高考数学一轮复习试题第1节 函数的概念及其表示

慧E函数与基本初等函数

第1节函数的概念及其表示

考试要求1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域2在实际情景

中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.

了解简单的分段函数，并能简单应用.

||知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.函数的概念

一般地，设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任

意一个数X,按照某种确定的对应关系力在集合B中都有唯

概念

二确定的数y和它对应，那么就称力A-8为从集合A到集

合B的一个函数

三对应关系y=fM，x^A

要定义域工的取值范围

素值域与x对应的y的值的集合｝

2.同一个函数

⑴前提条件：①定义域相同;②对应关系相回.

⑵结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

⑴若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子

来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

⑵分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值

域的并集.

常用结论

1.直线x=a(a是常数)与函数y=/(x)的图象至多有1个交点.

2.注意以下几个特殊函数的定义域：

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3次x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若"r)=x。，则定义域为{x|xWO}.

(5)正切函数y=tanx的定义域为卜卜#航+，，&WZ).

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)函数y=l与y=x°是同一函数.()

⑵对于函数/：A-B,其值域是集合8.()

(3)若4=/?,B={x|x>0),/：x^y=\x\,其对应是从A到B的函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

解析(1)错误.函数y=1的定义域为R,而y=x°的定义域为{x|x#O},其定义域

不同，故不是同一函数.

⑵错误.值域可以为B的子集.

(3)错误.集合A中的元素0在集合8中无元素与之对应.

(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个

函数.

2.(易错题)下列图形中可以表示以M={x[0Wx<l}为定义域，N={y|OWyWl}为

值域的函数的图象是()

答案c

解析A中的值域不满足,B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数

的定义可知C正确.

S/+lnx的定义域是.

3.（2020・北京卷涵数段）=

答案（0,+°°）

x+1W0,

解析要使函数有意义，需满足

x>Q,

即x>0且xW-l,所以函数的定义域为（0,+8）.

:一：；x〉2,用附））=3,则“二

4.（2021・浙江卷）已知函数於）=

［印一3|十%W2.

答案2

解析因为a>2,所以小月）=6—4=2,

所以财#））=/◎）=1+。=3,解得。=2.

5.（易错题）已知/（3）=x—1,则/U）=.

答案N—la2。）

解析令t={,贝If20,故x=»,

则财=P—1,所以/（x）=N—l（x以0）.

6.函数/U）=x—,在区间［2,4］上的值域为.

X

答案［?f

解析在区间［2,4］上单调递增，

X

315

又A2)=],/(4)=1，

故於)的值域为「3悖?15

□考点突破•题型剖析

I考点一函数的概念

1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()

答案C

解析根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.

2.(多选)下列各组函数是同一函数的为()

A.f(x)=x2—2x—1,g(s)=s2-2s—1

g(x)=W;

r-[x,X2O,

C.f(X)=\x2,g(X)='_

、X9X

D.人g(,x)=x-\[-x

答案AC

解析同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.

3.已知集合P={x|0WxW4},Q={y|0WyW2},下列从P到Q的各对应关系了不

是函数的是.(填序号)

@f-Ly=；x；(2y：Ly=/；

2

九-y=铲；®f：Ly=4.

答案③

22X

解析③中，f：%fy=铲，xG[O,4]时，0,-。，故不满足函数的定

义.

感悟提升(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集3中

有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有

可能存在与A中元素不对应的元素.

(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同

[|考点二求函数的定义域

1.函数/U)=ln(4x-x2)+T工的定义域为()

A.(0,4)

B.[0,2)U(2,4]

C.(0,2)U(2,4)

D.(—0°,0)U(4,+°0)

答案C

解析要使函数有意义，

[4x—x2>0,

加K

'卜一220,

解得0<xV4且xW2.

2.函数/)=而节的定义域是()

A.(l,2]B.[2,+°°)

C.[l,2)D.(l,2]

答案C

解析根据函数兀0的解析式，

f(x+2)(2—x)>0,

有卜>0,解得1«2,

[lnx20,

所以函数於)的定义域为[1,2).

3.已知函数/(X)的定义域是[—1,1],则函数g(x)=的定义域是()

In：Q1-x)；

A.[0,1]B.(0,1)

C.[0,1)D.(0,1]

答案B

解析由题意可知函数段)的定义域为[-1,1],即一1&W1,令一1W2X-1W1,

解得OWxWl.又由g(x)满足1一%>0且1—xWl,解得x<l且xWO,所以函数

g(x)的定义域为(0,1).

4.已知函数/U)=一的定义域是R，则实数。的取值范围是()

A.&+8)B.(-12,0]

C.(-12,0)D.(-8,；

答案B

解析因为函数八%)：々2^的定义域是R，所以依一3W0对任意实数

axl+ax—3

x都成立.当a=0时，显然成立；当aWO时，需/=a2+12a<0,解得一12<a<0.

综上所述，实数a的取值范围为一12<aW0.

感悟提升1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意

义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有

意义.

2.求抽象函数定义域的方法

⑴若已知函数/(x)的定义域为[a,b],则复合函数力g(x)]的定义域可由不等式

aWg(x)W。求出.

⑵若已知函数./[g(x)]的定义域为[a,b],则於:)的定义域为g(x)在切上的

值域.

考点三求函数的解析式

例1求下列函数的解析式：

⑴已知网一sinx)=cos2x,求/(x)的解析式；

(2)已知/Q+3=x2+",求应。的解析式；

(3)已知/U)是一次函数且3f(x+l)-2f(x-l)=2x+U,求<x)的解析式;

(4)已知小)满足2f(x)+f(-x)=3x,求段)的解析式.

解(1)(换元法)设1—sinx=f,fW[O,2],

贝!]sinx=\~t.

；穴1-sinx)=cos2x=1-sin2x,

ze[O,2].

即/U)=2x—N,%e[0,2].

1

(2)(配凑法)•"x+二六无2+1

x

2

=(x+-\—2,

X

.\f(x)=x2—2,

xC(-8,-2]U[2,+00).

(3)(待定系数法).../a)是一次函数,

可设於)=以+。3£0)，

/.3[a(x+1)+Z?]—2[a(x-1)+/?]

=2x+17.

即OT+(5Q+〃)=2X+17,

[a…=2,17,解引4=2,

U=7,

•7/U)的解析式是外)=2x+7.

(4)(方程组法)x)=3x,①

...将X用一X替换，

得次-无)+於)=-3x,②

由①②解得加)=3x.

感悟提升函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件/(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后

以X替代g(x),便得/U)的表达式.

⑵待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.

(3)换元法：已知复合函数次g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值

范围.

(4)方程思想：已知关于/(x)与妁或八一x)等的表达式，可根据已知条件再构造

出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出於).

训练1⑴已知人4+1)=无-2《，则/)=.

答案x2—4x+3(xNl)

解析令t=3+l,贝卜21,x=(r—I)2,

代入原式有人。=«—1)2—2«—1)=岸一4，+3«21),

所以人%)=%2—4X+3(X21).

(2)已知巴。是一次函数，且狄2)—3/(1)=5,纨0)一/(-1)=1,则/U)的解析式为

答案外)=3x—2

解析..•/(X)是一次函数，

.•.设/(x)=Zx+b,kWO,

则｛2)=2女+b,f(\)=k+b,

的)=》,f(~\)=~k+b.

..力(2)~3f(1)=5,

2f(0)-/(-1)=1,

-(4Z+2A)-(3%+3匕)=5,

・<

''[2h-C-k+b)=1,

解得％=3,b=-2,."U)=3x—2.

⑶已知於)满足/(x)一4七)=2%，则f(x)=.

fg2x4

答案一丁一石

解析:/U)一叫)=2x,①

以:代替①中的x,得妁一VU)=：,②

4

①+②X2得一31Ax)=2x+：

i2x4

.g)=-彳-.

||考点四分段函数

角度1分段函数求值

In2,xWO,

例2⑴(2021•枣庄二模)已知函数段)={,,：、''则人2021)=()

j\x3z,x0

22

A.-B.2eC.-;D.2e2

ee2

答案A

解析由於)=/(x—3)得於+3)=/(x),

因而八2021)=/(3X673+2)=A2)=A2—3)

2

，n2=--

(2)已知函数/^)={尸]11"(0'若实数”满足人。)=穴4—1),则妁=()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由兀0的定义域，知a>0.

当0<。<1时，由大a)=;(a—1),

即2a=1\[a,

解得a=；,则y(J=/(4)=8；

当时，由大&)=八。-1),

得2a=2(a—1),无解.

综上可知，勘=8.

角度2分段函数与方程、不等式问题

2戈，x>0,

例3(1)已知函数:.八若大4)+/U)=o,则实数。的值等于()

、x十1,x0.

A.-3B.-lC.lD.3

答案A

解析•.•川)=21=2,：.f(a)+2=0,

••./5)=-2,

当aWO时，./(a)=a+1=-2,.,.a=~3,

当a>0时，.穴0=2"=-2,方程无解，综上有。=一3.

⑵设函数段)=<：L了①则满足於)+人一1)>1的x的取值范围是

2r,x>0)〃

j111

解析由题意得：当尤>彳时，2工+2广？1恒成立，即%>彳；当OaW彳时，2x+x—

；+1>1恒成立，即0<xg；当xWO时,x+1+%一；+1>1,即一；<rWO.

综上X的取值范围是(一；，+8).

感悟提升1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区

间，其次选定相应的解析式代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式

分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值

范围.

提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

训练2(1)(2021.肇庆二模)设函数/(%)=<^二:“若〃9)=4,则a=

尚

?得

=-1,与a>一5矛盾，舍去；

当:一ael,即aW-；时，//Q))=/Q_a)=2.a=4,则:一a=2,即a=—^,

13

满足QW—a.所以々=—5.

(2)(2022・长沙调研)已知函数於尸比8"'X>X'则段)矶r+1)的解集为

Xr19XW1,

答案

解析当xWO时，尤+1W1,f（x）＜f（x+\

等价于犬2—1＜（九+1）2—1,解得一；＜%W0,

当OaWl时，x+l>l,

此时段）=尤2—1WO,

於+l)=k)g2(x+l)>0,

，0令W1时，恒有於)勺&+1),

当x>l时，/(x)</,(x+l)

0k)g2X<10g2(X+1)恒成立，

综上知，不等式外）＜用+1）的解集为（-J,+8）.

微点突破/函数的值域

求函数值域的一般方法

⑴分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元法;

⑺数形结合法；（8）导数法.

例求下列函数的值域：

⑴y=%2—2x+3,xG[0,3)；

e2x+l

⑶y=2x一心―1；

解（1）（配方法）y=N—2x+3=（x—1＞+2,

由xG[O,3）,再结合函数的图象（如图①所示）,

可得函数的值域为[2,6）.

2x+]2(x-3)+7-

(2)(分离常数法)y=二

x—3=2x—3

7

显然三w°'•••yN2・

故函数的值域为(一8,2)U(2,+°°).

(3)(换元法)设t=\x—l,则％=月+1,

且£20,

2

,y=2(产+l)-r=2(r—0+^>

V4/o

由『20,再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为［称，+8).

-o/

(4)函数的定义域为［1,+°°),

,.〉=4+1与尸心一1在［1,+8)上均为增函数，

•••尸心+1+心一1在［1,+8)上为单调递增函数，

...当X=1时，ymin=3，即函数的值域为［啦，+°°).

［分层训练,巩固提升

|A级基础巩固

1.下列各组函数中，表示同一个函数的是()

A*x)=einx,g(x)=x

—4

B：/(x)=.TW，g(x)=x~2

sin2x.

C抬尸京？g(x尸smx

D«x)=k|,g(x)=G

答案D

解析A中/(x)的定义域是(0,+8),g(x)的定义域是R,故不是同一个函数；

B中/U)的定义域是(一8,—2)U(—2,+°°),g(x)的定义域是R,故不是同一

个函数；

C中左)的定义域是卜IrW2+E,^GZ},g(x)的定义域是R,故不是同一个函数;

D中的函数是同一个函数.

2.(多选)下列所给图象可以是函数图象的是()

答案CD

解析图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y,图象B中祀对应2

个y,所以A,B均不是函数图象；图象C,D可以是函数图象.

3.函数y=bgz(2x—4)H二的定义域是()

A-

A.(2,3)B.(2,+8)

C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+8)

答案D

2%—4>0

解析由<'二’得x>2且x#3,故函数的定义域为(2,3)U(3,+8).

3W0,

4.函数y=1+x—71-2x的值域为()

'J，DB.(—8,|_

c.(|,+°°)D.I，+8)

答案B

解析设\l—2x=t,则%=亍，

所以y=l+g^--/=；(一产—2f+3)

=-；什1尸+2.

3

因为后0,所以户1

所以函数y=l+x—、1一2%的值域为(一8,1.

5.已知函数/U+1)的定义域为(-2,0),则/(2%—1)的定义域为()

A.(—1,0)B.(—2,0)

C.（o,1）D（-；，0）

答案c

解析函数於+1）的定义域为（一2,0）,即函数y=/u+l）中的x满足一2VxV0,

此时一IVx+lVl,记f=x+l,贝UTVfVl,则角）的定义域为（一1,1）,也就

是於）的定义域是（一1,1）.

要求｛2%—1）的定义域，则一1<2%一1<1,

解得OVxVl,

的定义域为（0,1）.

10g2X,X>0,

6.（2022.福州第一中学期中）设函数於）=,I,、…若人0>八一0,则

log-（—X）,x<0,

实数。的取值范围是（）

A.（—l,0）U（0,1）

B.（—8,-1）U（1,+8）

C.（—l,0）U（l,4-o°）

D.（—8,-1）U（O,1）

答案C

解析当a>0时，一aVO,

由a）得log2a>loR（，

2

所以2bg2a>0,解得a>l；

当a<0时，-a>0,由a）得bg%—a）>log2（—a）,

2

所以2bg2（-a）V0,可得0V—aVl,

即一IVaVO.

综上，a的取值范围是（一1,O）U（1,+~）.

-%)—2x(xW0)，则fi—2)=.

7

答

案-

2

解析令x=2,可得./（；）+次-2）=4,①

令x=一；,可得人—2)—呜)=-1,②

7

联立①②解得八-2)=；

8.已知y=/(x)是二次函数，若方程贝x)=0有两个相等实根，且/(x)=2x+2,则

於)=.

答案X2+2A:+1

解析设於)=0%2+―+以。/0),

则2ax-\-b=2x+2,

贝!|a=\,0=2.

••fix)=x2+2x+c.

又兀0=0,即N+2x+c=0有两个相等实根.

J=4—4c=0,贝!］c=1.故於)=N+2x+1.

—v-+2

9.函数y==N(x>l)的值域是.

答案［2啦+1,+8)

解析令r=x—1,.*.r>0,x=t+1,

.(z+1)2-(r+1)+2fl+t+2

..y=---------------------=------=r+-+122勺2+1,

当且仅当f=:即t=/时取等号，

二函数的值域为［2啦+1,+8).

(3x+5,x〈0,

10.已知函数/U)的解析式为兀r)=1x+5,0<xWl,

l-2x+8,x>\.

⑴求娘,/(—1)的值；

⑵画出这个函数的图象；

(3)求/U)的最大值.

解(l)v|>l,.,./(^=-2x|+8=5.

VO<-<1,/./(-)=1-+55元+1

71兀71

V-l<0,.\A—1)=—3+5=2.

(2)这个函数的图象如图.

在函数外)=3x+5的图象上截取xWO的部分,

在函数段)=x+5的图象上截取OVxWl的部分,

在函数外)=—2x+8的图象上截取x>l的部分.

图中实线组成的图形就是函数为x)的图象.

(3)由函数图象可知，当x=l时，兀。取最大值6.

11.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑

行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路

面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速

Mkm/h)满足下列关系：y--^+mx+n(in,n是常数).如图是根据多次实验数据

绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.

⑴求出y关于x的函数解析式；

⑵如果要求刹车距离不超过25.2m,求行驶的最大速度.

解(1)由题意及函数图象，

’4()2

—+40,n+«=8.4,1

得彳602解得加=而,

TTT+60m-\-n—18.6,

k2(J0

•X2x

,,产丽+而

(2)令诉十而W25.2,得一72WxW70.

•.”20,,,.0<x<70.

故行驶的最大速度是70kWh.

|B级能力提升

12.(多选)(2022.重庆质检)若一系列函数的解析式