辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学2023-2024学年九年级上学期开学

数学试卷（解析版）

一、选择题（每题2分，共20分）

2.（2分）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）

A.（〃+3）2=〃2+6〃+9

B.a2-467+4=67（。-4）+4

C.5ar-Say=5a（x+y）（x-y）

D.a2-2a-8=（a-2）（a+4）

3.（2分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（）

A.9B.8C.7D.6

4.（2分）已知x=2是方程/-4x+c=0的一个根，则c的值是（）

A.-12B.-4C.4D.12

5.（2分）分式.上有意义的条件是（)

x+2

A.%20B.x=-2C.x#2D.x2-2

6.（2分）关于x的一元二次方程（a-Df+x+d-1=0的一个根是0,则“的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.A

2

7.（2分）在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8.（2分）受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分

夺秒每小时比原计划多修5米，则所列方程正确的是（）

A.120_120=]B120_120=4

xx+5x+5x

c120_120=4D120一120=4

x-5xxx-5

9.（2分）不解方程，判断方程3/-4x+l=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

10.（2分）在平面直角坐标系中，把AABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位山|。，把

这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形A8C的顶点B（1,1）,（3,1）.把

△ABC经过连续3次翻移变换得到AAsB3c3,则点A的对应点M的坐标是（）

%、

A

BA

A.（5,-北）B.（8,1+73）C.（11,-1-A/3）D.（14,1+73）

二、填空题（每题3分，共18分）

11.（3分）不等式组的解集是______________________.

l-2x>0

12.（3分）方程（x-1）（x+l）=x-1的解是.

13.（3分）若〃（°羊0）是关于方程-2a=0的一个根，则a+b的值为.

14.（3分）如图，在菱形A8CO中，NADC=120°,P是AB边上的一点，E、尸分别是

DP、BP的中点

15.（3分）如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点。落在BC边中点E处,

折痕为MM则线段MN的长是

16.（3分）四边形A8CZ）是正方形，点E是直线AD上的一点，连接CE（C、E、F、G四

个点按照逆时针方向排序），直线BE与直线GO交于点H,若AE=2,则点尸到GH的

距离为.

三、解答题（17题10分，18题5分，19题8分，共23分）

17.（10分）计算：

（1）（3-TT）0-|-A|+V36+22；

4

（2）x2+x+（2」）.

X2-2X+1x-1x

18.（5分）解方程：?-2x=2x+l.

19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC（不与点B,C重合），在AO的右侧作△4£）£使

MAE=AD,连接CE.

（1）当。在线段8c上时，求证：△84。丝△CAE；

（2）当CE〃AB时.

①若。在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；

②若△48。中的最小角为20°,直接写出/AO8的度数.

四、解答题（20题10分，21题8分，共18分）

20.(10分)“早黑宝”是我省农科院研制的优质新品利I在我省被广泛种植.清徐县某葡

萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩，到2018年“早黑宝”的种植面积达到225

亩.

(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；

(2)市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，每天可

多售出50千克，为了推广宣传，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若

使销售“早黑宝”每天获利1800元

21.(8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)(3,4).

(1)请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形

(2)若△43C以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为aAB2c2(B的对应点

为82,C的对应点为C2),在网格中画出旋转后的图形；

(3)点P为x轴上一点，使以+PB的值最小，则点尸的坐标为.

五、解答题(本题8分)

22.(8分)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“画出函数的图象一一根据图象研究函

数的性质-运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程

(1)请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的图象；

(2)小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有；

①当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时；

②当x=0时，此函数有最大值为4；

③此函数的图象关于y轴对称；

(3)画出函数y=x-2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-2|x|+x+42x

23.(9分)将一个矩形纸片OABC放置于平面直角坐标系中，点0(0,0),点8(10,6),

点C在)，轴，在AB边上取一点£),点8恰好落在边OA上的点E处.

(1)如图1,求点。的坐标；

(2)如图2,当点P在线段OA(不包含断点A、。)上运动时，过点尸作直线轴,

直线I把的面积分成1:9的两部分

图2备用图

七、解答题(本题12分)

24.（12分）【课本再现】把两个全等的矩形48。和矩形CEFG拼成如图1的图案，则N

ACF=

【迁移应用】如图2,在正方形ABCO中，E是CD边上一点（不与点C,。重合），将

BE绕点E顺时针旋转90°至尸E,作射线FD交BC的延长线于点G；

【拓展延伸】在菱形A8C。中，N4=120°,£是CD边上一点（不与点C,加重合）,

将BE绕点E顺时针旋转120°至FE,作射线FD交BC的延长线于点G.

①线段CG与的数量关系是

②若AB=6,E是CZ）的三等分点，则aCEG的面积为

4

I)

BC

图1图2

八、解答题（本题12分）

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B

两点，且点M为线段OB的中点.

（1）求直线AM的解析式;

（2）将AAMB沿着AM翻折，点B落在点B\处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状

为

（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q,使以A、B、0、

〃为顶点的四边形是矩形？若存在，若不存在，请说明理由.

参考答案与试题解析

一、选择题(每题2分，共20分)

1.(2分)下列图案中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是()

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条

直线叫做对称轴.

如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图

形，这个点叫做对称中心.

【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

8、不是中心对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，符合题意；

。、是轴对称图形，符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋

转180度后与原图形重合.

2.(2分)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是()

A.(a+3)2—a2+(>a+()

B.a2-4a+4=a(a-4)+4

C.5ax2-5a)2=5a(x+y)(x-y)

D./-2a-8=(a-2)(a+4)

【分析】本题考查因式分解-十字相乘，提公因式等相关知识.

【解答】解：A：Q+3)2=/+6“+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，

B：笳-4〃+4=(a-5)2,故选项B错误，

C：Sax1-5ay2=8a(JC2-y2)=6a(x+y)(x-y),故选项C正确，

D：a2-2a-7=(a+2)(a-4),故选项。错误.

故答案为：C.

【点评】本题考查因式分解，提公因式等相关知识.解题的关键是能够熟悉因式分解的

定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法.

3.(2分)一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数()

A.9B.8C.7D.6

【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于("-2)780°,外角和等于

360°,然后列方程求解即可.

【解答】解：设多边形的边数是〃，根据题意得，

(〃-2)780°=3X360°,

解得”=2,

这个多边形的边数为8.

故选：B.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题

的关键.

4.(2分)己知x=2是方程--4x+c=0的一个根，则c的值是()

A.-12B.-4C.4D.12

【分析】根据一元二次方程的解，把x=2代入/-4x+c=0可求出c的值.

【解答】解：把x=2代入/-7x+c=0得4-3+c=0,

解得c=4.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

5.(2分)分式上有意义的条件是()

x+2

A.xWOB.x--2C.x#2D.xW-2

【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，得出X+2W0,即可求解.

【解答】解：分式上有意义，

x+2

；.x+2#5,

解得：xW-2,

故选：D.

【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键.

6.（2分）关于x的一元二次方程（〃-1）/+无+/-1=。的一个根是0,则〃的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.A

2

【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于〃的方程，再根据一元

二次方程的定义即可求解.

【解答】解：根据题意得：〃2-y5且“-i/o,

解得：a=-3.

故选：B.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数

不等于0.

7.（2分）在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例

排除不正确选项，从而得出正确选项.两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角

是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等

的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

【解答】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；

B、有一个角是直角的四边形是矩形、总之；

C、符合菱形定义；

。、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

故选：C.

【点评】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别.

8.（2分）受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分

夺秒每小时比原计划多修5米，则所列方程正确的是（）

A.120一120=4B.120一120=4

xx+5x+5x

c120_120=4D120-120=4

x-5xxx-5

【分析】关键描述语为：提前4小时开通了列车；等量关系为：计划用的时间-实际用

的时间=4.

【解答】解：题中原计划修工型小时工型小时，

xx+5

可列得方程」型-侬=3,

xx+5

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，从关键描述语找到等量关系是解决问

题的关键.

9.（2分）不解方程，判断方程3/-4x+1=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出A=4>0,从而得出方程有两个不相

等的实数根.

【解答】解：.,.在方程3，-4x+l=0中，A=（-3）2-4X5Xl=4>3,

方程3?-4x+l=0有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当A>0时，方程有两个不相等的两个实数

根是解题的关键.

10.（2分）在平面直角坐标系中，把△48C先沿x轴翻折，再向右平移3个单位iBiCi,把

这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点3（1,1）,（3,1）.把

△ABC经过连续3次翻移变换得到383c3,则点A的对应点A3的坐标是（）

A

BA

A.(5,-5/3)B.(8,1+5/3)c.(11,-1-5/3)D.(14,1+V3)

【分析】首先把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到得到点4的坐

标为(2+3,-1-V3),同样得出上的坐标为(2+3+3,1+百)，…由此得出A3的坐

标为(2+3X3,-1-我)，进一步选择答案即可.

【解答】解：•.•把AABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△4&C得到点4

的坐标为(3+3,-1-J7),

同样得出42的坐标为(2+8+3,1+F),

43的坐标为(2+5X3,-1-V4).-1-V3).

故选：C.

【点评】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道一次变换的定义,

利用对称和平移的特点，找出规律解决问题.

二、填空题(每题3分，共18分)

11.(3分)不等式组1x+l>°的解集是.

ll-2x>02—

【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不

等式组的解集即可.

【解答】解:x+l>0①

2-2x>0②'

•••解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：x<X

2

...不等式组的解集是-4<x〈工,

2

故答案为：

2

【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式(组)的应用，关键是能找出不

等式组的解集，题目比较典型，难度不大.

12.(3分)方程(x-1)(x+1)—x-1的解是xi=l,X2=O.

【分析】将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式x-1化为积的形式，然后

利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.

【解答】解：(x-1)(x+1)=(x-4),

因式分解得：(x-1)(x+1-7)=0,

可得x-1=8或x=0,

解得：xi=4,X2=O.

故答案为：X5=l,X2—1.

【点评】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程

右边化为0,左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为。转

化为两个一元一次方程来求解.

13.(3分)若a(aWO)是关于方程7+法-2a=0的一个根，则a+匕的值为2.

【分析】将x=(/代入7+bx-2a=0即可解决，

【解答】解：(a/0)是关于方程，+笈-6a=0的一个根，

.,.当x=a时，则a2+ha-6a=0,

:.a(a+b-2)=6,

・・"0,

:・a+b-2=5,

:.a+b=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查一元二次方程的概念，体现整体思想的应用.

14.(3分)如图，在菱形A8CD中，ZADC=120°,尸是A8边上的一点，E、尸分别是

DP、8一的中点2.

DC

^T7

APB

【分析】如图连接80.首先证明△4OB是等边三角形，可得8。=8,再根据三角形的

中位线定理即可解决问题.

【解答】解：如图连接BD.

•.•四边形ABC。是菱形,

；.AO=4B=4,

VZADC=120°,

AZA=60°,

/\ABD是等边三角形,

：.BA=AD=4,

•:PE=ED,PF=FB,

:.EF=§BD=2.

2

故答案为：7.

【点评】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明△AOB是等边三角形.

15.（3分）如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABC。折叠，使点。落在BC边中点E处,

折痕为则线段MN的长是4瓶切？.

【分析】过点M作MFJ_C£）于尸，根据翻折变换的性质可得MNLDE,然后求出NMNF

=NDEC,再利用“角角边”证明△DCE和△MEV全等，根据全等三角形对应边相等可

得MN=DE,再利用勾股定理列式求出QE,从而得解.

【解答】解：如图，过点M作于F,

易得四边形是矩形，

所以，MF=AD,

由翻折变换的性质得MNLDE,

,:NCDE+NMNF=90°,

ZCDE+ZDEC=90",

NMNF=ADEC,

•..四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD,

：.MF=CD,

'/MNF=/DEC

在△£)(“和△MFN中，，ZMFN=ZC=90°>

MF=CD

:ADCE@4MFN(A4S),

:.MN=DE,

•.,点E是BC的中点，

.•.CE=」BC=旦，

22

在RtZXCDE中，由勾股定理得在科牙=62+32=4我,

所以，MN的长为4,而.

故答案为：7娓cm.

【点评】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅

助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

16.（3分）四边形A8C。是正方形，点E是直线4。上的一点，连接CE（C、E、F、G四

个点按照逆时针方向排序），直线BE与直线G。交于点”，若AE=2,则点尸到G4的

距离为6医.

-5一

【分析】由正方形的性质可得CD=CB,CG=CE,NGCE=NDCB=90°,由"SAS”

可证△GC。丝△EC8,过点F作FNLGH于点N,过点C作CMLGH于点M,由勾股

定理求EB,CE的长，由△FGNg/\GCM,可得FN=GM,由勾股定理列出方程，可求

GM的长，即可得点F到GH的距离.

【解答】解：：四边形A8C。是正方形，四边形FGCE是正方形，

：.CD=CB,CG=CE,

：.NGCD=NECB,且CD=CB,

:.丛GCD冬丛ECB(SAS),

如图，过点F作FN_LGH于点N,

"：AE=2,AB=4

：.AD=CD=AB=1,DE=AD-4£=34岳2+AB§=2遥,

•*-CE=VCD3+DE2=2Vs»

:.CG=CE=2近,

■:/\GC哈AECB,

:.BE=DG=8爬,

VZFGC=90°,

：.ZFGD+ZDGC=90°,ZFGD+ZGFD=90Q,

:.NGFN=NDGC,且FG=GC,

:ZGNm4GCM(AAS),

：.FN=GM,

CM2=CG3-GM2,CM2=CD5-MD2,

.".20-GM=16-(2A/5-GM)2,

5_

，点F到GH的距离尸。=主叵，

_5

故答案为：主返.

5

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定

理列出方程是本题的关键.

三、解答题(17题1()分，18题5分，19题8分，共23分)

17.(10分)计算：

(1)(3-71)°-|-Jq+V36+2-2；

4

(2)上(2」.

X2-2X+1x-1x

【分析】(1)先计算零指数塞、绝对值、算术平方根和负整数指数累，然后计算加减即

可：

(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可.

【解答】解：(1)原式=1-2+6+」

43

=7；

(2)原式=乂但+1)父_区「x-1j

2

(x-8)x(x-6)x(x-1)

=x(x+5)-x+6

(X-1)2x(x-l)

=X(x+l)•X(x-1)

(x-7)2x+3

*

x-1

【点评】此题主要考查了实数的运算和分式的混合运算，熟练掌握实数的运算法则和分

式的运算法则是关键.

18.(5分)解方程：A2-2x=2x+l.

【分析】先移项，把友移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同

时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根

的定义即可求解.

【解答】解：•.♦/-2X=8X+1,

-8x=1.

Ax2-4x+4=l+8,

（x-2）2=8,

•*.x-2=±5/5'

.'.x7—2+\fs，X2-2-5/5.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等

号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方;

（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数

是2的倍数.

19.（8分）如图，在aABC中，48=AC（不与点8,C重合），在4。的右侧作△4OE,使

WAE=AD,连接CE.

（1）当。在线段BC上时，求证：△BAOeXCAE；

（2）当CE〃A8时.

①若。在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；

②若△ABO中的最小角为20°,直接写出NADB的度数.

【分析】（1）利用SAS证明△BAOZ/XCAE；

（2）①根据平行线的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的性质推出/ABC=/ACB

=/B4C,根据等边三角形的判定定理即可得解；

②分D在线段8C上、当点。在CB的延长线上、点。在8c的延长线上三种情形根据

等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.

【解答】（1）证明："：ZDAE=ZBAC,

:"BAD=NCAE,

在△54。和△C4E中,

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE-

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS)；

(2)解：①当D在线段BC上时，△ABC为等边三角形

'：CE//AB,

，ZACE=ZBAC,

：△54。丝△CAE,

ZABD=ZACE,

：.NABD=NBAC,

又AB=AC,

：./ABC=ZACB,

：.ZABC=ZACB=ABAC,

...△ABC为等边三角形；

②当。在线段8c上时，如图，

,JCE//AB,

ZACE^ZBAC,

•..△8A性△C4E,

NABD=NACE,

：.NABD=ZBAC,又乙48C=ZACB,

.'△ABC为等边三角形，

AZABC=60°,

当△A3。中的最小角是NBAQ=20°时,

AZADB=}8Q°-60°-20°=100°,

当点。在CB的延长线上时，如图，

A

VCE//AB,

：.ZBAE=ZAEC,ZBCE=ZABC,

■:丛DAB迫XEAC,

；.NADB=NAEC,ZABD^AACE,

：.ZBAC^ZBAE+EAC^ZAEC+ZEAC=180°-NACE=180°-/4BZ)=/ABC=/

ACB,

.•.△ABC是等边三角形，

当△ABO中的最小角是NBAZ)=20°时，ZADB^ZABC-ZBAD=40°,

当△ABO中的最小角是NA£>8时，ZADB=20°；

当点。在BC的延长线上时，只能NAZ)B=20°,

综上所述，NAOB的度数为100°或40°或20°.

【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、

等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨

论的首先思考问题.

四、解答题(20题1()分，21题8分，共18分)

20.(10分)“早黑宝”是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植.清徐县某葡

萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩，到2018年“早黑宝”的种植面积达到225

亩.

(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；

(2)市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，每天可

多售出50千克，为了推广宣传，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若

使销售“早黑宝”每天获利1800元

【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x,根据该基地2016

年及2018年种植“早黑宝”的面积，即可得出关于尤的一元二次方程，解之取其正值即

可得出结论；

（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50），）千克，根据总利润=每千克的利润

X销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为X,

根据题意得：100（1+x）2=225,

解得：%4=0.5=50%,X5—-2.5（不合题意，舍去）.

答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为50%.

（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50），）千克，

根据题意得：（20-12-y）（200+50），）=1800,

整理得：y5-4y+4—2,

解得：yi="=3.

答：售价应降价2元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

21.（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1,1）、B（4,2）（3,4）.

（1）请画出与aABC关于原点。成中心对称的图形△4B1C”

（2）若△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为aAB2c2（B的对应点

为82,C的对应点为C2）,在网格中画出旋转后的图形；

（3）点尸为x轴上一点，使朋+P8的值最小，则点尸的坐标为（2,0）.

yi<

【分析】（i）根据中心对称图形的性质找出对应点即可求解：

（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；

（3）作点4关于x轴对称点A,连接4B交x轴于点P,则点P即为所求，再写出点P

的坐标即可.

【解答】解：（1）如图所示，△4BC6即为所求；

（2）如图所示，△4B2C2即为所求；

（3）如图所示，点P即为所求，6）,

故答案为：（2,0）.

【点评】本题考查了作图-旋转变换、轴对称-最短路径问题，熟练掌握旋转变换的性

质是解题的关键.

五、解答题（本题8分）

22.（8分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“画出函数的图象一一根据图象研究函

数的性质-运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程

（1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的图象；

（2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有①②；

①当x<0时，），随x的增大而增大，当x>0时；

②当x=0时，此函数有最大值为4；

③此函数的图象关于y轴对称；

（3）画出函数），=x-2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-2|M+x+42x

-2的解集为-3WxW3.

【分析】(1)根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象.

(2)根据图象判断即可；

(3)观察图象即可求得.

(2)由图象可知：

①当x<0时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小;

②当x=3时，此函数有最大值为4；

③此函数的图象关于y轴对称，错误；

故答案为：①②；

（3）观察图象，不等式-2k|+x+32x-2的解集为-3WxW2,

故答案为：-3WxW3.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象和性质，画出

函数的图象利用数形结合是解题的关键.

六、解答题（本题9分）

23.（9分）将一个矩形纸片04BC放置于平面直角坐标系中，点。（0,0）,点8（10,6）,

点C在y轴，在A8边上取一点。，点B恰好落在边OA上的点E处.

（1）如图1,求点。的坐标；

（2）如图2,当点尸在线段OA（不包含断点A、O）上运动时，过点尸作直线轴,

直线/把的面积分成1：9的两部分

【分析】（1）根据矩形性质可得在RtACO£利用勾股定理求。£=8,则AE=2,在Rt

△4OE中，利用勾股定理求AO=&即可得。点坐标；

3

（2）直线轴，直线/把△CEC的面积分成1：9的两部分，分两种情况：当0<fW

8时，当8<r<10时，利用待定系数法求C。、CE、OE解析式，借助铅锤高求解即可.

【解答】解：（1）•••在矩形纸片0ABe中，

:.B(10,6),

.\BC=OA=10,AB=6=OC1

由折叠可得4DECq4DBC,

：.CE=BC=\Q,BD=DE,

设AD=x,

贝BD=DE=AB=AD=6-x,

在RtZ\COE中，

0£=VCE2-OC2=4,

：.E(8,0),

：.AE=AO-OE=5,

在RtZ\ADE中，

AE2+AD2=DE3,

・・.4+/=(6-x)2

解得：X=.•.”

4

；.AD^3,,

3

：.D(10,2)；

3

(2)由(1)知)£>=&■,

3

；.Z)E=6-X=>M

3

VCE=10,

•'-S^CDE——CE*DE=^XinX—=->

2733

VC(5,6),区)，

5

；♦直线CD为：y—~工i+3,

3

又YE(8,0),

直线CE为：>•=-Ar+6,

4

:直线/，x轴，若交CD于M,

则-&+6),-a+6),

34

：.MN=-Zr+6-(-(注6<fW8),

3412

2

SAcw=—MN*r=Ax__^_r,（铅垂高）,

621224

•.•直线/把△CEO的面积分成6：9的两部分,

分两种情况：

①SACNM:S&CED—1：10,

蚂=5：10,

243

解得：f=±2&,

；2<fW8,

.1=2代；

②S&CNM:SACED—9:10,

蚂=9：10,

243

解得：f=±6&（舍；

7

则直线为。E：y=&-骂，

36

•.•直线轴，直线/把△CEO的面积分成1：9的两部分,

设交C。于M(f,-S+6),生-丝)，

333

：.MQ^-旦f+6-(3*2)=-250,

33333

・・・SAAWQ=2XMQX（10-，）=呈，

24

由已知得：S^MDQ:S^CDE=1：10,

.•.旦（10-r）2：至=1：10,

67

解得：t=10士

V3<f<10,

/.z=10-&,

综上所述：直线/把△（?££）的面积分成1：8的两部分，此时F=10-&&.

【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，三角形的面积公

式，理解题意是解决问题的关键.

七、解答题（本题12分）

24.（12分）【课本再现】把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，则N

ACF=90°；

【迁移应用】如图2,在正方形ABC。中，E是CD边上一点（不与点C,。重合），将

BE绕点E顺时针旋转90°至FE,作射线FD交BC的延长线于点G;

【拓展延伸】在菱形A8CD中，ZA=I2O°,E是CD边上一点、（不与点C,。重合），

将BE绕点E顺时针旋转120°至FE,作射线FD交BC的延长线于点G.

①线段CG与BC的数量关系是CG=LBC；

2-

【分析】【课本再现】根据矩形的性质得出AB^CE,BC=EF,ZB=ZE=90°,根据

SAS推出AABCg丝ACE凡根据全等得出/BAC=ZFCE,AC=CF,求出△4CF是等

腰直角三角形，即可得出答案；

【迁移应用】由A4S证明△BEC丝△EFH,得到F〃=EC,EH=BC,即E”=C£）,从而

可得CE=DH=FH,可得NCDG=NFDH=45°,可知△OCG是等腰直角三角形，即

可得出结论；

【拓展延伸】①由AAS证明△BEC也得到/”=NBC0=12O°,EH=BC,FH

=CE,由CQ=EH证明。”=CE,可得到NFZ)H=30°,再由NQCG=60°可知△OCG

是直角三角形，由直角三角形的性质即可得出结论；

C、CEGS

②当CE=L。时，根据aCEG和△OCG底边CECD边上的高相等可知SA=A

32

△OCG,即可求得CG、DG的长，从而可得EZXCEG的面积；当ED=』C£＞时，可得

3

CEG=2SADCG,同理可求解.

3

【解答】【课本再现】解：•••四边形ABC。和四边形CEFG是全等的矩形，

：.AB=CE,BC=EF,

:.△ABC4XCEF(SAS),

：.NBAC=NFCE,AC=CF,

VZB=90°,

：.ZBAC+ZACB=90°,

AZACB+ZFCE=9Q°,

AZACF=90°,

故答案为：90.

【迁移应用】证明：过点尸作FHA.CD,交CD的延长线于H,

•..四边形ABC。是正方形，

：.CB=CD,ZBCD=90°,

.•.NH=/BC£)=90°,

由旋转得NBEF=90°,EF=BE,

；.NBEC+NCBE=NBEC+NFEH=9Q°,

；.NCBE=NFEH,

:.△BEg/XEFHCAAS),

：.FH=EC,EH=BC,

：.EH=CD,BPCE+DE=DH+DE,

:・CE=DH=FH,

.\ZCDG=ZFDH=45°,

■:/DCG=BCD=90,

•••△QCG是等腰直角三角形，

:.CG=CD=BC；

【拓展延伸】解：①过点尸作与ED的延长线交于点从

・・♦四边形A3CO是菱形，

:.CB=CD,ZA=ZBCD=120°,

由旋转得N5EF=120°,EF=BE,

：.NBEC+NCBE=NBEC+/FEH=60°,

:・/CBE=/FEH,

：./\BEC^/\EFH(A4S),

：.ZH=ZBCD=}20°,EH=BC,

:.CD=EH,

：.DH=CE,

:・DH=FH,

；・/FDH=NDFH=30°,

：.ZCDG=30°,

VZDCG=1800-N8C£>=60°,

AZG=90°,

•••△OCG是直角三角形，

VZCDG=30°,

・・・CG=』C£>=工，

22

故答案为：CG=_1BC；

5

②