2023-2024学年上海市高一年级上册期末数学试题6

2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题

一、填空题

1.若扇形的弧长为2兀，半径为2,则该扇形的面积是

【正确答案】2兀

【分析】根据扇形面积公式求得正确答案.

【详解】依题意，扇形的面积为gx2πx2=2τr∙

故2π

2.已知一元二次方程/—aX-Q=O（。〉0）的两个实根为占、％，则'+'=.

X\X2

【正确答案】-1

【分析】先利用韦达定理得到N+々当々，再由：+（=EM代入即可求解.

【详解】因为一元二次方程/-依-。=0（。＞0）的两个实根为小超，

所以斗+x2=β,xlx2=-a.

11X+xa

⅛-+-=1~01=-=-1t

x1X2XIX2-a

故—1

r4-9

3∙函数y=bg?■的定义域是

【正确答案】（F,-2）.（1,÷∞）

【分析】先利用对数式中真数为正得X到+号2＞0,再将分式不等式化为一元二次不等式进行

X-I

求解.

【详解】要使y=k>g,宁X+有2意义，须X9+>20,

x-1X-I

g∣J(x+2)(x-l)>0,解得x>l或XV—2,

X+2

即函数y=log2—的定义域是(f,-2)(l,+∞).

X-Ir

故答案为.(一8,-2)(l,+∞)

4.己知CoSI60=m，则tan20=

【正确答案】-正正

m

【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得sin20的值，进而求得cos20的值.

【详解】因为CoSI60=m,所以cos20=-cosl60=-m,

222

所以sin20=Vl-Cos20=y∣∖-(-ni)=∖Ji-nι,

所以tan20=包工=正正=_叵L

cos20-mm

故一匹近

m

5.定义4-8={引》€4且万任3},若4={1,3,5,7,9},8={2,3,5},贝iJ(A—B)U(B—A)=

【正确答案】{L2,7,9}

【分析】根据题目定义，分别求得A-8={1,7,9}和B-A={2},再利用并集运算即可得出

结果.

【详解】根据集合A-8={RXeA且xeB}的定义可知，

当A={1,3,5,7,9},8={2,3,5}时，可得H-B={l,7,9},β-A={2}s

所以(A—8)5B-A)={1,2,7,9}

故{1,2,7,9}

6.将函数y=2，的图象向左平移个单位可得到函数y=3•2，的图象.

【正确答案】⅝23

【分析】根据指数对数的运算知y=32'=2*3.2'=2"喝3,即可求解.

【详解】因为y=32'=2*3∙2x=2t+lθfc3,

所以将函数y=2，的图象向左平移log23个单位可得函数y=3∙2'的图象.

故log?3

7.当∣lgɑ∣=∣lgb∣,(α≠6)时，则的最小值是.

【正确答案】

【分析】由IIgaI=IlgW且//，，得出而=1,用均值不等式即可得出答案.

【详解】Ilgal=IIg4，且〃b,而函数y=lgx在(0,+∞)上单调递增，

.∙.lgab=lgα+lgb=O,即而=1,且a>0,b>0,

.∙.-+-≥2-∙-=2y∕3,

ab∖cιb

当且仅当■=即6=石，“=且时，等号成立,

ab3

故2名

8.已知关于X的方程--6x+5∣="有四个不相等的实数根，则。的取值范围一

【正确答案】(0,4).

【分析】由题知转化为函数y=,-6x+5卜与y=”有4个不同的交点，画出函数

y=y-6x+5∣的图像即可求出α的取值范围.

【详解】方程--6x+5∣=。有四个不相等的实数根，

等价于函数y=,-6x+5∣与y="有4个不同的交点.

由函数y=,-6x+5∣的图像知:

故(0,4)

本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.

1,X为有理数

9.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名函数V=D(x)=0,X为无理数'以

函数被称为狄利克雷函数.若存在三个点4为Q(Xl))、B(x2,D(x2)),C(XM(X3))，使得.ABC

为等边三角形，则D(xl)+D(x,)+D(X3)=

【正确答案】I

【分析】由狄利克雷函数分析得出.ABC的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案.

Lx为有理数

【详解】y=£>(x)=<

O,X为无理数

∙'∙O(X)=O或1,

存在三个点A(XlQ(XI))、B(X2,D(X2))yC(ix3,D(X3)),使得AABC为等边三角形,

O(XI),。(々)，。(与)不同时为0或1，

不妨设&<⅞.

分析得一A8C的位置有两种情况,

第一种情况:

当4为有理数时，即Da)=1,如图,

即。(匕)=0,D(X3)=O,与图形不一致，舍去；

第二种情况：

当王为无理数时，即Da)=0,如图，

过点8作3DJLAC,垂足为。，得30=1,AD=—,AB=AC=BC=^~,

33

可知，ɪɪ=x∣÷AZ)=x∣÷,ɪɜ=x∣+—,

存在％=一半，使得％=%+等=0∈Q,且七=%+亚=且为无理数，

即O(W)=1,D(Xɔ=。与图形一致，符合题意，

止匕时，f>(x1)+D(x2)+D(x3)=0÷l+0=l,

B

■>

x

故1.

10.已知函数/(X)=匕詈在(0,1］是严格增函数，在［1,+8)上为严格减函数，若对任意

xe(0,+e),都有χ4ke,,则上的取值范围是

【正确答案】*8)

【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出InX-X的最大值，对x≤ke'两边取自然

对数，分离小k,利用不等式恒成立求解即可.

【详解】因为〃x)=W竺在(0,1］是严格增函数，在［1,+8)上为严格减函数，

所以f(x)=上四Ξ≤∕⑴=L

X

由x>0,可得InX-X≤-l,

又X∈(0,+8)时，由1≤攵e*可得InX≤In(ZeX)=∖nk+xf

即InX-X≤In&恒成立，

所以InZ≥-1,即&

e

故/,+a)

二、单选题

11.若α为第三象限角，则()

A.cos2«>OB.cos2a<0C.sin2a>OD.sin2a<0

【正确答案】C

利用"为第三象限角，求2α所在象限，再判断每个选项的正误.

【详解】因为α为第三象限角，所以乃+2%)<。<?+2上)(kwZ),

可得2τr+4Qrv2a<3%+4%乃(Λ∈Z),

所以22是第第一，二象限角，

所以sin2a>0,COS2α不确定,

故选：C

本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.

12.已知定义域为R的函数y=/")满足：①对任意χ,yeR,/(χ+y)=f(χ)∙∕(y)恒成立;

②若XXy则/(χ)χ∕(y)∙以下选项表述不事确的是()

A.y=/(X)在R上是严格增函数B.若/(3)=10,贝厅(6)=100

C.若/(6)=100,贝ιJ∕(-3)=∖D.函数F(X)=/(X)+f(T)的最小值为2

【正确答案】A

【分析】根据给定条件，探讨函数F(X)的性质，再举例判断A；取值计算判断B,C；借助

均值不等式求解判断D作答.

【详解】任意χ,ywR,/(χ+y)=∕(χ)∙∕(y)恒成立，

α∈R⅛α≠0,假设f(α)=O,则有J.(2α)=∕(α+q)=∕(α)∙f(α)=0=f(α),

显然2"4,与"若X*y则/(X)≠f(y)”矛盾，假设是错的，因此当αeR且αH0时，/3)≠0,

取x=α≠0,y=0,有/(α)=∕(α)∙∕(0),则F(O)=1,于是得Vx∈R,/(x)≠0,

VxeR,∕ω=∕(→^)=[∕(j)]2>O,/(x)√(-x)=/(0)=1,

t+

对于A,函数/(x)=g*Vx,y∈R,f(x+y)=(∣)>'=(ɪ)ʃ.(ɪ)ʌ'=/(x)∙/(y),

并且当χ≠y时，/(χ)≠∕(y),即函数/*)=(；)'满足给定条件，而此函数在R上是严格减

函数，A不正确：

对于B,/(3)=10,则/⑹=/(3)/3)=100,B正确；

对于C,/(6)=100,则于3)∙f(3)=100,而于3)>0,有于3)=10,X∕(3)7∕(3)=1,因

此f(-3)=∖,C正确；

对于D,ʃ(ɪ)-f(.-x)=1,fM>0,则有F(X)=/(x)+/(-x)舷Jf(X)/O=1,

当且仅当/(x)=F(T)=I,即X=O时取等号,所以函数F(X)=/(x)+/G%)的最小值为2,

D正确.

故选：A

关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即

可.

13.LogiStiC模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了

某地区新冠病毒感染累计人数/（，）■的单位:天）的LogiStiC模型：/⑺=]+923（,而其中K

为最大病毒感染数.当[（r）≥0∙95K时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区

若以2022年12月15日为f=l天，以LogiStiC模型为判断依据，以下表述符合预期的选项

是（）

A.该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期；

B.该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期；

C.该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期；

D.该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者.

【正确答案】C

【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可.

K

【详解】由题意知，-~不为M≥0.95K,

1十eΓ

fl23l,53

BP：l+e--->≤^t

所以f≥53+电幺53+二-~53+13=66,

0.230.23

因为以2022年12月15日为f=l天，所以f≥66天，即预计2023年2月18日后该地区进入

稳定窗口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.

故选：C.

14.已知函数/（x）=l0g3（侬2-2x+m）,定义域为A,值域为B.则以下选项正确的是（）

A.存在实数机使得A=B=R

B.存在实数m使得A=B=R

C.对任意实数T<m<O,Ac3x0

D.对任意实数，">O,Ac8≠0

【正确答案】D

【分析】设y=如2-2x+"2,考虑%>1,ιn=∖,O<∕π<1,m=0,-∖<m<Q,∕%≤-l几

种情况，分别计算集合A和5,再对比选项得到答案..

【详解】设y=mχ2-2χ+w,当4=4一4>>0,即一IVmVl时，

设对应方程的两根为4，X”不妨取益<々，

当力>1时;∆=4-4∕n2<0,A=R,5≠R且5/0；

当机=1时，A=(-∞,l)(l,+oo),β=R；

当0<小<1时，∆=4-W>0,A=(-00,χ1)(χ2,÷∞),B=R；

当机=0时，A=(-oo,0),B=R；

当一IV机VO时，∆=4-4∕n2>0,A=(Λ⅛,X,),y=m---,故8=-00,l0g3m,1

πwxtnnι

当m≤-1时，函数无意义.

对选项A：根据以上情况知不存在A=B=R的情况，错误;

对选项B：根据以上情况知不存在A=BCR的情况，错误;

对选项C：假设任意实数TVmV0,ACjeH0,

取加一』■=!，解得"7=∙^~~皂电，则B=（-∞,-2],

f∏918

2+√4-4AH2

对于Zn/一2工+”?=0，有王

2m

此时应满足玉=生虫二£<-2,解得-：<机<0,

12m5

易得〃?=1-5屈不在此范围内,假设不成立，此时ACB=0,错误;

18

对选项D：根据以上情况知对任意实数m>O,AcB≠0,正确;

故选：D

关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能

力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和A的正负讨论〃的范围，进而计算集

合A和B是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.

三、解答题

15.如图所示：角α为锐角，设角α的始边与X轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点

RCOSa=I,将射线OP绕坐标原点。按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（公,χ）∙

(1)求tana的值；

(2)求J∣的值.

【正确答案】(1)在

2

*

【分析】(1)确定SinC>0,计算Sina=且，根据tana=亘吧得到答案.

3COSa

(2)设终边对应的角度为尸，则£=5+a,y1=cosa,计算得到答案.

2_______.√_5

【详解】(1)角。为锐角，sina>0,cosa=-,贝∣Jsina=Jl-COS?a=

-3'

Sina√5

tana=------=——.

COSa2

⑵设终边°。对应的角度为尸，夕噌，斗

⑴直接写出Z(χ),ΛW是否属于集合s；

(2)若m(x)eS.解不等式：e3-2'.zn(e?+2r)<e'：∙w(e3)

⑶"(x)=/(x)+优(XX必≠0)证明："〃(x)eS”的充要条件是“b>O,a<O

【正确答案】(1)/(无)不属于集合S,人(力属于集合S

⑵(Tl)

(3)证明见解析

【分析】(I)根据定义直接判断即可;

(2)由MX"S,可得函数y=W为增函数，不等式e1."1+2')<『.〃巾3),即为

不等式ZWet)<旭(/),再根据函数的单调性解不等式即可；

eχ2+2xe3

(3)”(x)∈S,即函数y=03在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和

X

必要条件的定义证明即可.

【详解】(1)因为y=B*=l+g(x>0)在定义域内为减函数，

所以工(x)不属于集合S,

因为),=如1=X(X>o)在定义域内为增函数，

所以人(x)属于集合S；

(2)不等式e33.m(e/+2")<e,切(/)，

即为不等式M≤1<M≤1,

χ2+2x3

ee

因为MX)∈s,

所以函数y=蛔为增函数，

X

所以e