2023-2024学年河北省衡水市高一年级下册开学考试数学试题（含答案）

2023-2024学年河北省衡水市高一下册开学考试数学试题

一、单选题

1.设集合A={-2,2},8={x|丁-5%一机=0}.若AcB={2},则8=（）

A.{-2,3}B.{2}C.{-2,2}D.{2,3}

【正确答案】D

【分析】由2e8得出加=-6,进而得出集合B.

【详解】因为Ac8={2},所以2c3,4-10=0,m=-6.

则3={HX2-5X+6=0}={2,3}.

故选：D

2.命题“存在实数加，使关于x的方程丁-2,加+3=0有实数根'’的否定是（）

A.存在实数机，使关于x的方程/一2,总+3=0无实数根

B.对任意实数机，都能使关于x的方程/一23+3=0有实数根

C.不存在实数加，使关于x的方程f-2皿+3=0有实数根

D.至多有一个实数山，使关于x的方程2皿+3=（）有实数根

【正确答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以命题的否定是“对任意的实数，”,都能使关于x的方程2皿+3=0无实数根

等价的命题是“不存在实数〃?，使关于x的方程V-2,加+3=0有实数根”

故选：C

3.近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累,令

国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程“：v=vln—,其中v是理想速

（1m

度（单位：m/s）,%是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s）,M是火箭起飞时的总质

量（单位：kg）,是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准

备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s,

火箭自身的质量为4kg,燃料的质量为5kg,在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射,

至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为()ln2«0.7ln3«l.l

A.40m/sB.36m/sC.78m/sD.95m/s

【正确答案】A

【分析】根据题中条件确定M=4+5=9kg,6=4kg,%=50m/s,按公式直接运算即可.

【详解】解：由于u=%ln—,其中例=4+5=9kg,〃z=4kg,v=50m/s,

m0

4+5

J9fWv=50xln^-=50x(ln9-ln4)=50x2(ln3-ln2)«100x(1.1-0.7)=40(m/s).

故选：A.

4.己知a为第一象限角，cos(a+10)=g,则tan07O-a)=()

A.-2A/2B.2A/2C.-夜D.五

【正确答案】A

【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式求解即可.

【详解】由a为第一象限角，cos(a+10)=1,得sin(a+")=Jl-cos^a+lO。)=半,

sin(a+10。)

故tan(a+10。)==272,故

cos(a+10。)

tan(170-a)=tan[180-(a+10)]=-tan(a+10)=-2^2.

故选：A.

5.不论。力取何值，函数〃力=。1"+33>0且〃Hi),g(x)=iog/+M>>0且"1)的图象

都必经过同一个定点尸，则加+〃=()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】D

【分析】根据指，对数函数的性质，分别求定点。的坐标，即可求解.

【详解】函数/(力恒过定点(皿4),函数g(x)恒过定点由条件可知，

相=1,〃=4,m+n=5.

故选：D

6.己知函数〃x)=F),函数g(x)与“X)的图像关于直线y=x对称，则

r(x)—/(x)+g⑼1的解集为()

A.{xlx>-log321B.{J:Ix<-log32)

C.{x|x>log32}D.{x|x<log32)

【正确答案】B

【分析】根据对称性先求出g(x)的解析式，再根据单调性和一元二次不等式的解法求解不

等式/㈤一/(x)+g(9)N0.

【详解】由于g(x)与/(x)关于y=x对称，所以g(x)是/(X)的反函数，即

g(x)=logiX

-2,原不等式即为1m_2NO,

g(9)=bg19=log1

33

令t=,则f>0,得产—f-2N(),(f-2)(f+l)2(V」N2或.4-1(舍)，

3-x>2,-X>log,2,x<-log,2；

故选：B.

7.已知函数f(x)=cos(s+^)(0>O)的最小正周期为4万，则下面结论正确的是

A.函数/(x)在区间(0,0上单调递增

B.函数/(x)在区间(0,万)上单调递减

C.函数/(x)的图象关于直线》=与对称

27r

D.函数/(x)的图象关于点(彳,0)对称

【正确答案】C

【分析】/(x)最小正周期为红，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入/(x),与cosx

CO

进行对比，得到正确结果.

【详解】由题意知：红=4万=0=1

co2

•••〃x)=cos(gx+5

A选项和8选项：当X£(o㈤时，+当;x+,时，“X)单

调递减；+（乃，号）时，f（x）单调递增.因此，A和B都错误；

C选项：x=■时，~2.X~^~3~=；%="是cosx的对称轴，则K=-^■■是/（x）的对称轴.因

此，C正确；

27r

。选项：由C可知，x=q"是对称轴的位置，则必不是对称中心.£）错误.

本题正确选项：C

本题考查'=48$（，/+9）的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将

X范围代入函数，得到5+9整体所处的范围，进而与CO“图像相对应，确定最终结果.

8.设/（x）=a1+lnW，则（）

A./（503）＞/（-^）＞/（0.35）

B./（-75）＞/（0.35）＞/（5°3）

C./（0.35）＞/（50，）＞/（-^5）

D./（-75）＞/（5,U）＞/（0.35）

【正确答案】D

【分析】首先判断函数的单调性、奇偶性，并结合函数性质比较大小，即可求解.

【详解】〃力=阴+1小|的定义域为（y,O）U（O,E）,

且/（T）=/（X）,所以函数是偶函数，当x＞0时，/（x）=e'+lnx单调递增，

也=空,0＜0.35＜1＜503＜52）

是偶函数，所以/卜石）=/（石），

〃x）在（0,+8）上递增，

所以75己＞/（503）＞/（0.35）.

\/

即止灼＞/（503）＞/（0.35）.

故选：D

二、多选题

9.对任意实数。涉,。，给出下列命题，其中假命题是()

A.“。=人”是“ac=5c”的充要条件

B."a<5”是“。<3”的必要条件

C.是“/>小，的充分条件

D.“a+5是无理数”是是无理数”的充要条件

【正确答案】AC

【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.

【详解】对于A,如果a=A，则必定有ac=Ac，是充分条件，如果ac=Ac,则c(a-b)=O,

得c=0或a=8,

不是必要条件，所以是"ac=6c”的充分不必要条件，错误；

对于B,如果a<3,必定有a<5,是必要条件，正确；

对于C,如果。>力，比如〃=—1/=-2,(_1)2<(-2)2,不能推出标>加，不是充分条

件，错误；

对于D,因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，

所以“a+5是无理数”必定有a是无理数，是充分条件，如果Z是无理数”则“a+5也是无理数”,

是必要条件，

所以％+5是无理数”是、是无理数”的充要条件，正确；

故选：AC.

10.设。泊为正实数，则下列命题错误的是()

A.若°2-从=],则a-A<l

B.若!-1=1,则4一。<1

ba

C.若出一闽=1,则|q_4Vl

D.若时41,小区1,则卜-闿印-幽

【正确答案】BCD

【分析】对已知等式分解因式，可判断选项A；举反例可判断选项B和C；根据作差法以及

a,。的范围，可判断选项D.

【详解】对于A,若。2—从4，则(a+b)(。—匕)=1>0,

又。>0,b>0,所以a+b>a-Z?>(),

所以(〃一6)2<(〃+b)(a-b)=l,

故0V正确；

对于B,y--=l,取。=7/=/，贝必―方>1,错误；

ba8

对于C,|&-四|=1,取”9,6=4,则,-6|=5>1,错误；

对于D,-(l-abj=a2+。2-1-4%2=(/-1)(1-加)40,.•14-6闫1一/，错误;

故选：BCD.

11.已知函数/(x)=lg(xT)+lg(3—x),则()

A.“X)在(1,3)单调递增

B./(x)在(1,2)单调递增，在(2,3)单调递减

C.“X)的图象关于直线x=2对称

D.函数/(x)的最小值为0

【正确答案】BC

【分析】由对数性质求函数定义域，再根据二次函数、对数函数的单调性判断复合函数的单

调性并判断最值情况，判断/(4-%),/(%)是否相等判断对称性.

【详解】由题设、C，故1<X<3,其定义域为(1,3),

[3-x>0

令1=。一1)(3-幻=一(％-2)2+1,而gQ)=lg，递增，

又y=-(x-2『+l在(1,2)上递增，在(2,3)上递减，

故/(x)在(1,2)上递增，在(2,3)上递减，且最大值为/(2)=0,无最小值，

所以A、D错误，B正确；

/(4-x)=lg(3-x)+lg(x-1)=/(x),则〃x)的图象关于直线x=2对称，C正确.

故选：BC

12.下列计算或化简结果正确的是()

A.若sin，.cos9=Ltan0+^^=2

2sin，

什12siar.

B.右tanx=—,贝(J-------------=2

2cosx-sinx

若sina=^^,贝ijtana=2

C.

5

cosasincr

D.若a为第二象限角,则后忑十七忑=0

【正确答案】ABD

【分析】运用三角函数的定义和同角关系逐项分析.

-M.-r*八cos。sin。cosdsin26>+cos27r-十

【详解】对于A,tan0+------=-------+-------=-------------------=2，正确;

sindcos。sin。sin6cos6

1

2sinx2X

21

2sinxcosx_2tan/

对于B,=2,正确;

cosx-sinxsinx1-tanx,1

i—

cosx2

对于C,sina=^~~^~,cosa=±Jl-sin2a=±—^~,tana=‘由。=±2,错误;

55cosa

cosa+sinacosasina

对于D,+-=--°---,正确;

Vl-sin2aJl-cos2a-cosasina

故选：ABD.

三、填空题

,47r2545万

13.sin-----cos-------tan——=

346

【正确答案】孝

【分析】运用诱导公式计算.

・、45、.4兀25兀5n.(兀、(._(n

【详]sin—»cos-----•tan—=sin兀H—»cos3x2JTH—卜tan|兀—

346I3)[4}[6

.兀71(汽、6及(百〕夜

-sm—.cos—•-tan—------X-------X----------=----------

3416；22[3)4

故也.

4

14.已知1.8V=3,y=log。23,则^一；=，

【正确答案】2

【分析】运用换底公式计算.

【详解】由题意：=logi.8=l0§31-8,-=log0.2,

工题盘y3

111Q

----=log31.8-log,0.2=log3—=log,9=2；

xy0.2

故2.

15.直线y与函数，(x)=tan(25+V(0>0)的图像的相邻两个交点的距离为环若

/(x)在eN")上单调递增，则m的最大值为.

【正确答案】1

【分析】利用三角函数的图像的周期性质，求出。，得到/(x)=tan(x+?J,进而求出尤的

范围，进而可求出机的范围.

]TT

【详解】因为直线八万与函数/⑺的图像的相邻两个交点的距离为一个周期，..•五”,

,二/(x)=tan(x+27TTT7T

/.CD=—.由ATT---<X4■一<k7t-\——(kwZ),得

2262

24几2万7T

k;r--<x<k;r+—(keZ),，./'(x)在上单调递增，故(一见⑼口5,解

33TT

TT

得又zweN”,二，"的最大值为1.

故1

四、双空题

16.已知函数若关于*的方程/(》)=加恰有3个不相等的实数

根，则实数机的取值范围是;若三个不相等的实数根分别为冷格与，则x,+x2+x3

的取值范围是.

【正确答案】卜3,1)-日「2)

【分析】作出函数y=.f(x)的图象，利用数形结合，转化为交点个数，求参数的取值范围；

结合函数的对称性，得%+々=-4,再利用对数函数的单调性求当的取值范围，即可求解

%+々+彳3的取值范围.

【详解】作出函数y=/(x)的图象及直线y=〃?，如图,

而曲线y=/（x）与直线）=机交点的横坐标即为方程/（x）=加的解,

所以方程/（力=加恰有3个不等实根，实数小的取值范围是［-3,1）；

如图，三个交点的横坐标分别为X|,*2,七，且玉<々<*3，

由对称性可知，%+々=-4,

对于函数y=log?x,当yw［—3,l］时，xe）,2

|_O

所以鼻eI'2）'即玉+'2+F的取值范围是一茅地

故［T1）；卷，-2）

五、解答题

17.

⑴设全集为R，A=«-*<g｝,8=W+3x+2>0｝且解集为｛xl求

4（AuB）；

⑵求关于x的不等式以2+3x+2>-or-l（其中a>0）的解集.

【正确答案】（i）a（AuB）=（-8,-；）3i，+8）；

（2）答案见解析.

【分析】（1）根据条件先求出mb,再根据交并补的定义求解;

（2）根据一元二次不等式的解法求解.

【详解】(1)因为集合8的解集是e,1),所以x=l是方程/+3x+2=0的一个根，即

4+3+2=0,。=-5,

22

代入上方程得：-5f+3x+2=0,(-x+l)(5x+2)=0,々=-彳，­­~~~~,

3

(2)加+3工+2>-办-1,加+(3+a)x+3>0,(x+l)(or+3)X),a>0,.\——<0,

当0<”3时，-1<-1,原不等式的解集为xe(-8,-3j(-1,+8).

当〃=3时，-±=-1,原不等式的解集为xe(3,—l)(-1,+w)；

当a>3时，-->-1,原不等式的解集为xe(y,-l)；

18.已知函数f(x)=sin(的+9)(。>0,0<。<乃)的最小正周期为万，且其图象关于直线

x=9对称.

O

(1)求0和8的值；

(2)若/碍-')=1,a为锐角，求cos(c-3m的值.

7T4

【正确答案】(1)切=2,(p=--,(2)--

65

【分析】(1)由函数图象上相邻两个最高点的距离为万，利用正弦函数的图象和性质即可得

解最小正周期，利用周期公式求。，根据对称轴可求夕(2)由(1)可得/")的解析式，根

据同角三角函数的关系及诱导公式即可求值.

【详解】(1)—=T=7t,

CO

CD—2,

A冗万，

2x—+^7=—+K7T,

:.(p=—+k7T,kwZ,

6

又0<。<万，

-兀

(2)./(x)=sin2xH--

6

3

z=-

5

Q。是锐角，

4

.二cosa=一,

5

.•.cos（«-3,）=-cosa=--.

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题.

19.已知基函数y=f（x）的图象过点（4,；）

（1）求此函数的解析式；

（2）根据单调性的定义判断函数f（x）在（0,+8）上的单调性；

⑶判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明.

【正确答案】（l）〃x）=；3

⑵/（x）在（0,+"）上的单调递减

（3）/（同为非奇非偶函数，证明见解析

【分析】（1）令/（x）=x",将所过点坐标代入求参数，即得解析式；

（2）令占>工2>0判断/（百）-/（々）的符号即可得单调性；

（3）由解析式确定函数定义域xw（0,+00）,结合奇偶性定义即可证奇偶性.

【详解】⑴令八x）=x",且过（4劣，故4"=g,可得“=-；,

所以f（x）=x2,

（2）令西〉/〉。，则f（石）一/（占）=~'=,

而嘉-嘉<0，\[^>0，故/（百）-/（X2）<。，即/区）</（工2），

所以/（“在（。，+©）上的单调递减.

（3）/（X）为非奇非偶函数，证明如下:

由(1)知：X€(0,+8),即定义域不关于原点对称,

所以/(x)为非奇非偶函数，.

./、(5)

sm(-a)cos一冗+a

20.已知函数〃a)=―不-1--------.

cosl--+crltan(-^+tz)

⑴化简)(。)；

⑵若角a终边有一点P(w,@,且cosa=g,求小的值;

⑶求函数g(x)=2尸(x)+/(—^+x)+2在0段的值域.

【正确答案】(l)cosa

(2)1

,,33

(3)3,—

O

【分析】(1)运用诱导公式和同角关系化简;

(2)先判断点P所在的象限，再求机的值;

(3)对g(x)作恒等变换，再根据单调性求值域;

|c兀

sin(-cr)cos-sina・cos2兀+—+。

【2

【详解】(1)/(«)=

cos」+atan(-71+a)i)]

I2

-sinacos兀+a

(2_一sina♦(-sina)_sin2a

=cosa

sina

tan(兀-a)]sinatanasin-------

cosa

(2)p(m,G),V3>0，所以点p在第一或第二象限，又cosa=g>0,所以a在第

一象限，〃?x),

m1।

cos6Z=.==—,m=\.

4^32'

(3)g(x)=2f2(x)+f\-^+x\+22=cos2x+cos--+x+2

I2J

22(1Y33

2cos~x+sinx+2=-2sinx+sinx+4=-2sinx——+—

I4j8

当xw0,1时，sinXG[0,1],令，=sinx,则/w[0,l],

g(x)=—2。-2丫+生，当r=!时，取得最大值=?,当f=l时取得最小值=3,

'JI4)848

「33-

所以g(x)的值域是3,十；

_O_

「33-

综上，(1)/(a)=cos«,(2)m=\,(3)g(x)的值域是3,—.

_O_

21.某地为响应他关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程.为加强污染治理,

某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P(单位：

mg/L)与过滤时间？(单位：h)之间的函数关系式为P=4e-"(4为初始浓度，k,凡均

为正常数).假设过滤过程中废气的体积不变.

(1)若Z=lng,求过滤2h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少；

(2)若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%,前4h的过滤过程中污染物已经被过滤掉

了80%,求至少还需要过滤多少小时才能排放.

【正确答案】(1)葛

(2)4(h)

【分析】(1)根据题意将G=ln2,f=2代入计算即可得到污染物的浓度与初始浓度的比值;

(2)由前4h消除了80%的污染物，可得0.2=eT*,再根据污染物的浓度不超过初始浓度

的4%求得处理的总时间，可得结果.