2024年高中数学学业水平试题及答案

1.若集合”={一1，0，1},AT={-2,1,0},则McN=()

A.{-1.0}B.{0,1}C.{0}D.{-1.1}

2.下列各组函数表示相同函数的是（）

A.〃丫)=&'和8(》)=(五)2B.〃x)=l和g(x)=x°

x,x>0,D.f(x)=x+l和g(x)=*

{-X,X<LU

3.已知函数f（x）=则/（2）=（）

J（X-2）,XZU

A.3B.—3C.—1D.1

4.设命题p：a＞l,命题g,＜l,则命题P是命题（7成立的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

5.已知加-1)=9,则九0的解析式为(

A.J(x)=x3-2x—1B.2x+l

C.y(x)=jr+2x一1D.y(x)=jr+2x+l

6.已知4=1.2hb=0.9〉c=ni，贝！1()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

7-若两个正实数7满足f=3,且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）

A.{?»|-4<w<l}B.{间加＜0或加＞3}

C.{加帆＜-1或冽＞4}D.[m\-l<m<4^

8.在直角梯形。4BC中，AB//OC,BC±OC,AB=1,OC=BC=2,直线=f截这个梯形位于此直

线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为S,则函数S=/（f）的图像大致为（）

二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知心b>0,c>dX）,则下列不等式中一定成立的是（）

A.B.a-c>b-dC.ac>bdD.-：>—

ac

10.下列函数中，属于偶函数并且值域为［0,+8）的有（）

A.y-yfxB.y=卜--C.y=H——2D.y—■—

11.若函数y=-』-2x+3的定义域为（｝o,值域为［3,4］,则整数r的值可能是（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

12.定义域和值域均为［-区司（常数a>0）的函数y=〃x）和y=g（x）图象如图所示，给出下列四个命题,

A.方程/［g（x）］=0有且仅有三个解B.方程g［/'（》）］=。有且仅有三个解

C.方程/［/（x）］=0有且仅有九个解D.方程g［g（x）］=。有且仅有一个解

第II卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题“Vxe氏f-or>9”的否定是.

14.已知集合4={0J2},则集合5={用=他。"}=.(用列举法表示)

—x?_2nx_5,xM1f(xx

15.函数/(x)=。满足对任意x产々都有41匕&>o,则a的取值范围是.

—,X>1\-x2

16.写出一个函数/(x)=,使其满足/(x),/(2x-l)有相同的对称轴.

四、解答松本题共6小题，共70分。解答应力出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在①=②是“xe8”的充分不必要条件；③NcB=0,这三个条件中任选一

个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.问题：

已知集合4={x|a-l<x<a+l},B=G-1<X<|

(1)当。=2时，求ZuB和ZcB；

(2)若,求实数。的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(12分)已知命题p：VxeR,.v2+2nn:+3>0,命题q：BxeR,.xJ-2»IX+?M+2<0.

(1)若命题p为真命题，求实数N的取值范围；

(2)若命题p、q至少有一个为真命题，求实数"，的取值范围.

19.(12分)已知关于x的不等式/-3x+6>0的解集为口b<x<l}(其中方<1).

(1)求实数a,b的值；

(2)解不等式(x-D(ar-b)>-L

20.(12分)已知赛函数/(x)=(2〃/-5而+3卜优的定义域为全体实数R.

⑴求〃x)的解析式；

⑵若/(x)>3x+k-l在卜1』上有解，求实数k的取值范围.

21.(12分)秋风送爽，文旦飘香。文旦柚，中国三大名柚之一，每年9月下旬-11月中旬是文旦柚成熟采

摘的季节，满山柚树，硕果累累。某乡镇以“共富果园”为目标，促进农业产业高质量发展，经调研发现，文

旦柚果树的单株产量犷(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：

5x2+70,0<x<2

90、"，另肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)

110---------,2<X<6

x+3

为20x元.已知柚子的市场售价大约为12元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为/(x)(单

位：元).

⑴写出八切关于x的函数解析式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？

22.(12分)已知：/(x)="上纥+c是定义在［-2,2］上的函数，若满足f(x)+f(-x)=0且/⑴=-.

4+x5

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断函数/(X)在［—2,2］上的单调性(不用证明)，并求使/(21+1)+/«2—1)<。成立的实数1的取值范

围；

(3)设函数g(x)=42-27nx+4(meR),若对任意八Me口,2］,都有9(用)</(x。恒成立，求用的取值范

围.

一、选择题

123456789101112

BCCADADBACDBCABAD

部分解析:

6.A

【分析】将。、从c化为，的形式，利用函数/(x)=x?的单调性即可进行大小比较

££巳

【详解】由题意，。=遂=弓丫，6=0./=糕J，c=g=偿j，

因为函数/(X)=X：在(0，+8)上单调递增，且

所以1炉>0,9^>Ri,即a>b>c.

故选A.

7.D

【分析】先由工+竺=：(x+l+y)(工+竺]结合基本不等式求出白+竺的最小值，进而得

x+1y4(x+1yJx+1y

/_3m+5<9,再解一元二次不等式即可.

【详解】由题意知，

416I,1/4⑹1「44v16(x+l)J4y16(x+l)八

---+—=-(x+l+y+—=-4+—^—+-------+16>-20+2J—=----------=9,

x+ly4"(x+1y)4|_x+1yJ4丫工+ly

当且仅当々=16"+U,即时取等，又不等式+5恒成立，则不等式

x+1y33x+ly

m2-3w+5<9，

即(m-4)(m+l)<0,解得一lvm<4.

故选：D.

8.B

【分析】根据直线/的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：/«)=[:',:然后根据

1—1,lvr«2

不同段上的函数的性质即可求解.

【详解】由题意可知：当0q41时，/W=l-r-2r=?,

当1<Y2时，/(r)=lx2x1+(z-l)-2=2r-l；

所b,以,皿、1j产，―0<r<l•

结合不同段上的函数的性质，可知选项B符合.

故选：B.

10.BC

【分析】根据函数奇偶性的定义及函数的值域逐项分析即得.

【详解】对于A,函数y=/的定义域为［0,+8)不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；

对于B,y=/■(x)=卜2-2］的定义域为R,/(-X)=|(-X)2-2|=|.V-2|=/(X),

所以函数为偶函数，且值域为［0,+8),故B正确；

对于C,丁=〃丫)=》2+&-2定义域为(一8,0)川0.+»),/(-X)=x2+p--2=/(x),所以函数为偶函数,

又y=/(x)=x?+搭—2N2/"？2=0,当且仅当f=即丫=±1时取等号，

故函数的值域为［0,+8),故C正确；

对于D,y=〃x)=5定义域为(-s,0)U(0*〜)，/(-x)=^-=/(x),

所以函数为偶函数，值域为(0,+a),故D错误.

故选：BC.

11.AB

【分析】作出二次函数的部分图象，由图象和题中条件，即可得出结果.

【详解】作出函数)，=-/-2x+3的图象，当尸-1时，y=4,

当X=0时，>=3,当x=-2时，…，

因为函数1=-W-2x+3的定义域为&.0,值域为［3,4］,

所以数形结合分析得解得_4±<-2,

结合》是整数知f=T或-3,所以A、B正确.

12.AD

【分析】通过利用r=f(x)或r=g(x),结合函数y=/(x)和y=g(x)的图象，分析每个选项中外层函数的

零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论.

【详解】解：对于A中，设t=g(x),则由/[g(x)]=O,即%)=0,

由图象知方程/。)=0有三个不同的解，设其解为咽t2,t3,

由于y=g(x)是减函数，则直线j=r(0<r<a)与函数y=g(x)只有1个交点，

所以方程〃=g(x),，2=g(x)，t3=g(x)分别有且仅有一个解，

所以>'[g(x)]=。有三个解，故A正确；

对于B中，设"/'(X),则由g[〃x)]=0,即g(t)=0,

由图象可得g(D=0有且仅有一个解，设其解为b，可知0<b<a,

则直线V=b与函数y=f(x)只有2个交点，

所以方程/(x)=b只有两个解，所以方程g[f(x)]=0有两个解，故B错误；

对于C中，设r=/(x),若=即%)=0,

方程/⑴=0有三个不同的解，设其解为哈小设^<『2<与，

贝I」由函数y=/(x)图象，可知一。<4<?2<0,打=。，

由图可知，直线yf和直线y=»2分别与函数y=〃x)有3个交点,

直线丁=与=。与函数丁=/("只有1个交点，

所以f(x)=G或/(X)=r2或共有7个解，

所以f[f(x)]=O共有七个解，故C错误；

对于D中，设”g(x),若g[g(x)]=O,即g(D=O,

由图象可得g(t)=O有且仅有一个解，设其解为b，可知0<b<a,

因为J=g(x)是减函数，则直线7=6与函数y=g(x)只有1个交点，

所以方程g(x)=b只有1解，所以方程g[g(x)]=O只有一个解，故D正确.

故选：AD.

二、填空题

13.Bx0&R,x^-ax0<914.{0,4,8}15.-2<a<-l16./(x)=|xT|(答案不唯一)

部分解析：

15.【分析】由题意知函数单调递增，根据分段函数单调递增需每段递增且在分界处函数值满足的关系列

不等式组求解.

【详解】由〃玉)一〃七)>0可知函数司x)在R上单调递增,

石一X2

-a>l

所以，a<0,解得-24a4-l,

-2a—6<a

故答案为：-2<a<-l

16.解法-：设/(x)=|x-a|,则/(x)的对称轴为x=a,从而/(2工-1)=|2x-l-,对称轴为x=三工，

所以a=，，解得a=l,函数可以是/(x)=|x—l|

解法：：设/(2工一1)的对称轴为x=。，则/(2工-1)=/(2(2。一x)-l),

从而f(2x-l)=f(4a-l-2x),所以/(x)有对称轴x=2。一1.

又已知/(x)有相同对称轴x=。，所以解得a=L

写出一个对称轴为1的函数即可.

三、解答题

17.(l)JuB=(x|-l<x<3},

(2)若选①，答案为[。曰；若选②，答案为]。号，若选③，答案为(-8-2]u

【详解】

(1)当a=2时，J={x|l<x<3},1分

故4uB=k|-14x<3},..............................................................3分

^nB=1.rl<x<|l；.................................................................5分

（2）若选①，AKJB=B,则4仁8,....

因为a-1<。+1恒成立，故4W0,

n—1N—1

要想NUB,则要！，3，...........

a+l<-

2

解得OWaWg,故实数。的取值范围是0.；

若选②，“xeA”是“xeB”的充分不必要条件,

则A是B的真子集，..................

因为a—1va+1恒成立，故2K0,

1

裔

故

3解OW4W

2-

2-

故实数。的取值范围是

若选③，4cB=0,

因为a—lva+l恒成立，故ZH0，................................................6分

□

故a+l<-l或a-l>—,.........................................................8分

2

解得。4-2或a*，故实数。的取值范围是STU:............................10分

18.（1）（2）m<y/3!&m>2.

【详解】(1)若命题pVxeR,x2+2m+3>0为真命题，

则A=(2M2-12<0,.................................................................3分

解得—73<m<y/3...................................................................5分

2

(2)若命题q：BxeR:x-2mx+m+2<0

则A=4m2-40n+2)>0,..............................................................6分

解得或m>2....................................................................8分

所以，若命题p、q至少有一个为真命题,

则-有<m<6，或由<-1，或加>2,10分

；.m（布或m>2...................................................................12分

【详解】(1)由题意可知，方程⑪2_3x+6=0的两根分别为玉=1,J=b,1

分

1+&=-,

所以,1x6=—,,3分

。v0,

解得6分

(2)由-3、+2)>-1,得3/-5x+l<0,......................................8分

解得..................................................................11分

66

因此，原不等式的解集为..........................................12分

20.(1)/(X)=X2；(2)(-8,5)

【详解】(1).."(力是幕函数，，2毋-5m+3=l，•••"?=：或2............................2分

当m时，y(x)=xL此时不满足/'(x)的定义域为全体实数R,..........................3分

=/(x)=.r2.....................................................................5分

(2)/'(x)>3x+无-1即f_3x+l-k>0,要使此不等式在［-U］上有解，

令g(x)=x?-3x+l-无，只需使函数g(x)=x2-3x+l-无在卜训上的最大值大于0.................6分

□

*/g(x)=X2_3工+1-无图象的对称轴为x=；,故g(x)在［-覃］上单调递减，......................8分

g(x)max=g(T)=5T........................................................10分

由5-左>0,得k<5

•••实数k的取值范围是(一8,5).12分

60x2-30x+840,0<x<2

2"小"舞—

(2)3千克，1050元

【详解】⑴解:由已知f(x)=12%(x)-10x-20x=12%(x)-30x..........................................1分

12x(5/+70)-30x,0<x<2

90

12x(110-)-30x,2<x<6

x+3

I60x2-30x+840,0<x<2

=j1320-1080-30x,2<x<6'

[x+3

60x2-30x+840,04x42

即八x)=132。-12^--30X,2<X<6...................................................................................'分

x+3

(2)解：由(1)得当04x42时，=60x2-30x+840=60(x--)2+836.25,

因为

240--

4

当x=2时，=f(2)=1020,..........................................................................................................7分

当2<x46时，f(x)=1320-1080-30x

x+3

36

=1320-30+(t+3)+90

_.V+3

36

=1410-30+(x+3)-8分

_X+3

I36

<1410-30x2.-(X+3)=105010分

x+3

当且仅当上*=x+3时，即x=3时等号成立，...............................................11分

丫44

因为1020<1050,所以当x=3时，/(x)1ntt=1050

当施用肥料为3千克时，种植该果树获得的最大利润是1050元...............................12分

22.【解答过程】(Dxe[-2,2],且f(x)+f(-x)=0,所以f(x)为奇函数，

将x=0代入f(x)+/(-x)=0可得f(0)=0,即：=0,所以c=0..........................................................1分

即/(')=£,因为f⑴J所以/(一1)=一\

'a+b_1

代入可得“解得心二：............................................................3分

Js~=~s

故f（x）=曰;

f(x)=忌，/(劝=爵=一/。)，函数为奇函数，满足，故人劝=总......................4分

(2)设一2</<%2=2,则/(0-〃D=赤-蒜代:鼠禽，

----2<Xi<x2<2,x2-xt>0,4-xxx2>0,­•■f(