材料力学弯曲内力

第四章弯曲内力§4–1平面弯曲的概念§4–2梁的剪力和弯矩§4–3剪力图和弯矩图§4–4剪力、弯矩与荷载集度间的关系§4–5按叠加原理作弯矩图1精选课件

§4–1平面弯曲的概念一、弯曲的概念

1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。2精选课件3.工程实例3精选课件纵向对称面MF1F2q二、平面弯曲杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。4精选课件三、简单静定梁悬臂梁简支梁外伸梁5精选课件火车轮轴简化梁的载荷与支座6精选课件车削工件7精选课件吊车大梁简化受均布载荷8精选课件§4–2梁的剪力和弯矩FABalFABFAxFAyFB荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。9精选课件PABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs

表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M表示之。

⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；

⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。10精选课件⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正负的规定弯矩正负的规定内力通过平衡方程计算。AFAyⅠⅠFsMx11精选课件

计算梁内力的步骤：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；⒊画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；⒋列平衡方程

Fx=0，求剪力FS

；

m=0，求弯矩。12精选课件例1求图示梁1、2、3、4截面的内力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：取整体，FAFB1－1截面FA11Fs1M1A由1－1截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩M=0。13精选课件CP=12kN2－2截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M3A3－3截面ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB14精选课件D2233PFs3M3Fs2M2由2、3截面的内力计算可得如下结论：⑴集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；⑵集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB15精选课件C44M4Fs44－4截面由4－4截面的内力计算可得如下结论：⑴自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；

⑵自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB16精选课件例2求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：取整体，1－1截面FA11Fs1AM1m117精选课件FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面3－3截面FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m18精选课件由2、3截面的内力计算可得如下结论：⑴集中力偶两侧截面的的剪力相等；⑵集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m19精选课件例3求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m解：取整体1－1截面FA11Fs1M1A20精选课件BFA22Fs2M2Am2－2截面33Fs3M3FBq3－3截面BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m21精选课件§4–3剪力图和弯矩图qxql-xlFs(x)M(x)图示梁任一截面的内力。截面剪力是截面坐标的函数，称为剪力方程。截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。22精选课件qxl剪力方程的函数图象称为剪力图。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。剪力图qlxFs⊕弯矩方程的函数图象称为弯矩图。-ql2/2弯矩图xM23精选课件q悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程x依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxl由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为4例题5qx24精选课件BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab例题625精选课件BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2x1AC3.依方程画出剪力图和弯矩图。CMab例题726精选课件BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCx3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx例题827精选课件§4–4剪力、弯矩与荷载集度间的关系ABdxxq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxo取微段dx，受力如图。28精选课件ABdxx略去高阶微量得：q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)dxo29精选课件

⑴

当q=0，Fs

=常数，Fs

图为平直线；

M为一次函数，M图为斜直线；

⑵

当q=常数，Fs为一次函数，Fs图为斜直线；

M为二次函数，M图为抛物线；

当M图为抛物线时，画M图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。由：

可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。30精选课件1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变化，成为一个转折点。2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶矩数值。3、的绝对值可能发生在剪力等于0处，也可能发生在集中力作用处，还有集中力偶处。根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。另外：31精选课件根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；⒊用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由Fs=0确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；⒋用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。32精选课件例9画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FAFB34m11解：取整体Fs图M图FsM1234==00B33精选课件AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs图M图FsM12345==00FA22Fs2M2A66612B34精选课件Fs图M图FsM1234==0066-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB6FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN34m11B35精选课件AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs图M图FsM12345==0066-181224B66kN18kN⊕○－⊕3m5555Fs5M5FBq02712kN.m24kN.m27kN.mB36精选课件例10画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整体Fs图M图FsM12345==002mB4455D6===37精选课件AC2mF=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs图M图Fs

M12345==002mB4455D6===5-75FA33Fs3M3AF-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m38精选课件AC2mF=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs

图M图FsM12345==002mB4455D6===5-75RA44Fs

4M4AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m8kN.m8839精选课件例11画图示梁的内力图。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：取整体，FBmAFs图M图Fs

M1234==0084440精选课件ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs图M图Fs

M1234==00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2-8-8-8⊕○－4kN8kN⊕○－8kN.m8kN.mCB41精选课件例12画图示梁的内力图。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：取整体，FAFC4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)42精选课件ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs

图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－43精选课件ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA33Fs3M3Amq9444精选课件ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2⊕45精选课件二、按叠加原理作弯矩图qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/lFA=ql/2FB=ql/2Fs图M图⊕⊕○－m/lm⊕○－ql/2ql/2ql2/8m/l+ql/2m/l-ql/2⊕○－mql2/8=++=⊕○－Mmax46精选课件PmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/lRA=P/2FB=P/2Fs图M图⊕⊕○－m/lmP/2P/2Pl/4m/l+P/2m/l-P/2○－○－mPl/4=++=l/2l/2l/2l/2l/2P⊕○－⊕⊕47精选课件应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况：l/2l/2ABMAMBPl/2l/2ABMAMBqPl/4○－⊕○－○－MAMBMBMA⊕○－ql2/8M图(b)M图(a)

⑴

AB段梁中间作用一集中力P，两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（a）所示；

⑵

AB段梁作用于均布荷载

，两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（b）所示。48精选课件例13用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN6m2m11223344BCM图解：将梁分为AB，BC两段。8kN.m9kN.m○－⊕不必求支座反力。49精选课件例14用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM