵.那么小虎最多用了（）枚棋子.

A.285B.171C.95D.57OOOO

15.同学们排成整齐的长方形队列，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，从前数第6个，从后数第7

5.某校四年级的同学恰好排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数。如果将队形改变,变成8

个。这个队列共有名同学。

人一行的队形，那么最后一行的人数是（）

16.小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12X12的实心方阵，这个方阵的最外层有人.

A.1B.3C.5D.7

17.有一个正方形的操场，在它的外面一圈插上小红旗，四个角上都插一面小红旗，每边都插23面，一共插了

6.一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（）盏彩灯.

面小红旗。

A.40B.76C.44D.50

18.学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，

7.一个正方形池塘的边长是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵树，四个顶点各栽一棵，一共要栽（）棵

从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有人.

树.

19.用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷转，中间用黑瓷砖（如图1和图2的铺法）.当正方

A.30B.28C.26D.24

形地面周围铺了80块白瓷砖时，黑瓷砖需要块.

8.一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（）名学生.

阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人.那么，受阅的10个英模方队

共有人.

29.某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵,最外面3层有学生72人,这个方阵共有学生人.

ffll图2

30.阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵.已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，

20.一队学生站成19行19列的方阵，去掉5行5列，变成一个14行14列的方阵，要减少学生.

然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈.如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵

21.如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的

共有学生人.

公共点处种上花（即图中的A、&C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层

31.方阵形桃园共10层，最里层共种16棵树，若每棵桃树结桃子60千克，那么这桃园共收桃千克.

的每条边上有10朵花。请问：整个绿地一共要种朵花。

32.圆圆将手中96枚围棋子排成了一个三层的空心方阵，最外层每边有个棋子.

33.一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有个人.

34.何何有一些棋子.她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子.于是她继续在三层空心方阵

外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子.那么，何何一共有枚棋子.

35.学校大楼前摆放了一个方阵花坛.这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了

22.四百多名学生在操场上站成一个空心方阵，如果在方阵内部再增加一层变成新的空心方阵，就需要增加36

盆花.

名学生，那么原来一共有名学生.

36.同学们排成一个方阵进行广播操表演.小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演

23.一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍.如

的共有人.

果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充名学生.

37.有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有人.

24.小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己

38.体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵

正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有人.

恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有人.

25.要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备棵

39.48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有名学生.

树苗.

40.十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的

26.某班同学可以排成一个正方形方阵，其中相同性别的学生不能相邻（仅指前后左右）。已知男生人数的5倍

正方形方阵，三年级有人参加十一届“走美”决赛.

比女生人数的3倍多45人,那么这个班共有人。

三.解答题（共20小题）

27.用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺

41.长风公园有一块草地，草地的周围形成一个由520棵树苗组成的10层空心方阵.

白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了块.

（1）如果在中央的草地继续种树苗，形成一个实心方阵，那么这个实心方阵总共有多少棵树苗？

（2）如果在原来的10层空心方阵的基础上加1层，形成11层空心方阵，那么需要再种多少棵树苗？请求出

所有可能值.

42.大家要用若干盆花在空地上摆一个空心方阵花坛，最里面的一层每边摆10盆花，一共3层，一共要用多少

盆花？

28.为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年,2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式.受43.艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要

多少盆花？棋子各是多少？

44.小明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有15个围棋子，小明摆出的这个方阵最里层一周有56.一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是

多少个棋子？桃树，…，最内一圈种了4棵李树.已知树苗的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵.问：桃树和李树一

45.有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵.如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组共有多少棵？

成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？57.如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余

46.一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满.问：这堆棋子

47.如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形.原有多少枚？

48.在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？

49.奥斑马用240个棋子摆了一个6层的空心方阵，问最外一层每边有多少个棋子？（图中是Jx4正方阵示意图）

50.学校举行儿童节文艺演出，某班学生集体表演一个节目，站成了一个实心的方阵，最外层共有20人，那么58.一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？

这个班一共有多少人？59.国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？

51.在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？60.四年级参加军训的学生排成一个方阵进行汇报演习，这个方阵最外层每边有15名学生.

52.明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5,最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？（1）最外层一共有多少名学生？

53.为了迎接3.15,光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗.居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一（2）这个方阵一共有多少名学生？

个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树.李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种

在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵.那

么，最后还剩多少棵小树苗？

54.用640个棋子围成正方形（空心或实心），可以有多少种围法？最外层每边的棋子数各是多少？

55.有360个棋子，将它们围成正方形（空心或实心的），请写出四种不同的摆法，并求四种情况下最外层每边

方阵问题（提高卷）小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（）人参加入场式.

A.64B.63C.56D.49

参考答案与试题解析

【分析】要解决这道题我们需要两个条件：

一.选择题（共12小题）

一：每行有多少人？5+3=8个，这时候梅红加了两次，所以每行应该有5+3-1人；

1.有一个六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点,

二：队伍的行数？用同样的方法，共有5+3-1（人），

这个六边形点阵共10层，一共有（）点。

最后用每行人数X行数，即可.

【解答】解：（5+3-1）X（5+3-1）

=7X7

A.271B.330C.331D.336=49（人）

【分析】分析可知规律，从第二层开始，每增加一层就增加六个点。答：该班有49人参加入场式.

【解答】解：观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数.故选：Do

第一层有点数：1;【点评】本道题目就是利用排队方法找到每一行的人数，以及行数，同学们不应该因为数据比较多而乱找数

第二层有点数：1X6；量关系.

第三层有点数：2X6；3.如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正

第四层有点数：3X6；三角形了.

第〃层有点数：（«-1）X6O

因此，这个点阵的第〃层有点（M-1）X6个，〃层共有点数为：

1+1X6+2X6+3X6+•••+（〃-1）X6

=1+6X[1+2+3+…+（H-1）]

=l+6x[l+ST/（nT）

=1+3（n-1）n

所以，1+3X（10-1）X10

=1+3X9X10设最小正三角形的边长为1,即两个相邻格点的距离为1,要使不会再出现以图中的点为顶点的正三角形，就

=271（个）必须使任何三个点都不能组成正三角形，并且为使最少，尽量去掉公共点，据此解答即可.

故选:Ao【解答】解：设最小正三角形的边长为1,如图1所示，以A为顶点可以组成边长为4、3、2、1的等边三角

【点评】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出形，所以A点必须去掉，同理从C也必须去掉.

哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。如图2所示（空白表示必须去掉的点），围成了四个边长为2的等边三角形和若干个边长为1的等边三角形,

2.三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5所以必须去掉。、。、E、F.

此时还存在两个正三角形，且这两个正三角形没有公共点，需要再去掉最上面两个点，A.40B.76C.44D.50

因此共去掉了9个点.【分析】这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和=每边点数X4-4即可计算所需要的彩灯盏

故选：Do数.

【点评】本题考查了方阵问题的灵活应用，关键是明确任何去点，使去掉的点尽量少.【解答】解：20X4-4=76（盏），

4.小虎在19X19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵.然后再加上45枚棋子，就正好答：一共需要76盏灯.

摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵.那么小虎最多用了（）枚棋子.故选：Bo

A.285B.171C.95D.57【点评】此题考查了空心方阵问题中：四周点数=每边点数X4-4的灵活应用.

【分析】45=1X45=3X15=5X9,既然是长方形，1X45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，可能7.一个正方形池塘的边长是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵树，四个顶点各栽一棵，一共要栽（）棵

是：3、5、9、15这四种.要使用最多棋子，则不变的边长只能是15,棋盘最长是19格，因此最终的较大点树.

阵是15X19=285枚棋子.A.30B.28C.26D.24

【解答】解：45=1X45=3X15=5X9【分析】（1）先求出12里面有几个2,再加1就是每边最多栽的棵数；

既然是长方形，1X45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，（2）再用每边栽的棵数X4-4即可解答.

可能是:3、5、9、15这四种，【解答】解：12+2+1=7（棵），

要使用最多棋子，则不变的边长只能是15,棋盘最长是19格，7X4-4=24（盆），

因此最终的较大点阵是：15X19=285（枚）；答：一共要栽24棵树.

故选：Ao故选：Do

【点评】本题关键是得出长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种.【点评】此题主要考查空心方阵中：四周点数=每边点数X4-4的计算应用.

5.某校四年级的同学恰好排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数。如果将队形改变，变成88.一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（）名学生.

人一行的队形，那么最后一行的人数是（）A.44B.48C.52D.40

A.1B.3C.5D.7【分析】因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数=每边人数X4-4,由此即可解答.

【分析】排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数，设原来每行、每列上都是（2〃+1）人，【解答】解：12X4-4

则共有（2〃+1）2人，然后根据平方和公式拆分解答即可。=48-4

【解答】解：设原来每行、每列上都是（2〃+1）人，则共有：=44（人）

（2〃+1）2=4层+4九+1=4〃（n+1）+1答：共有44人.

因为不论〃是奇数还是偶数，〃（«+1）一定是偶数，即一定含有质因数2,那么4场（«+1）一定是8的倍数；故选：Ao

所以4〃5+1）+1除以8后余数一定是1,那么么最后一行的人数是1。【点评】此题考查了空心方阵问题中：四周点数=每边点数X4-4的灵活应用.

故选：Ao9.四年级的同学参加“六一”儿童节的团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多.王箸的位置是

【点评】本题考查了方阵问题与平方和公式以及数的奇偶性的综合应用。从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人.则参加表演的同学有（）人.

6.一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（）盏彩灯.A.272B.255C.245D.210

【分析】由“王箸的位置是从左数第10人，从右数第8人”条件，得知王箸所在的这一横排中有10+8-1=X4解答即可.

17人（10、8两个数字中都包括了王箸），即每横排有17人；同理得，每竖排有9+7-1=15人，这样用17【解答】解：（10-2）X2X4=64（枚）；

X15即可求出问题的答案了.故选：Ao

【解答】解：10+8-1=17（人）【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数-空心方阵的层数）

9+7-1=15（人）X空心方阵的层数义4.

17X15=255（人）二.填空题（共28小题）

故选：Bo13.学校举行文艺表演，四年级学生排成一个方阵，最外层的人数是40人，四年级参加表演的学生共有_J21

【点评】此题并不难，主要明白：10与8、9与7中都包括了王箸，也就是说横排、竖排都数了王箸2次.人。

10.某学校进行体操表演，五一班的同学排成5X5的方阵，则整个方阵的最外层一共有（）名同学.【分析】先根据“每边的人数=四周的人数+4+1”求出方阵外层每边有多少人，再根据“方阵的总人数=每

A.16B.17C.18D.19边的人数X每边的人数”解答即可。

【分析】排成5X5的方阵，那么最外层每行5人，用每行的人数乘上4行，再减去4个顶点的人数即可求解.【解答】解：404-4+1

【解答】解：5X4-4=10+1

=20-4=11（人）

=16（名）11X11=121（人）

答：整个方阵的最外层一共有16名同学.答：四年级参加表演的学生共有121人。

故选：Ao故答案为：121。

【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数=每边点数X4-4.【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数-1）X4,每边的人数=四周的人数+4+1,

11.同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有（）人.中实方阵的总人数=每边的人数X每边的人数。

A.81B.25C.32D.12014.如图是由圆和菱形组成的4行4列方阵，按同样的规律组成一个9行9列方阵，那么最外面一圈一共有16

【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5X2-1=9人，由此利用方阵问题中：个圆。

总人数=每边人数X每边人数，即可解答.OOOO

【解答】解：每边人数是：5X2-1=9（人），

共有：9X9=81（人）,OOOO

故选：AoOOOO

【点评】此题考查了方阵问题中总点数=每边点数X每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出

每边人数.OOOO

12.用棋子摆成一个两层空心方阵，外层每边有10枚棋子，这个方阵一共用了（）枚棋子.【分析】根据“最外层四周点数=每边点数X4-4”求出最外面一圈图形的个数，圆形占这个数的一半。

A.64B.16C.32D.128【解答】解：9X4-4

【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数-空心方阵的层数）X空心方阵的层数=36-4

=32（个）X4-4即可解决问题。

324-2=16（个）【解答】解：23X4-4

答：最外面一圈一共有16个圆。=92-4

故答案为：16。=88（面）

【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数=每边点数X4-4的灵活应用。答：一共插了88面小红旗。

15.同学们排成整齐的长方形队列，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，从前数第6个，从后数第7故答案为：88o

个。这个队列共有96名同学。【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数=每边点数X4-4的灵活应用。

【分析】根据题意可知，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，把左数的人数加上右数的人数，这样18.学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，

就把A同学多数了一次，再减去1就是每行的人数；同理，根据从前数第6个，从后数第7个，可以求出每从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有81人.

列的人数，即6+7-1=12；然后把每行与每列的人数相乘即可得出答案。【分析】从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，说明这一列共有5+5-1=9（人）；因为是

【解答】解：（4+5-1）X（6+7-1）方阵，所以这个正方行方阵的最外层每边有9人，根据总人数=每边人数X每边人数可求得总人数.

=8X12【解答】解：5+5-1=9（人）