2023届云南省曲靖市高考模拟考试（二）数学试题

2023届云南省曲靖市高考模拟考试（二）数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

-2

八/\~x~+2x,x20-2

1.已知函数/（x）={2，若关于X的不等式［r〃力］+4（同<0恰有1个整数解，则实数”的最大值

x"—2元,x<0

为（）

A.2B.3C.5D.8

2.如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱A3CO-A与G2中，点P是平面内一点，则三棱锥P—38

的正视图与侧视图的面积之和为（）

正视

A.2B.3C.4D.5

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

4

4

-

—6-国

左

祝

三祝国

当

僚

祝

A.48+12&B.60+12V2C.72+120D.84

4.已知三点4(1,0),8(0,73),C(2,百），则AABC外接圆的圆心到原点的距离为（）

5叵

3

C.亚D,1

33

5.设集合A={X|X2-5X-6<。},8={X|X-2<0},则A8=（）

A.{H-3cx<2}B.{x|-2<x<2}

C.{x|-6<x<2}D.{%|-l<x<2}

6.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到

四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A,医生乙只能分配到医院A或医院8,医生丙不能分配到医生甲、

乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.20种C.22种D.24种

7.已知（1+/lx）"展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，（1+/1盼"=%+。/+//++anx",

若q+&+…=242,则为-4+%-----卜（一1）"。"的值为（）

A.1B.-1C.81D.-81

8.总体由编号为01,02,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如

表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

6044664421

6606580562

6165543502

4235489632

1452415248

9266221586

7663754199

5842367224

A.23B.21C.35D.32

x>l

9.已知实数x,满足，则z=/+y2的最大值等于（）

x+2y-6<0

A.2B.272C.4D.8

10.以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样

的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量x与丫的随机

变量二的观测值攵来说，左越小，判断“x与y有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

11.在区间［-3,3］上随机取一个数x,使得三NO成立的概率为等差数列｛叫的公差，且。2+4=7,若4>0,

X—1

则〃的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

12.如图，在等腰梯形A8CO中，AB//DC,A6=2OC=2AQ=2,ZZMB=60°,E为A8的中点，将

与ABEC分别沿互>、EC向上折起，使A、B重合为点F,则三棱锥E—OCE的外接球的体积是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在矩形ABC。中，AD=2AB=4,E是A£>的中点，将ZX/WE,△CDE分别沿BE,CE折起，使得

平面ABEL平面BCE,平面CQEL平面BCE,则所得几何体ABCDE的外接球的体积为.

14.函数y=cos（2x+0）（nW0W;r）的图象向右平移:个单位后，与函数y=sin（2x+（J的图象重合，贝!|

4=.

15.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有一种.（用数字作答）

16.在平面直角坐标系xOy中，圆。:（%-m）2+产=/（〃?>0）.已知过原点。且相互垂直的两条直线4和心其中《

与圆C相交于A,B两点,4与圆。相切于点。•若AB=O。，则直线4的斜率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习

惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环

保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫

生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息

规律状况类.经过数据整理，得到下表：

卫生习惯状垃圾处理状体育锻炼状心理健康状膳食合理状作息规律状

况类况类况类况类况类况类

有效答卷份数380550330410400430

习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；

（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具

备两类良好习惯的概率；

（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“短=1”表示任选一位第4类受访者是习惯良好者，“4=0”表示任选一位第

A类受访者不是习惯良好者（4=1,2,3,4,5,6）.写出方差。友，D^,。4，吟,。短的大小关系.

18.（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面A3CD是边长为2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

（D证明：尸。//平面AEC；

（2）设厂是线段。。上的动点，当点E到平面R3距离最大时，求三棱锥P-AEE的体积.

19.（12分）已知函数/（幻=生土土竺,aeH

e

（1）若函数y=/（x）在x=与（In2<Xo<ln3）处取得极值1,证明：

m2m3

（2）若—4恒成立，求实数”的取值范围.

e

20.（12分）已知倾斜角为一的直线经过抛物线。：/=22吠0>0）的焦点尸，与抛物线C相交于A、8两点，且

4

IA31=8.

(1)求抛物线C的方程：

(2)设p为抛物线c上任意一点(异于顶点)，过p做倾斜角互补的两条直线《、4,交抛物线c于另两点c、D,

记抛物线C在点P的切线/的倾斜角为a,直线CO的倾斜角为用，求证：a与4互补.

21.(12分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定

当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每

个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到2()日每天维修元件4的个数，具体数据如下表：

日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日

元件4个数91512181218992412

日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日

元件4个数12241515151215151524

从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.

(I)求X的分布列与数学期望；

(II)若a,b^N",且尻a=6,求尸(a<XWb)最大值；

(ID)目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少

需要增加几名维修工人？(只需写出结论)

22.(10分)以直角坐标系xOy的原点为极点，X轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线C的

x=4+3cos6r、

参数方程：\...八(。为参数)，直线/的极坐标方程：6=a(aw0,%),PGH)

y=3+3sm。L

(1)求曲线。的极坐标方程；

(2)若直线/与曲线。交于A、B两点,求|。4|+|。8|的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,D

【解析】

画出函数/(x)的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.

【详解】

解：函数/(X),如图所示

(X)1+4(X)<0=>/(刈(/(X)+々)<0

当〃>()时，一〃</(%)<0,

由于关于X的不等式(力丁+4(x)<0恰有1个整数解

因此其整数解为3,又“3)=—9+6=—3

—a<—3<0>~ci2/(4)——8,则3<aW8

当a=0时，[/(x)]<0,则a=0不满足题意；

当a<0时，0</(%)<-«

当0<-a〈l时，0<〃x)<—“，没有整数解

当—。>1时，0</(x)<—a,至少有两个整数解

综上，实数。的最大值为8

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.

2、A

【解析】

根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.

【详解】

由三视图的性质和定义知，三棱锥P-BCD的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是

?xlx2=l,正视图与侧视图的面积之和为1+1=2,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算

能力，属于基础题.

3,B

【解析】

画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.

【详解】

该几何体的直观图如图所示：

故S=2x6+2x6+°+4)x2x2+4x6+6x27^=64+120.

【点睛】

本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

4、B

【解析】

因为△力，。外接圆的圆心在直线，。的垂直平分线上,即直线工=1±

可设圆心P(l,p),由P4=Pim:|p|=J1+(P-V3)2,得P=竽

国心坐标为P(1，竽)

6

所以圆心到原点的距离|OF|

~3~

选B.

考点：圆心坐标

5、D

【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.

【详解】

由题意知，集合A={尤[一1<x<6},8=[,<2},

由集合的交运算可得,Ac8={x|-l<x<2}.

故选:D

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.

6、B

【解析】

分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院4分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到

答案.

【详解】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院8,当医院8只有1人，则共有种不同

分配方案，当医院8有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时,

共有C；&+=10种不同分配方案;

第二类：若医院4分配2人，当乙在医院A时，共有A；种不同分配方案，当乙不在A医院,

在8医院时，共有C；A；种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有A；+C\A；=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

【点睛】

本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.

7、B

【解析】

根据二项式系数的性质，可求得〃，再通过赋值求得旬以及结果即可.

【详解】

因为(1+Axy展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

故可得〃=5,

令x=0,故可得1=。0，

又因为4+/++为=242,

令x=l,则(1+4)5=/+4+4++%=243,

解得4=2

令x=-1>则(1—2)'=。0—1)=—1•

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.

8、B

【解析】

根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.

【详解】

随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6,所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46,64,

42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在编号01,02,39,40内

的有：16,26,16,24,23,21,…依次不重复的第5个编号为21.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.

9、D

【解析】

画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z的最大值.

【详解】

=YH,Qc|=2jL所以

画出可行域如下图所示，其中由于

所以原点到可行域上的点的最大距离为2近.

所以z的最大值为（2痣『=8.

本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

10、C

【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③.

【详解】

①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接

近于0;故②为真命题；

③对分类变量x与y的随机变量K?的观测值我来说，女越小，“x与丫有关系”的把握程度越小，故③为假命题.

故选：c.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题.

11、D

【解析】

由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x的范围区间长度，利用几何概型公式可得概

率，即等差数列的公差，利用条件。2+。6=2。4,求得的=-2,从而求得生=-#+1，解不等式求得结果.

【详解】

由题意，本题符合几何概型，区间［-3,3］长度为6,

使得成立的x的范围为(1,3］,区间长度为2,

3-r21

故使得二一20成立的概率为：=；=△,

x-163

“CCC\110〃

又为+4——4=2%,•-4=-2，a”_2+(“-4)X1=——--i--,

令4>0,则有〃>10,故〃的最小值为11,

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式,

属于基础题目.

12、A

【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积.

【详解】

由题意等腰梯形中公4=AE=区？=BC=C£),又NZMB=60。，...AAED,ABCE是靠边三角形，从而可得

OE=CE=CZ),.•.折叠后三棱锥/一。石。是棱长为1的正四面体，

设"是ADCE的中心，则平面。CE,DM=-x—xl=—,FM=\JFD2-DM2=—,

3233

尸―DCE外接球球心。必在高上，设外接球半径为R,即"'=OD=H,

:/二件一封+吟丫,解得R=q,

球体积为V--71^=+兀义（西~）3=^^兀.

3348

故选：A.

【点睛】

本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

32

13、--7T

3

【解析】

根据题意，画出空间几何体，设.BE,EC,8C的中点分别为M,N,O,并连接

AM,CM,AO,DN,NO,DO,OE,利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE的外接球的球

心为。，即可求得其外接球的体积.

【详解】

由题可得Z\ABE,△COE,△BEC均为等腰直角三角形，如图所示，

设BE,EC,6C的中点分别为M,N,O,

连接CM,AO,DN,NO,DO,OE,

则OM_LB£,ONICE.

因为平面ABE±平面BCE,平面CDE±平面BCE,

所以QW,平面ABE,ON上平面DEC,

易得0A=0B=0C=0D=0E=2,

则几何体43CDE的外接球的球心为。，半径R=2，

所以几何体ABCDE的外接球的体积为V=彳"外=二万.

33

32

故答案为：兀.

【点睛】

本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法,

属于中档题.

u5%

14、T

【解析】

根据函数y=Acos（a）x+。）图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得。满足的方程，结合

题中。的范围即可求解.

【详解】

由函数y=Acos（Ox+。）图象的平移变换公式可得，

函数y=cos（2x+0）（-%W0W»）的图象向右平移1个单位后，

得到的函数解析式为y=cos2^-|'

+夕=cos(2x+°-；r),

因为函数〉=5皿（2%+（］=（：0S］一（乃)(71\(71^

3〃16)I6)

所以函数〉=cos（2x+°-乃）与函数y的图象重合，

jr

所以（p-7T=----卜2k兀、k£Z,即。=一-+2k兀、kGZ,

66

57r

因为一/＜夕所以夕二丁.

6

故答案为:957r

6

【点睛】

本题考查函数y=Acos（ox+0）图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属

于中档题.

15、36

【解析】

先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.

【详解】

由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法，则6人排成一排,

甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有用-2A：A；=36（种）排法.

所以本题答案为36.

【点睛】

排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题

原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确

的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.

1fi2y/5

■Lb、±----

5

【解析】

设小kx-y=0,/2：x+ky=O,利用点到直线的距离，列出式子

m

7J_—,求出k的值即可.

I【详解】

解：由圆C:（x—m『+»2=,（加＞0）,可知圆心半径为r.

设直线4：kx-y=0,贝x+fcy=0,

圆心。（办0）到直线4的距离为

OD=Vm2-r2,=OD

•**AB=\/m2—r1•

圆心。(机0)到直线/2的距离为半径,

lc+\

并根据垂径定理的应用，可列式得到

解得上=±述

故答案为：士正

【点睛】

本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)0.104(2)0.766(3)

【解析】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者"的事件为A,根据古典概型求出即可；

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为A,B,C,设事

件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则

P(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC),求出即可；

(3)根据题意，写出即可.

【详解】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”的事件为A,

有效问卷共有380+550+330+410+400+430=2500(份)，

其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400x0.65=260人，

故P(A)=知=0.104；

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，"体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为A,B,C,

根据题意，可知P(A)=0.6,(B)=0.8,P(C)=0.65,

设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“

贝!IF(£)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(5)P(C)+P(A)P(耳)P(。+P(Z)P(5)P(C)+P(A)P(5)P(C)

=0.6x0.8x0.35+0.6x0.2x0.65+0.4x0.8x0.65+0.6x0.8x0.65

=0.168+0.078+0.208+0.312

=0.766.

所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.

(3)4=>蹲5>*4>%>%.

【点睛】

本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题.

A

18、(1)见解析(2)9

3

【解析】

(1)连接。6与AC交于。，连接OE,证明PD//OE即可得证线面平行；

(2)首先证明小，平面ABC。(只要取8C中点/，可证平面八处，从而得Q4_L3C,同理得Q4LCD),

因此点8到直线AE的距离即为点8到平面丛尸的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积.

【详解】

(1)证明：连接与AC交于。，连接OE,

因为ABCD是菱形，所以。为。8的中点，

又因为E为心的中点，

所以PD3OE,

因为PD(Z平面AECQEu平面AEC,

所以P。//平面

(2)解：取8c中点/，连接AM,AM,

因为四边形ABC。是菱形，ZBAD=nO°,且PC=PB,

所以BC_L平面"M，又APu平面"M，

所以BC_LQ4.

同理可证：DCLPA,又BCDC=C,

所以24,平面ABCD,

所以平面PAF1平面ABCD,

又平面B4产c平面4BCZ)=A/7,

所以点3到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离，

过B作直线AE的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB=2,

因为E为心的中点，故点E到平面必尸的最大距离为1,

此时，E为。C的中点，即4/=百，

所以S△户"=gPA-AE=gx2xG=石，

所以Vp_AFE=VE_PAF=；乂舟1=华.

【点睛】

本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键.

19、(1)证明见详解；(2)(-oo,l]

【解析】

(1)求出函数y=/(x)的导函数/'(X),由/(X)在x=x0处取得极值1,可得/'(玉))=0且/(x0)=l.解出

m11

a=e*-一，构造函数r(x)=e"一一(x>0),分析其单调性，结合In2</<山3,即可得到。的范围，命题得证;

X0X

(2)由/(x)”x—4分离参数，得到4,e*-小一工恒成立，构造函数g(x)=e*-史-,，求导函数

exxxx

g'(x)=尸弋m”,再构造函数〃(x)=x2ex+\nx,进行二次求导〃'(x)=(Y+2x)/+?由x>0知h'(x)>0,

则力0)在(0,+8)上单调递增.根据零点存在定理可知h(x)有唯一零点再，且;<%<1.由此判断出xe(O,xJ时，

g(x)单调递减，XG(药,+8)时，g(X)单调递增，则g(x)而n=g(xj，即%一-.由〃(％)=0得

玉/，=_史上，再次构造函数-x)=xe'(x>0),求导分析单调性，从而得西=-In玉，即最终求得

X]X]

g(3)=1,则6,L

【详解】

,L—+a-(Inx+ax)

解：(1)由题知，,，.、x'

f(x)=------------;----------

e

v函数y=fM在x=/，处取得极值b

上土巴=0,且/⑹=

InAQ+ar

0=1,

e°

e与

一+a=In毛+%=ex°,

%

令r(x)=ev--(x>0),则r(x)=e'+二>0

x厂

"(x)为增函数,

0<In2<x0<In3

r(ln2)va<r(ln3),即2-------<a<3--------成立.

In2In3

(2)不等式/'(x)4*-二恒成立，

e

即不等式xe，—Inx—以21恒成立，即④e'--------恒成立，

xx

人，、*Inx1，/、x1-lnx1x1ex+Inx

令g(%)=#———，贝！iga)="——+^=——

XXXX

令h(x)=x2ex+hix,贝！J/?f(x)=(x?+2x)ex+—,

・.・x>0,

••/(x)在(0,+8)上单调递增，且/7(l)=e>0,/彳;)=*—ln2<0,

h(x)有唯一零点芭，且j<%<I,

当xe(0,七)时，h(x)<0,g(x)<0,g(x)单调递减;

当xe(%,+<»)时，A(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.

，g(X)min=ga)，

*Inx.1

凡c1--------

%%

由〃(玉)=o整理得X©"=一屿

—<%.<1,-Inx.>0

21

令左(x)=xe*(x>0),则方程玉1=一见上等价于M%)=M-lnxJ

而k'(x)=(尤+1)/在(0,+00)上恒大于零,

•••%(尤)在(0,+8)上单调递增,

%(%)=A(—In%).

N=-InX]

.••实数。的取值范围为(f』].

【点睛】

本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.

其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.

20、(1)x2=4y(2)证明见解析

【解析】

(1)根据题意，设直线方程为y=x+],联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论；

2

(2)根据题意，设4的方程为y-£=Mx-Xo)，联立方程得/+%=4%，同理可得工。+巧,=-必，进而得到

再利用点差法得直线。。的斜率，利用切线与导数的关系得直线/的斜率，进而可得与夕互补.

XC+XD=-2X0,a

【详解】

(1)由题意设直线的方程为y=x+3令A(%，x)、fi(x2,y2),

P2

联立“X2，Wy2-3py+—=0

x2=2py4

y+%=3。，

根据抛物线的定义得|AB|=%+%+P=4p,

又|阴=8,二吁&好？

故所求抛物线方程为f=4y.

(2)依题意，设尸(后,J),C(%,乎),。(芍,亨)

2

设/.的方程为y—今=-x—/)，与f=4)，联立消去,得/-4爪+4日。—片=0,

Xo+Xc=4Z,同理/+%°=-4斤

工2—_?|1

L

xc+xD=-2x0,直线CD的斜率kCD=———-=-(xc+xD)=--x0

4(X2—XI)42

切线l的斜率%=y，x=x°=3X0,

由勺+%。=0,即a