高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第21讲 2.4.2圆的一般方程（学生版）

第08讲2.4.2圆的一般方程课程标准学习目标①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。②能准确的判定圆的存在所满足的条件。③会判断点与圆的位置关系。④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.知识点01：圆的一般方程对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.【即学即练1】（多选）（2022秋·高二课时练习）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】根据二元二次方程表示圆的条件，对于A中，方程，可得，所以方程是圆的一般方程；对于B中，方程，可得，所以方程不是圆的一般方程；对于C中，方程中，和的系数不相等，所以方程不是圆的一般方程；对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.故选：BCD.知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点圆的标准方程圆的一般方程方程（）圆心半径知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系已知点和圆的一般式方程：（），则点与圆的位置关系：①点在外②点在上③点在内【即学即练2】（2022·高二课时练习）点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）【答案】在圆内【详解】圆的圆心坐标为，半径为2点到圆心的距离，因为，所以点在圆内．故答案为：在圆内题型01圆的一般方程的理解【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知方程表示圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高二课时练习）方程表示圆的充要条件是______．【变式1】（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数的可能取值为（

）A． B．2 C．0 D．【变式2】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为______.题型02求圆的一般方程【典例1】（2023·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线上，且过点的圆；(2)过三点的圆.【典例3】（2023·高二课时练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的一般方程为_______________；若直线的方程（），圆心到直线的距离是1，则的值是______．【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在轴和轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：(1)顶点的坐标；(2)外接圆的一般方程.题型03圆的一般方程与标准方程转化【典例1】（2023·高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（

）A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或2【典例2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程.【变式1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知点在圆上，则点到轴的距离的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．题型04点与圆的位置关系【典例1】（2023·江苏扬州·高二校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【变式1】（2022·高二课时练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.【变式2】（2023·湖北·高二校联考期中）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围______.题型05圆过定点问题【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.【典例2】（2023·高二课时练习）已知方程表示圆，其中，且，则不论取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.【变式1】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．【变式2】（2013·辽宁大连·高二统考期中）对于任意实数，曲线恒过定点题型06求动点的轨迹方程【典例1】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.(1)求圆的方程；(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点的直线与圆交于点，则线段中点的轨迹方程为___________.【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.题型07与圆有关的最值问题【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（

）A．15 B．6 C．5 D．4【典例2】（2023·山东烟台·统考二模）已知实数满足，则的最大值为__________．【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知为圆上任意一点．则的最大值为__________【变式1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）在中，，若的平面内有一点满足，则的最小值为__________.【变式2】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）直线始终平分圆的周长，则的最小值为______．题型08关于点或直线对称的圆【典例1】（2023·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.【典例2】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为__________.【变式1】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）如果圆关于直线对称，则有（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是__________题型09圆的综合问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆的方程；(3)请问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知经过圆上点的切线方程是.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；（2）已知椭圆，为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为､①求证：直线过定点.②当点到直线的距离为时，求三角形的外接圆方程.【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．（Ⅰ）若，求圆的方程；（Ⅱ）当取所允许的不同的实数值时（，且），圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．【变式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知圆C经过，两点．(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点关于直线的对称点也在圆，且过点的直线与两坐标轴分别交于不同两点和，当圆的面积最小时，试求的最小值.题型10圆的实际应用【典例1】（2022·高二课时练习）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，求与相距30米的支柱的高度.【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考阶段练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？【变式1】（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）【变式2】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设为圆心与连线与路面的交点．（1）当为何值时，点恰好在路面中线上？（2）记圆心在路面上的射影为，且H在线段上，求的最大值．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆平分的直线是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高二课时练习）若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为（

）.A． B． C． D．3．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知圆，则圆心及半径分别为（

）A． B． C． D．4．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，5．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（）A．16 B．12 C．8 D．66．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A． B．C． D．7．（2023秋·高一单元测试）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．18．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（

）A． B． C． D．14二、多选题9．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为（

）A． B．0 C． D．三、填空题10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为__________.11．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.四、解答题12．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上．(1)求实数a的值；(2)若点在圆E上，求的取值范围．13．（2023秋·河北沧州·高二统考期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线为．(1)求点坐标；(2)求的外接圆方程．B能力提升1．（2023秋·高一单元测试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为__．2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为________时，方程表示的圆的半径最大．3．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆及点．（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率；（2）若M为圆C上的任一点，求的最大值和最小值．C综合素养1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（