2023年高考数学试题解析全国乙卷文科

1.|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.75D.5

【命题意图】本题考查i"的性质及复数的模，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容

易.

【答案】C

【解析】由题意可得2+i?+2i3=2—1—2i=l_2i，

则|2+i?+2i3|=|l-2i|=’F+(—2)2=6故选C.

【点评】复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置上,

考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共朝复数、纯虚数、复数相等、

复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.

【知识链接】

解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类

项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共辗复数，解题中要注意把i的事写成

最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为历(a,6GR)的

形式，再结合相关定义解答.

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为。+

历(ageR)的形式，再结合复数的几何意义解答.

2.设全集。={0,1,2,4,6,8},集合河={0,4,6},6={0,1,6},则M。阴^=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【命题意图】本题考查集合的并集与补集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：

容易.

因为。={0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,1,6},所以①A={2,4,8},M={0,2,4,6,8},故

选A.

因为U={0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,1,6},所以2A={2,4,8},M必N={0,2,4,6,8},故

选A.

【点评】集合是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置上,

考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系，所给集合多为简单不等式

的解集、离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定.

【知识链接】

L求解集合的运算问题的三个步骤：

⑴看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的

关键,即辨清是数集、点集还是图形集等，如{x\y=fix)},{y[y=/(x)},{(x,y)ly=兀0}三者是不同的；

(2)对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、

易于解决；

(3)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为

()

A.24B.26C.28D.30

【命题意图】本题考查三视图及组合体的表面积，考查直观想象与数学运算的核心素养.难度:

较易.

【答案】D

【解析】如图所示，在长方体ABCD-AgG。中,AB=3C=2.44t=3,

点瓦/,J,K为所在棱上靠近点练G,。,4的三等分点,O,L,M,N为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体ABC。-A耳GA去掉长方体ON/£-之后所得的

几何体，

5t--------------

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为

2*(2x2)+4x(2x3)-2*(lxl)=30.故选D.

【点评】有关三视图的试题，大多与几何体的体积、表面积交汇考查,难度一般不大，属于送分

题.

【知识链接】1.三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分

用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.

(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观

图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代

入，再看看给出的部分三视图是否符合.

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形

成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.

2.多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积要注意衔接部分的处理.

7T

4.在，ABC中，内角ASC的对边分别是若QCOSB-Z?COSA=C,且C=y,则N5=()

7L兀3兀27T

A.—B.—C.—D.----

105105

【命题意图】本题考查正弦定理的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.难度：较易.

【解析】解法一：由正弦定理及acosB—Z?cosA=c得sinAcosB—cosAsin6=sinC,即

sin(A-B)=sinC=sin(A+B),因为A-B<A+B，所以A-B+A+B=TI,A=|，所以

B=7i-A-C=71--二型，故选C.

2510

解法二：由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin5cosA=0,由于(0,兀),故sin5>0,

jiITTT.47r

据此可得cosA=0,A=—,贝|8=兀—4—。=兀-------=一.故选C.

22510

【点评】三角函数与解三角形是高考中的重点，若解答题中没有解三角形，则客观题中一般有

3道三角函数与解三角形试题，这3道题分别考查三角变换、三角函数的图象与性质及解三角

形.

【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧

⑴求边：利用公式。=粤粤力=嘿/,。=喏「或其他相应变形公式求解.

SillDSill/iSillZJ

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=聋辿,sin2=始乎屈11C=粤1或其他

相应变形公式求解.

(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.

(4)灵活利用式子的特点转化：如出现片+〃_02=筋6形式用余弦定理，求。+6,有时可配方

把式子化为(a+b)2=C2+(2+2)ab整体代入求值.

5.已知/(x)=Y^是偶函数，则()

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：较易

【答案】D

X—XX(a—l)x

解法一：因为/(力是偶函数，所以“X)-*-落=*+J

e—1e—1e—11—e

x

Xe-兀/"3

==---------------=0,所以a—l=l,a=2,故选D.

—1

解法二：因为“X)是偶函数，且==0，所以

67—1=1,<7=2，故选D.

【点评】函数的奇偶性是高考考查的热点，若单独考查，一般为基础题,若与函数的单调性、周

期性交汇考查，常作为客观题的压轴题.

【知识链接】

1.函数奇偶性常用结论

(1)如果函数兀V)是偶函数,那么兀r)=A|尤|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的

单调性.

(3)在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇义奇=偶，偶、偶=偶，奇乂偶=奇.

(4)/(x)为偶函数5无)=川冲.

(5)若奇函数在尤=0处有意义，则式0)=0.

2.常见的奇函数与偶函数

y=logfl)a>0,aw1,加w0),y=:"(a〉0,aw1),

-Xa>Q,awl),y=J]+g(a>0,aRl)是奇函数,

xx2x

y=a+a~(a>0,aw1),y=logfl(1+a]-x(a>0,a^1)是偶函数

6.正方形ABC。的边长是2,E是AB的中点，则EC.矶>=()

A.亚B.3C.2A/5D.5

【命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算、直观想象等核心素养.难度：较易.

【解析】

解法一：因为E是AB中点，

所以EC.ED=（EB+BC）.（EA+AD）^AB+AD\-^AB+AD

212

=AD——AB=4T=3,故选B.

4

解法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

/\/\/\UUUUUU

则E（1,O）,C（2,2）,£＞（0,2），可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

uumuuu

所以EC-ED=—1+4=3；

解法三：由题意可得：ED=EC=45,CD=2,

DE?+CE?-DC?5+5—43

在_CDE中，由余弦定理可得cos/DEC=

2DECE2x逐x不5

uunuiiQutmuun3

所以EC-ED=ECEDcos/DEC=国小x—=3.故选B.

5

【点评】平面向量是高考数学必考知识点，一般以客观题形式考查，热点是平面向量的线性运

算及平面向量的数量积,可以是容易题，也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数

等知识交汇考查.

【知识链接】与几何图形有关的数量积计算,思路一是选取2个不共线向量作为基底,把其他

向量用基底表示,然后利用数量积的性质及定义求解，二是建立坐标系,把问题转化为向量的

坐标运算.

7.设O为平面坐标系的坐标原点,在区域｛（苍y）|1Vf+丁V4｝内随机取一点，记该点为A,则直

线OA的倾斜角不大于£的概率为（）

4

11-11

A.—B.—C.—D.—

8642

【命题意图】本题考查以面积为测度的几何概型，体现了直观想象与逻辑推理等核心素养.难

度：较易.

【答案】c

【解析】如图所示，点A位于阴影区域内，其中阴影区域面积是圆环面积的工,所以所求概率为

L故选c.

4

【点评】老教材中有些知识点在新教材中被删除，有些原来是高考每年热点题,如程序框图、

线性规划、三视图、几何概型等，受新教材的影响，这些内容的考查热点有所降低，但不要认为

新教材删除的内容都不考，如本卷中考查了三视图、几何概型及线性规划.

【知识链接】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题

意构造两个变量，把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.

8.函数/(x)=x3+ax+2存在3个零点，则。的取值范围是()

A.(-8,-2)B.C.(-4,—1)D.

(TO)

【命题意图】本题考查导数在研究函数性质中的应用，考查数学运算、直观想象等核心素养.

难度：中等

【解析】因为/(》)=去+⑪+2,所以广(力=3炉+凡若心04(力单调递增，只有1个零点,

不满足题意，所以"0,由广(力=0得x=±Jg，结合〃力的图象，可得

<0,即汽/+4<0所以4<一3,故选8.

27

【知识连接】函数/(x)=以?+bf+M+d(°ho)有3个零点的充要条件是有2个极值

点4,%,且/(x,)/(%2)<0.

9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙

两位参赛同学抽到不同主题概率为。

5211

A.-B.—C.-D.一

6323

【命题意图】本题考查古典概型，考查数学建模、数据分析的核心素养.难度：中等.

【答案】A

【解析】因为共有6个主题，甲乙两位学生抽取1个主题，结果有36种,其中抽到的主题相同

的结果有6种,所以甲乙两位学生抽到不同主题的概率为1-色=3,故选A.

366

【点评】文科对概率的考查一般以客观题形式考查，难度基本都不大.

【知识链接】求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.

⑵若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多，而其对立面的分

类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件

的概率.

10.已知函数/(无)=疝(0无+0)在区间除期单调递增,直线.£和工哼为函数股〃力

的图像的两条对称轴，则()

【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想，考查直观想象与逻辑推理

的核心素养.难度：较难.

【答案】D

(TT2冗AT27r冗冗

【解析】因为/(%)=sin(s+0)在区间上,二单调递增，所以：=g且0>0,则

vo3；2362

T=7T,w=§=2,当x=g吐取得最小直则2T+0=2E-gKeZ,

1662

贝九9=2比一予«€2,不妨取4=0,则/（同=5皿（2天一^^,贝|/［一"）=$.（一|^=，,

故选D.

【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题，本题具有综合性,把三角函数的图象、

单调性、对称性及三角函数求值交汇考查.

【知识链接】1.根据y=4sin(5+e),xGR的图象求解析式的步骤：

(1)首先确定振幅和周期，从而得到4与co.

(IM为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半.

(II)w由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间

的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的

距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的《个周

期(借助图象很好理解记忆).

(2)求(p的值时最好选用最值点求.

兀71

峰点：£wx+9=]+2标；谷点：a)x~\~(p=—彳+2E.

也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点.

升零点(图象上升时与X轴的交点)：ox+夕=2也；

降零点(图象下降时与x轴的交点)：0X+9=TT+2E(以上4GZ).

2；/(x)=Asin(0x+0XA>OM>O)的图象关于直线x=机对称，则/(m)=±A,关于点(«,0)对称,

则/(«)=0.

11.已知实数羽V满足f+y2—4x—2y—4=0,则％—V的最大值是()

A.1+殛B.4C.1+372D.7

2

【命题意图】本题考查圆的方程，考查直观想象、逻辑推理的核心素养，难度；较难.

【答案】C

【解析】解法一：令x—y=k，则x=k+y,

代入原方程化简得2y2+(2左—6)y+左2—4左—4=0,

因为存在实数儿贝[1A20,即(2左一6)2—4x2(产一4左一4)之0,

化简得左2—2左一17<0,解得1—3&<女<1+3后.

故工一丁的最大值是3拒+1，

解法二：x2+y2-4x-2y-4=0,WM(x-2)2+(y-l)2=9,

令1=3<»5。+2,丁=35111，+1,其中。€[0,2兀].

则x—y=3cos6—3sin，+1=3后cos+^+1,

tTT,1TvJ'ITnrIq-r

。目0,2旬，所以，+，则9+=2兀，即。=一时，x—y取得最大值

3逝+1，

解法三：题中方程可化为(x-2『+(y-l『=9,它表示圆心为(2,1),半径为3的圆，设x-y=t,

则直线x-y—=0与圆(x-2)2+(、-1)2=9有公共点,所以圆心到直线了-？—=0的距离

〃=邑口《3解得I_364Y1+3&,故选C.

解法四：因为—+9一4x-2y-4=0可得(x-2)2+(、-1)2=9,由“+Z?W,2(/+加)得

x_y=l+(x_2)+(L+J2[(x_2y+(y_l)[=]+3近，故选C.

【点评】本题非常经典，有多种解法，不同解法涉及直线与圆、三角函数、基本不等式及方程

思想等.

【知识链接】与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法.

①形如"=三型的最值问题，可转化为过点①力)和点(X,y)的直线的斜率的最值问题；②形如

t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x—a)2+(j—b)2型的最

值问题，可转化为动点到定点m力)的距离的平方的最值问题.

2

12.已知点A3是双曲线Cf-白=1上的两点，则可以作为中点的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度:

难.

【答案】D

【解析】设4(为,％),3(%,丫2)，则AB的中点M(土产,竺匹),可得

2

1

219-1

鼬="』，左=——=9^,因为A8在双曲线上，则<2

%，两式相减得

1

七十九2一

X]-x2%+X2-1

一2-9

(片一后卜"£=0.所以心次=4二与=9.对于选项A：可得左=1,配=9,则

X79X[-%2

y=9x-S

2*4

AB:y=9x—8,联立方程，y，消去y得72炉—2x72x+73=0,止匕时

I9

A=(-2x72)2-4x72x73=-288<0,所以直线与双曲线没有交点，故A错误;对于选项B：

95

y——x—

9Q522

可得上=-2,如=-不则A3:y=-m-彳，联立方程2，消去y得

222x2-^=l

[9

45d+2*45x+61=0,止匕时A=(2x45『一4x45x61=-4x45xl6<0,所以直线A8与双曲线没

有交点，故B错误;对于选项C：可得左=3,。=3,则AB：y=3尤由双曲线方程可得a=11=3,

则A3：y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；

'97

y——X—

99744

对于选项D：々=4,左钻=:,则=：无一:，联立方程2，消去、得

444j,

尤2~一-=1

[9

63d+126x-193=0,此时公=1262+4、63乂193>0,故直线人8与双曲线有交两个交点,故口

正确；故选D.

解法二：同解法一，先求得"/左=9,结合双曲线图形及直线与双曲线渐近线斜率的大小进行

判断

【点评】本题可以利用点差法，也可以利用中点坐标公式，后者方法容易想到，但运算量较大.

【知识链接】

L与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标尸（%,%）,Q（%,%）代入圆锥曲线方程作差，得

到关于"二耳%的关系式，再结合题中条件求解.

冗1-x2

2.求双曲线的以某点为中点的弦所在直线方程，求出方程以后一定要检验该直线与双曲线是

否有2个公共点.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知点在抛物线C：V=2px上，则A到C的准线的距离为.

【命题意图】本题考查抛物线的方程及几何性质，考查数学运算的核心素养.难度：容易.

【答案】49

4

25

【解析】由题意可得（百）=2pxl,贝1]2。=5,抛物线的方程为俨=5x,准线方程为》=一（,点

A到C的准线的距离为1-1-2=（.

【点评】本题属于送分题，解析几何在高考中一般有3到4道试题，若有3道试题，则这3道试

题分别涉及椭圆、双曲线、抛物线；若有4道试题，则这4道试题分别涉及圆、椭圆、双曲

线、抛物线.

【知识链接】

1.客观题中的抛物线一般考查抛物线定义、几何性质及运算能力,特别是求解有关线段长度时

要注意定义、方程思想及根与系数关系的应用.

2.抛物线尸=2川加>0）焦点到顶点距离为到准线距离为p.

3.设AB是过抛物线>2=280>0）焦点F的弦，若A（xi,yi）,8（X242）,则

31X2=4,>1>2=-p.

②|AF|=X+"|,|48|=a+&+0=前7a为弦AB的倾斜角）.

14.若6e]o，m}tane=g,则sin8-cos8=.

【命题意图】本题考查三角函数的基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素.难度：较

易.

【答案】—逝

5

【解析】

3Tsinf)1

解法一：因为。£0,-，则sin6>0,cose>0,又因为tane="=：,则cose=2sin。,

I2)cos夕2

且cos28+sin20=4sin26+sin?0=5sin26=1,解得sin0=或sin。=(舍去),

55

所以sin。一cos6=sin。一2sin。=-sin。=----

5

女刀并一,2nsin201-cos201乙日2八4H在八「八兀、七2八2^5

解法一：由tan0=-------=------z----=一得cos~8=—,因为。£0,一,所以cos。=----,

cos2^cos2^45I2)5

sin0-5/1-cos20=，所以sin6-cos0—--?.

角军法三：由0,5］且tan6=L<1得0<6<四,所以sinevcos/sin。一cos6=

V2J24

/sin2^-2sin^cos^+cos2_Itan20-2tan6+1V5

Vsin20+cos20vtan26+15

【点评】三角函数求值要注意消元与方程思想的应用，与sin。-cos。有关的运算要重视

(sin6土cos9)2=l±2sin9cos9的应用.

【知识链接】利用si/a+cos2a=1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角a所在象限确

定符号；利用黑^=tana可以实现角a的弦切互化.

LU3cx

x-3y<-1

15.若x,y满足约束条件，尤+2”9,则z=2x-y的最大值为.

3x+”7

【命题意图】本题考查线性规划，考查直观想象与数学运算的核心素养,难度：较易.

【答案】8

【解析】作出可行域如下图所示：z=2x-y,移项得y=2x-z,

[x—3y=-1[x=5,、

联立有尤+2=9'解得=2,设人(5,2),显然平移直线>=2x使其经过点A,此时截距-z

[%y[y

最小，则z最大,代入得z=8,

【点评】线性规划在前些年一直是高考热点，随着新教材的推进，热度与难度有所降低，前2年

都没有考查线性回归，今年虽然考查了线性规划题，但试题为常规题，且数据设置简单,为送分

题.

【知识链接】

如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是

多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：

第一种方法：将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是.

第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.

特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.

第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点己逐一代入目标函数比较各

个ZR；得最大值或最小值.

16.已知点S,A,5c均在半径为2的球面上，,ABC是边长为3的等边三角形，平面

ABCMSA=.

【命题意图】本题考查球与几何体的切接，考查直观想象、逻辑推理等核心素养.难度：难.

【答案】2

【解析】如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱SAW-ABC,

设「ABC的外接圆圆心为O,半径为J

_AB-3-oA

则2rsinZACB垂），可得r=6，

T

设三棱锥S-ABC的外接球球心为。，连接OA,OOX，则0A=2,OQ=；S4,

因为04?=OO1+aA?，即4=3+4SA?,解得5A=2.

4

【点评】球与几何体的切接是高考的热点与难点，常作为客观题中的压轴题，考查热点是几何

体的外接球，此类问题要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从

实际来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入

手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧

心理.

【知识链接】

1.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平

面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解，其中公式

R2=r+d2使用频率非常高，考生一定要重视.

2.若三棱锥有1条侧棱与底面垂直，求解其外接球问题，通常把该棱锥补成一个直三棱柱,

设该棱柱底面外接圆半径为r,高为h,则外接球半径R=+W.

三、解答题：共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试

验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测

量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为

y1=1,2，…,10).试验结果如下:

试验序号i12345678910

伸缩率须545533551522575544541568596548

伸缩率/536527543530560533522550576536

记马=%-％(i=1,2,…,10),记z,Z2,％的样本平均数为z，样本方差为1.

⑴求Z,S?；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显

著提高(如果[»2、忙，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产

-V10

品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)

【命题意图】本题考查平均数与方差的计算及平均数与方差的应用，考查数据分析与数学运

算的核心素养.难度：较易.

【解析】(1)

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548.

x=--------------------------------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=-----------------------------------------------------=541.3,

10

彳=元一4=552.3—541.3=11,

马=%—%的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

(9一11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19—11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

s2二------------------------------------------------------------------------------------

10

(2)由(1)知:N=11,2,=2扃=4^,故有N22舄,

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

【本题】明显可以看出该题参考了2021年乙卷文17题，无论难度或命题模式都一样,本题属

于基础题，主要考查考生的运算能力，运算失误是失分的主要原因.概率与统计是高考重点，在

高考试卷中既有客观题又有解答题，由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点，

一般情况下，排列组合、二项式定理、统计与概率、随机变量的分布列、正态分布都有可能

涉及.

【知识链接】

1.方差计算公式

2—2

—X)+(%2X)+...+(Xn—X)2](元〃是样本数据，〃是样本容量,x是样本平均数).

2.有关平均数、方差的一些结论

若数据Xl,X2,...^n的平均数为X，方差为S2.

则…,"X〃的平均数为QX,方差为01sl.

22

数据rwci+a,mx2+a,...,mxn+a的平均数为m％+a，方差为ms.

记S为等差数列｛«„｝的前n项和，已知名

18.n=11,S10=40.

（1）求｛a.｝的通项公式；

（2）求数列｛|aj｝的前几项和7“.

【命题意图】本题考查等差数列的通项与求和，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度;

中等.

【解析】（1）设等差数列的公差为d,

a2=%+d=11

a}+d=11q=13

即《

由题意可得《10x9」口，解得《

S=10%+------d=402a1+9d=8d=—2

102

所以4=13—2(〃一l)=15—2〃，

(2)因为S="13+15—2%4…2,

2

令a”=15一2”〉0,解得〃<叫,且〃eN*,

当九W7时，则a“〉0,可得<=闻+包卜---卜同=q+a2T----卜％=S”=14n—n2；

当口之8时，则a”<0,可得£=阎+,卜----=（%+%T卜％（4----------卜4）

(222；

=S7-(S„-S7)=2S7-S„=214x7-7)-(147?-«)=n-14n+98

14-n-n2,n<7

综上所述：（=<

n2-14n+98,n>8

【点评】本题为常规题型，可以在很多资料上找到非常相似的题,易错之处是求（忽略分类讨

论.

【知识链接】方程思想求等差数列与等比数列中的基本量

（1）等差数列中，已知5个元素。1,而力,J,%中的任意三个，便可求出其余两个.除已知ai,d,n求

a〃,S“可以直接用公式外，其他情况一般都要列方程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思

想.

（2）在等比数列五个基本量ai,q,n,an,Sn中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性

质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程（组）来求得余下的两个量，计算有时要

整体代换,根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论.

19.如图，在三棱锥尸一ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2^2,PB=PC=瓜

BP,AP,BC的中点分别为D,E,。，点尸在AC上，BFYAO.

R

A

(1)求证：石户〃平面ADO；

(2)若NPOR=120。，求三棱锥P—ABC的体积.

【命题意图】本题考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，考查直观想象及逻辑推理

的核心素养.难度：中等.

【解析】(1)连接。E,。尸，设AF=/AC,则8/=R4+A/=(1—r)84+LBC,

AO=—BAH—BC,BFJ_AO,

2

1215

则BF-AO=+tBC]\-BA+-BC)=(t-V)BA+-tBC2=4。-1)+4f=0,

解得/=L则尸为AC的中点，由E。,尸分别为PB,PA,3cAe的中点，

2

于是DE//AB,DE==AB,OF//AB,OF=LAB,即DE//OF,DE=OF,

-22

则四边形ODEF为平行四边形，

EFUDO,EF=DO,又EFU平面ADO,DOu平面ADO,

所以EFV/平面ADO.

(2)过P作PM垂直尸。的延长线交于点M,

因为PB=PC,0是BC中点,所以PO1BC,

在RtZ\PBO中，PB=V6,BO=—BC=A/2,

2

所以PO=NPB2—OB2=4^i=2,

因为ABLBC,OF//AB,

所以OF，5C,又POoOF=O,PO,OFu平面POF,

所以6cl平面POF,又9u平面POF,

所以BCLPM,又B。9=0,5C,月0u平面ABC,

所以PM，平面ABC,

即三棱锥尸—ABC的高为PM,

因为ZPOF=120°,所以ZPOM=60°,

所以PM=POsin60°=2x且=6，

2

又=-AB-BC=-x2x2y/2=242,

Z_A/lDt_22

所以Vp_A8C=g%ABC=1X2A/2X^=^J^-.

A

【点评】立体几何解答题是高考全国卷必考题，难度中等,一般分2问，通常1问考查平行或垂

直的证明,1问考查求几何体的表面积、体积或距离问题，对于线面位置关系的证明，步骤不规

范是失分的主要原因，对于求几何体的表面积、体积或距离问题，运算错误是失分的主要原因.

【知识链接】

证明线面位置关系应注意的问题

(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使

用平行、垂直的判定定理和性质定理；

(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证

明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

20.己知函数/(x)=p+a]ln(l+x).

(1)当a=—l时,求曲线y=/(x)在点。,/(耳)处的切线方程.

(2)若函数/(九)在(0,+8)单调递增，求。的取值范围.

【命题意图】本题考查导数的几何意义及用导数研究函数单调性.难度：较难.

【解析】⑴当a=—l时，/(x)=K-l)n(x+l)(x〉-l),

ln(x+l)+f--11

则=X,

X7+T

据此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

所以函数在。，/⑴)处的切线方程为y—0=—ln2(x—1),即(ln2)x+y—ln2=0.

(2)尸(x)=Wln(x+l)+[:+a]xJ^(x〉_l),

\JiJ\JiJJiI1

满足题意时r(%)n。在区间(。,+“)上恒成立.

令f—|In(%+1)+1—F〃]-----2。，则一(1+l)ln(x+1)+(x+tix?)N0,

1％J1%J+1

令g(%)=依2+%一(％+1)1n(%+1),原问题等价于g0在区间(0,+8)上恒成立，

则g'(x)=2dx-ln(x+l),

当〃<0时，由于2o«0,ln(x+l)>0,故g'(%)<0,g(x)在区间(0,+8)上单调递减,

此时g(%)vg(0)=0,不合题意;

1

令h(x)=gf(x)=2ov-ln(x+l),则〃(力-2a-

x+1

当2a»l时，由于贵<1,所以"(x)>0，Mx)在区间(0,+“)上单调递增，

即g'(x)在区间(0,+s)上单调递增，

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+“)上单调递增，g(%)>g(O)=O,满足题意.

当0<a<—时，由/z'(x)=2a-------=0可得x=------1,

2x+12a

当xe[o,5—l卜寸，〃(x)<0/(x)在区间1—1)上单调递减即g'(x)单调递减,

2a

注意到g'(0)=0,故当时，g'(x)<g'(O)=O,g(x)单调递减，

由于g(0)=0,故当时，g(x)<g(O)=。，不合题意.

综上可知：实数0得取值范围是｛aI。2；1.

【点评】求曲线的切线方程及要导数研究函数单调性都是高考高频考点.

【知识链接】

(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率,求函数的导数要准确地把函数拆分成基

本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要

时要进行换元.

（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①函数在区间（。力）上单调，实际上就是在该区间上/'（到20（或/'（%）W0）恒成立.

②函数在区间（。/）上存在单调区间，实际上就是/'（X）»0（或/'（x）WO）在该区间上存在

解集.

21.已知椭圆C：2T+==1（。〉。〉0）的离心率是正，点A（—2,0）在。上.

ab3

（1）求。的方程；

（2）过点（-2,3）的直线交C于尸,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：

线段的中点为定点.

【命题意图】本题考查求椭圆的方程及直线过定点定值问题，考查数学运算与逻辑推理的核

心素养.难度：难.

b=2a—3

【解析】（1）由题意可得〈a2=b~+c2，解得,b=2,

c\[5c=A/5

e=—二—

a3

22

所以椭圆方程为2-+土=1.

94

（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设P。：y=左（％+2）+3,2（%,乂）,。（X2，%），

y=左（x+2）+3

联立方程必，消去丁得:2

,y2