高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第07讲 拓展一：异面直线所成角（教师版）

第07讲拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）一、知识点归纳1、（传统法）核心技巧：平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则①②.二、题型精讲题型01求异面直线所成角（定值）(传统法）【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在平行六面体中，底面是菱形，，与底面垂直，，分别在和上，且，，，，则异面直与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】取DM中点K，连接、，

因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以异面直线与所成角为或其补角.因为底面是菱形，，，所以在中，利用余弦定理得，又，，在中，利用余弦定理得，所以异面直与所成角的余弦值为.故选：B.【典例2】（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【详解】取中点，连接，延长至点，使得，连接，则，所以四边形是平行四边形，所以，因为,，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以是异面直线与夹角或其补角，

设正方体棱长为1，则，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，，所以异面直线与夹角的余弦值为.故选：D【典例3】（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校考阶段练习）正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为______．

【答案】/【详解】在正方体右侧作出一个全等的正方体，连接，如图，

易知，所以四边形是平行四边形，则，所以是与所成角的平面角或补角，不妨设正方体的棱长为，则在正方体中，，在中，，在中，，所以在中，，所以与所成角的余弦值为.故答案为：.【变式1】（2023春·吉林四平·高一校考阶段练习）在三棱柱中，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在三棱柱中，平面，，将三棱柱补成长方体，设，则，

因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，故与所成角为或其补角，在中，，，，由余弦定理可得，因此，直线与所成角的余弦值为.故选：D.【变式2】（2023春·河南郑州·高一河南省新郑市第一中学校考阶段练习）如图，是半圆柱底面的直径，是半圆柱的高，是上一点，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．

【答案】/【详解】设，如图，取PC的中点E，连接DE，AE，可得，所以异面直线AD与BC所成的角为（或其补角）．又因为平面，平面，则，且，，平面PAC，所以平面PAC．且平面PAC，则，所以．因为，所以在中，．故答案为：.

题型02求异面直线所成角（定值）(向量法）【典例1】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，所以，，所以，所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解法一

如图，设O，C，D分别为线段，，的中点，连接，，，则，，，，∴是异面直线与所成的角或其补角.∵，为的中点，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面.设为的中点，连接，，则平面，，，，∴，连接，易得，，∴在中，，∴，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.解法二

如图，设为线段的中点，连接，，∵，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵，∴，，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，∴，M（0，0，3），，，∴，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.故选:D.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形为菱形，，，，且平面，四边形是正方形，则______；异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】/【详解】由四边形为菱形，，可得为正三角形，设为的中点，连接，所以．又，因此．又平面，故以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图设，，则，，，，由题意，则平面，平面，设，，从而，因为四边形BEFG是正方形，所以，所以，即，解得，所以，，设，则，因为，所以，所以，即，所以，所以；设异面直线AG与DE所成角为，又，所以，所以异面直线AG与DE所成角的余弦值为.故答案为：；【变式1】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，所以，，设和所成的角为，则，因为，所以.故选：B【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】方法一

如图（1），在上取点，使，连接，，，，．易知四边形为矩形，则，且．连接，．因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，且．连接，则，且，所以四边形为平行四边形，则，所以或其补角是异面直线与所成的角．在中，，，所以．在中，，，所以．又，所以．故选：D．方法二

如图（2），在上取点，使，连接，，，．易知四边形为矩形，，．连接．由已知条件，得为圆柱的一条母线．以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图（2）的空间直角坐标系，则，，，，所以，，则，所以异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．【变式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱的侧棱与底面边长都相等，，分别是和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________．【答案】/0.7【详解】因为直三棱柱的侧棱与底面边长都相等，所以为等边三角形，取的中点，所以，因为为的中点，所以，又因为平面，所以平面，如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱的侧棱与底面边长都相等，设，则，，，，，，设异面直线和所成角为，所以，即异面直线和所成角的余弦值为.故答案为：.题型03易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围【典例1】（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，=λ，若异面直线和所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）.所以，又所以，整理得到，解得（舍去）,所以，,所以，故cosθ=，

故选：B.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，因为E，F分别为，的中点，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，所以，，所以<>=.因为异面直线AE与FC所成角为锐角.所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为.故A，B，C错误.故选：D.【变式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，将的菱形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，，，，，则，，，，所成角的余弦值为.故选：.【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）在四面体中，为正三角形，平面，且，若，，则异面直线和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为平面，为正三角形，故以为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，由，，可得，所以，所以，所以异面直线和所成角的余弦值等于.故选：A.题型04求异面直线所成角（最值或范围）【典例1】（2023·辽宁大连·校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为所以，.设，则.所以.令，则，因为，所以.故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，2，，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线与所成角的正切值的最小值为_________.【答案】【详解】解：以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，，则，，，设平面的法向量为则，令，则，所以平面的一个法向量因为所以点P到平面BFE的距离因为，所以在等腰中，到的高为，所以因为，所以所以或(舍去)，设直线与所成的角为，则，所以，所以的最大值为，此时最小，此时最小，因为，且，所以，所以，即直线CP与所成角的正切值的最小值为，故答案为：【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是______；直线与直线所成角的取值范围为______.【答案】【详解】在正四面体中，设A在面内的投影为E，故E为三角形的中心，设正四面体的棱长为x，球O的半径为R，则，依题意正四面体内接于半径为的球中，故球心O在上，设球的半径为R,则，即，解得，（舍去），则，，又，故P的轨迹为平面内以E为圆心，为半径的圆，而，当三点共线时，且P在之间时，最小，最小值是；以E为圆心，所在直线为x轴，在底面内过点E作的垂线为y轴，为z轴，建立如图所示直角坐标系，则,,,，设，，故，,设直线与直线所成角为，,因为，故，故，又，故，故，故答案为：.【变式1】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，因为，所以，又，所以，,，则，所以，取中点E，连接，则，，,,在中，，即，所以，即，又因为，所以，因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．故选：D．【变式2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体中，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部移动，若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，，，设，因为，所以，则在侧面内取一点，使得，则易知三角形为直角三角形，则设，对称轴为，则即故选：C【变式3】（2023·全国·高三专题练习）三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．【答案】【详解】因为两两垂直，且，所以由勾股定理可知，所以三棱锥为正三棱锥，记在底面内的投影为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系：设，，，所以，所以，设直线与直线的所成角为.所以故答案为：.题型05已知线线角求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为___________.【答案】/【详解】连接交于点，平面，平面，则，因为四边形为菱形，则，，、平面，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，易知平面的一个法向量为，因为平面，所以，，设点，其中，则，由已知可得，因为，解得，即点，设点，则，因为，则，可得，且，可得，所以，点，因为平面，、平面，，，且，所以，.故答案为：.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【答案】(1)(2)【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为．设平面的法向量为，则，即，令，解得．所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．（2）因为，设，又，则，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为．因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．又因为，所以．【典例3】（2022·天津·校联考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角为，求的长.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）证明：因为平面，，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，，，，，又平面，平面，平面.（2）解：设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，所以，，因此，平面与平面