天津市育华实验中学2023-2024学年数学九年级上册期末监测试题含解析

天津市育华实验中学2023-2024学年数学九上期末监测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.-5的倒数是

3.已知R3ABC,NACB=90",BC=10,AC=20,点D为斜边中点，连接CD,^ABCDCDB5D

交AC于点E,则言;的值为（

c.V7V5

V3

4.如图，将AQAB绕点。逆时针旋转70°到AOCD的位置，若厶。5=40，则厶。。=（）

A.45B.40C.35D.30

5.如图，E是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，连接AE并延长交BC于点F,且啜=2，则处的值是()

BC3DE

6.如图是二次函数y=a(x+lJ+2图象的一部分，则关于x的不等式a(x+3『+2>0的解集是()

A.x>-3B.x>—5C.-3<X<1D.-5<x<-l

7.如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体.将正方体①移走后，所得几何体()

A.主视图改变，左视图改变B.俯视图不变，左视图不变

C.俯视图改变，左视图改变D.主视图改变，左视图不变

8.平面直角坐标系内，已知线段A8两个端点的坐标分别为A(2,2)、8(3,1),以原点0为位似中心，将线段48

扩大为原来的2倍后得到对应线段A*,则端点A'的坐标为()

A.(4,4)B.(4,4)或(-4,-4)C.(6,2)D.(6,2)或(-6,-2)

9.下列各式正确的是()

A.72+73=75B.h3)2=3

10.正方形A8CZ)内接于。。，若。。的半径是行，则正方形的边长是()

A.1B.2C.D.272

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在矩形A8C。中，P为CQ边上一点（OPCCP）,NAP8=90°.将沿AP翻折得到△407,尸。,的延长

线交边A3于点M,过点5作BN〃M尸交OC于点N,连接AC,分别交尸/M,PB于点E,F.现有以下结论：

①连接则AP垂直平分OZT；

②四边形PM8N是菱形；

③AD2=DP-PC；

④若4£>=2OP,则变=3；

AF9

其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）

12.△ABC中，E,尸分别是AC,A5的中点，连接EF,则SAAEF：SAABC=.

13.在矩形ABC。中，AB=2AD=4,以点A为圆心，A3为半径的圆弧交CO于点E,交AD的延长线于点尸，

连接AE,则图中阴影部分的面积为：.

AB

14.一元二次方程2W+3x+l=0的两个根之和为

15.如图已知二次函数yi=x?+c与一次函数yz=x+c的图象如图所示，则当yiVy2时x的取值范围

16.下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程.

如图1,已知圆上一点A,画过A点的圆的切线.

图3

画法：（1）如图2,将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A,另一条直角

边与圆交于B点，连接AB；

（2）如图3,将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B,画出另一条直角边所在的直线AD.

所以直线AD就是过点A的圆的切线.

请回答：该画图的依据是.

17.抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标为.

18.如图，以等边△阳（：的一边AB为直径的半圆0交AC于点D,交BC于点E,若厶B=4,则阴影部分的面积是.

AOB

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图1,在平面内，不在同一条直线上的三点A民C同在以点。为圆心的圆上，且NA8C的平分线交0。

于点连接AO,CD.

D

AD

图2

(1)求证:AD=CD；

(2)如图2,过点。作DE丄84,垂足为点E,作。尸丄8C,垂足为点尸，延长交。于点连接CM.若

AZ>=CM,请判断直线OE与。的位置关系，并说明理由.

20.(6分)如图，已知EC〃AB,NEDA=NABF.

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形;

（2）求证：0.=OE・OF.

21.（6分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）

满足w=-2x+80（20W烂40）,设销售这种手套每天的利润为y（元）.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

22.（8分）已知二次函数y=*2+bx+c的函数值y与自变量x之间的对应数据如表：

X・・・-101234・・・

y・・・1052125・・・

（1）求氏c的值；

（2）当x取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？

23.（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，

点Q沿DA边从点D开始向点A以Icm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移，动的时间（0<t<6）,那

么：

(1)当t为何值时，AQAP是等腰直角三角形？

(2)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与AABC相似?

24.(8分)实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的

一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，

干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360

万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元.

(1)求甲、乙两种智能设备单价；

(2)垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中

物资成本占总成本的40%,且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍?还多10元.调查发现，若燃料棒售价为

每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低I元，平均每天可多售出5吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的

销售利润平均每天达到3608()元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%,求每吨燃料棒售价应为多少

元？

25.(10分)如图，正方形ABC。的边在正方形ECGF的边CE上，连接DG,过点A作AH〃OG,交于点连

接“尸，AF,其中A尸交EC于点M.

(1)求证：尸为等腰直角三角形.

(2)若AZ?=3,EC=5,求EM的长.

26.(10分)全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题:

(1)甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是;

(2)乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

【分析】若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

【详解】解：5的倒数是-g.

故选C.

2、A

【分析】根据圆周角定理和正切函数的定义，即可求解.

【详解】•••N1与N2是同弧所对的圆周角，

，N1=N2,

1

/.tanZ1=tanZ2=—,

3

故选A.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理和正切函数的定义，把N1的正切值化为N2的正切值，是解题的关键.

3、A

【分析】如图，过点B作BH丄CD于H,过点E作EF丄CD于F,由勾股定理可求AB的长，由锐角三角函数可求

BH,CH,DH的长，由折叠的性质可得NBDC=NB，DC,SABCD=SADCB'=50,利用锐角三角函数可求EF=^E,由

11

面积关系可求解.

【详解】解：如图，过点B作BH丄CD于H,过点E作EF丄CD于F,

•AB=7AC2+BC2=V100+400=1(X/5，SAABC=^-xl0x20=100,

•点D为斜边中点，ZACB=90°,

.AD=CD=BD=5右，

•ZDAC=ZDCA,ZDBC=ZDCB,

,,ACBH

,sinZBCD=sinZDBC=——=——，

ABBC

20_BH

,1075-10,

.BH=4石，

•CH=yjBC2-BH2=V100-80=2小，

,DH=3V5»

•将△BCD沿CD翻折得△B，CD,

.ZBDC=ZB'DC,SABCI>=SA»CB'=50,

BHEF

.tanZBDC=tanZB'DC=——=——,

DHDF

475EF4

•韭=而=3'

.设DF=3x,EF=4x,

EFBC

,tanZDCA=tanZDAC=—=——，

FCAC

4x10

'Tr-20'

.FC=8x,

"DF+CF=CD,

'.3x+8x=56，

:.X:正,

11

.g20亚

11

1250

.,.SADEC=—xDCxEF=——，

211

250300

••SACEB'=50-----,

1111

DE_SgEc_2

BES.EC6

故选：A.

【点睛】

本题考査了翻折变换，直角三角形的性质，锐角三角函数的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键.

4、D

【分析】首先根据旋转角定义可以知道280。=70,而厶。8=40,然后根据图形即可求出厶OD.

【详解】解：T\OAB绕点。逆时针旋转70°到AOCO的位置,

■-ZBOD=7Q),

而ZAO6=40°，

二•ZAO。=70-40=30

故选D.

【点睛】

此题主要考査了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识.

5、A

BEBF

【分析】由BF〃AD,可得一=—,再借助平行四边形的性质把AD转化为BC即可.

DEAD

【详解】•••四边形ABCD是平行四边形，

.*.AD=BC,

•BC"3)

BF1

•••_一_•

AD3

VBF/7AD,

.里=尤丄

•,DEAD3,

故选A

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质和平行线截线段成比例定理，掌握平行线截线段成比例定理是解题的关键.

6、D

【分析】先根据抛物线平移的规律得到抛物线y=a(x+3)2+2,通过观察图象可知，它的对称轴以及与x轴的交点,

利用函数图像的性质可以直接得到答案.

【详解】解：•••根据抛物线平移的规律可知，将二次函数y=a(x+iy+2向左平移2个单位可得抛物线

y=a(x+3y+2,如图：

...y=a(x+3y+2对称轴为x=—3,与x轴的交点为(—5,0),(-1,0)

:.由图像可知关于x的不等式a(x+3『+2>()的解集为：-5<x<-l.

故选：D

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的平移规律、对称性，数形结合的思想，解题关键在于通过平移

规律得到新的二次函数图象以及与x轴的交点坐标.

7、D

【解析】试题分析：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1,2,1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1,

2；发生改变.将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2,1,1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2,1,

1;没有发生改变.将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1,3,1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1,

3；发生改变.故选D.

【考点】简单组合体的三视图.

8、B

【分析】根据位似图形的性质只要点A，的横、纵坐标分别乘以2或-2即得答案.

【详解】解：:•原点0为位似中心，将线段AB扩大为原来的2倍后得到对应线段A2"且A(2,2)、B(3,1),

二点A的坐标为(4,4)或(-4,-4).

故选：B.

【点睛】

本题考查了位似图形的性质，属于基础题型，正确分类、掌握求解的方法是解题关键.

9、B

【分析】根据二次根式的性质，同类二次根式的定义，以及二次根式的除法，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】解：A、、历+遭无法计算，故A错误；

B、"3)2=3,故B正确；

D、E=故D错误；

V-9\93

故选：B.

【点睛】

本题考査了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题.

10、B

【分析】作OE丄AD于E,连接OD,在RtAODE中，根据垂径定理和勾股定理即可求解.

【详解】解:

作OE丄AD于E,连接ODJIJOD=0.

在RtAODE中，易得NEDO为45。，AODE为等腰直角三角形，ED=OE,

OD=ylED2+OE2=V2£D2=V2.

可得：ED=1,

/.AD=2ED=2,

所以B选项是正确的.

【点睛】

此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形,利用垂径定理与勾股定理即可解决问题.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、（D@③

【分析】根据折叠的性质得出4尸垂直平分DO',判断出①正确.

过点尸作PG丄A3于点G,易知四边形ZJPGA,四边形PC5G是矩形，所以A£>=PG,DP=AG,GB=PC,易证

AAPGs^PBG,所以PG2=AG・G5,即图必二川^尸^；判断出③正确；

DP//AB,所以NZ>24=ND4M,由题意可知：ZDPA=ZAPM,所以NP4M=NA尸M,由于N4P8-N/%M=N4/>8

-ZAPM,即NABP=NMP3,从而可知尸M=MB=AM,又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN

是菱形；判断出②正确：

DP1

由于——=-,可设OP=1,AD=2,由（1）可知：AG=DP=1,PG=AD=2,从而求出G5=PC=4,AB=AG+GB

AD2

AF5AE5

=5,由于C尸〃A5,从而可证△PCFS2^BA尸，APCESAMAE,从而可得——=-,—=一，从而可求出E尸

AC9AC13

5520FF4

=AF-AE=-AC-—AC=—AC,从而可得——=—,判断出④错误.

913117AE9

【详解】解：..•将沿AP翻折得到△AZTP,

.•.4尸垂直平分故①正确；

解法一：过点尸作尸G丄AB于点G,

二易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形，

：.AD=PG,DP=AG,GB=PC

VZAPB=90°,

AZAPG+ZGPB=ZGPB+ZPBG=90°,

：.ZAPG=ZPBG,

:厶APGsMBG,

.PGGB

••=9

AGPG

：.PG2=AG*GB,

即AD2=DPTC；

解法二：易证：AADPSAPCB,

.AD_PC

••---=-----9

DPCB

由于4D=C8,

：.AD2=DP-PC；故③正确；

'：DP//AB,

：.ZDPA=ZPAM,

由题意可知：ZDPA=ZAPM,

AZPAM=ZAPM,

VNAPB-ZPAM=ZAPB-NAPM,

即NABP=NMPB

：.AM=PMtPM=MB,

：.PM=MB,

又易证四边形PMBN是平行四边形，

・•・四边形PM5N是菱形；故②正确；

可设。P=l,AD=2f

由（1）可知：AG=DP=19PG=AD=29

■:PG?=AG・GB,

，4=1・G3,

：.GB=PC=49

AB=AG+GB=59

,:CP〃AB,

:•△PCFS/^BAF,

.CFPC4

••==-f

AFAB5

.AE5

•（---——

AC9

又易证：APCEsAMAE,AM=-AB=-

22

.CEPC8

.AE5

,•----=---9

AC13

.5八520c

■*EF—AF-AE=-AC~—AC=AC

913117

FF4

故④错误，

AE9

即：正确的有①②③，

故答案为：①②③.

本题是一道关于矩形折叠的综合题目，考查的知识点有折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，菱形的判定等,

此题充分考查了学生对所学知识点的掌握情况以及综合利用能力，是一道很好的题目.

12、丄

4

【分析】由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求得BC=

1EF,然后根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】•••△43C中，E、尸分别是43、AC的中点，EF=4,

...EF是△A8C的中位线，

：.BC=\EF,EF//BC,

...△AEFS"BC,

：・SAAEF：S&ABC=(---),=—,

BC4

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考査了三角形中位线的性质，三角形面积比等于相似比的平方，三角形中位线是对应边的一半，所以得到相似比

是1：1.

13、-71—2-^3

3

【分析】首先利用三角函数求的NDAE的度数，然后根据S阴影=S扇形AEF-SAADE即可求解.

【详解】解：•・•AB=2AD=4,AE=AB,

***AD=2,DE=yj—AD~=2,

•宀,DA1

.・RtAADE中,cosNDAE=-----=—，

AE2

:.ZDAE=60°,

t11/-I—60nx4~8万

贝!JSAADE=—AD-DE=—x2x2=2,S爾形AEF=…,

223603

rI8乃/-

贝!1S阴影二S爾形AEF-SAADE=7--2-73・

故答案为g万一26.

【点睛】

本题考査了扇形的面积公式和三角函数，求的NDAE的度数是关键.

14、」

2

【解析】试题解析：由韦达定理可得：

b3

X\+X2=一

a2

.3

故答案为：-不.

2

点睛：一元二次方程根与系数的关系：

bc

F+%2=,X|,%2二一•

aa

15、0<x<l.

【解析】首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当yiVyz时x的取值范围.

【详解】解：由题意可得：x2+c=x+c,

解得：X1=O,X2=l>

则当yi〈y2时X的取值范围：0<x<L

故答案为OVxVl.

【点睛】

此题主要考查了二次函数与一次函数，正确得出两函数的交点横坐标是解题关键.

16、90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【详解】解：利用90。的圆周角所对的弦是直径可得到A5为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是

圆的切线可判断直线AO就是过点A的圆的切线.

故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作

图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐

步操作.

17、(2,-1).

【解析】先把函数解析式配成顶点式得到y=(x-2)'-I,然后根据顶点式即可得到顶点坐标.

解：y=(x-2)'-I,

所以抛物线的顶点坐标为(2,-1).

故答案为（2,-1）.

“点睛”本题考查了二次函数的性质.二次函数的三种形式：一般式：y=ax%bx+c,顶点式：y=（x-h）2+k；两根式:

y=a（x-xi）（X-X2）.

18、73

a

【分析】作辅助线证明△AOD纟ADOE纟aEOB纟aCDE,且都为等边三角形,利用等边三角形面积公式S=^-a2即可

4

解题.

【详解】解：连接DEQDQE,

在圆中,OA=OD=OE=OB,

VAABC是等边三角形，

/.ZA=60",

.•.△AOD丝^DOE纟ZkEOB纟ZXCDE,且都为等边三角形，

VAB=4,BPOA=OD=OE=OB=2,

易证阴影部分面积=5ACDE=gx2x百=6.

【点睛】

本题考查了圆的性质，等边三角形的判定和面积公式，属于简单题，作辅助线证明等边三角形是解题关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理的推论，即可得到结论；

（2）连接8,过。作DE丄43交84的延长线于E,由8C为直径，得AB丄AC,由A0=CO,得。D丄AC,进而

可得0D丄DE,即可得到结论.

【详解】（1）TBC平分厶3C,

二ZABD=ZCBD,

：•AD=CD，

:.AD=CD；

(2)直线DE与。相切，理由如下：

连接8,过。作3E丄A5交84的延长线于£,

V8c为直径，

...NBAC=90。，

:.ABLAC,

,:AD=CD,

ZODIAC,

：.ODAB,

VDE±Afi,

：.ODVDE,

【点睛】

本题主要考査垂径定理和圆的切线的判定定理，掌握圆的切线的判定定理，是解题的关键.

20、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：(1)由EC〃AB,NEDA=NABF,可证得NDAB=NABF,即可证得AD〃BC,贝!］得四边形ABCD

为平行四边形；

..“OAOB,“OBOF___.OAOF.

(z2)由EC〃AB,可得一=——，由AD〃BC,可得一=——,等量代换得出一=—,n即nQA2=OE・OF.

OEODODOAOEOA

试题解析：(1)VEC/7AB,/.ZEDA=ZDAB,VZEDA=ZABF,二NDAB=NABF,；.AD〃BC,VDC/7AB,:.

四边形ABCD为平行四边形；

/、〃.AOAOB.,OBOF.OAOF

(2)VEC/7AB,.•.△OAB^AAOED,/.—=——,VAD/7BC,/.△AOBF^AAODA,/.——=—，:.—=—,

OEODODOAOEOA

：.OA2=OE»OF.

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质.

21、(1)y=-2x2+120x-1600；(2)当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为1元.

【分析】(1)用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；

(2)由(1)得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价.

【详解】(1)y=w(x-20)

=(-2x+80)(x-20)

=-2x2+120x-1600；

(2)y=-2(x-30)2+l.

V20<x<40,a=-2<0,:*当x=30时，y最大值=1.

答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为1元.

【点睛】

本题考查的是二次函数的应用.(1)根据题意得到二次函数.(2)利用二次函数的性质求出最大值.

22、(1)b=-4,c=5；(2)当x=2时，二次函数有最小值为1

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)根据图象上点的坐标，可得出图象的对称轴及顶点坐标，即可得到答案.

【详解】(1)把(0,5),(1,2)代入厂好+法+,得：

c=5

\+b+c=2'

b=-A

解得：\u，

c=5

b=-4,c=5；

(2)由表格中数据可得：

=%=3时的函数值相等，都是2,

...此函数图象的对称轴为直线x=@=2,

2

/.当x=2时，二次函数有最小值为1.

【点睛】

本题考査了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

23、(1)t=2s；(2)t=L2s或3s.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得QA二AP,从而可以求得结果；

(2)分国="与纟人=丝两种情况结合相似三角形的性质讨论即可.

ABBCBCAB

【详解】（1）由QA=AP,即6-t=2t,得t=2（秒）；

.QAA.P.6—t2t.,,

（2）当上」=——时，AQAP〜AABC,则——=一，解得t=1.2（秒）

ABBC126

.QA.A.P.6—t2t.„,

当工=—时rvX，ZkQAP〜AABC,则——=—,解得t=3（秒）

BCAB612

.•.当t=L2或3时，△QAP-AABC.

24、（1）甲设备60万元每台，乙设备80万元每台.（2）每吨燃料棒售价应为188元.

【分析】（1）设甲单价为x万元，则乙单价为（140-x）万元，再根据购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能

设备花费480万元，购买的两种设备数量相同列出分式方程并解答即可；

（2）先求出每吨燃料棒成本为。