2024届宁夏中学宁县九年级上册数学期末质量跟踪监视试题含解析

2024届宁夏中学宁县九上数学期末质量跟踪监视试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

3

1.如图，在等腰AABC中，43=4S,3。_14。于点。,8,认=：,贝！Isz力NCBO的值（）

D.f

2.如图，在AA3C中，中线BE,CD相交于点O,连接OE,则OE：的值是（）

A.1:1B.1:2C.1:3D.2:3

3.如图，AB是OO的弦，AC是。。的切线，A为切点，BC经过圆心，若NB=25。，则NC的大小等于（）

C.40°D.50°

4.如图所示，是二次函数y=ax2-bx+2的大致图象，则函数y=-ax+b的图象不经过（）

y

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点八（一2,-2）1（0,3）,43,3）,口（4,一2）7是关于*的二次函数，抛物线与经

过点A,B,C.抛物线外经过点B,C,D,抛物线丫3经过点A,B,D,抛物线外经过点A,C,D,则下列判断:

y

:B

o

A,•D

①四条抛物线的开口方向均向下

②当x<o时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大;

③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方;

④抛物线y4与y轴交点在点B的上方.

其中正确的是

A.①②④B.①③©

C.①②③D.②③④

6.下列成语中描述的事件必然发生的是)

A.水中捞月B.日出东方C.守株待兔D.拔苗助长

7.已知抛物线），=f—4x+3与x轴相交于点A,8（点A在点8左侧），顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后

的对应点/W落在x轴上，点8平移后的对应点8'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）

A.y=+2x+1B.y=x~+2x-1c.y=x'-2x+1D.y—x~~2%—1

8.如图，5c是。。的直径，点A、。在。。上，若乙40c=48°,贝!|NAC8等于（）度.

A.42B.48C.46D.50

9.已知两个相似三角形的相似比为2：3,较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（）

A.18平方厘米B.8平方厘米C.27平方厘米D./平方厘米

10.下表是一组二次函数y=f+3x-5的自变量x与函数值y的对应值：

X1i.i1.21.31.4

y-1-0.490.040.591.16

那么方程/+3%-5=0的一个近似根是（）

A.1C.1.2D.1.3

11.小明将如图两水平线八的其中一条当成X轴，且向右为正方向；两条直线，3、的其中一条当成y轴，且向上

为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数》="*2-2/工+1的图象，则（）

A.11为X轴，，3为y轴B.12为X轴，为y轴

C./i为x轴，/•»为y轴D./2为X轴，为y轴

12.小明随机地在如图正方形及其内部区域投针，则针扎到阴影区域的概率是（）

71n71Tt

A.D.

I6y4

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1,0）,（3,0）两点，则它的对称轴为

14.如图，在矩形ABCO中，E是边A3的中点，连接OE交对角线AC于点/，若A5=4，AT>=3,则CP的

长为________

15.已知:=:，则」一的值是_____.

b3a+b

16.如图，A3是。。的直径，C是。。上一点，NACB的平分线交。。于。，且AB=1（）,则AD的长为

17.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,ADJ_BC于点D,则△ABD与AADC的面积比为.

18.只请写出一个开口向下，并且与x轴有一个公共点的抛物线的解析式.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小

球的飞行高度单位：米）与飞行时间单位：秒）之间具有函数关系/?=-5『+20/，请根据要求解答下列问题:

(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，需要多少飞行时间？

(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时达到最大？最大高度是多少？

20.(8分)如图1：在R3ABC中，AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合)，试探索AD,BD,CD之间

满足的等量关系，并证明你的结论.小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90。，得到线段AE,连

接EC,DE.继续推理就可以使问题得到解决.

(1)请根据小明的思路，试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系，并证明你的结论;

(2)如图2,在R3ABC中，AB=AC,D为AABC外的一点，且NADC=45。，线段AD,BD,CD之间满足的等

量关系又是如何的，请证明你的结论

(3)如图3,已知AB是。O的直径，点C,D是。O上的点，且NADC=45。.

①若AD=6,BD=8,求弦CD的长为

②若AD+BD=14,求AD〔BD+也

CD的最大值，并求出此时。O的半径.

2

7

21.(8分)如图，已知为。。的直径，AB为。。的一条弦，点尸是。。外一点尸，且尸O_LAB,垂足为点C,

交。。于点N,PO的延长线交。。于点"，连接8M、AD.AP.

(1)求证：PM//AD；

(2)若=求证：R4是。。的切线;

=-,求。。的半径.

2

22.(10分)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知：如图1,直线/及直线/

外一点A.

求作：直线AZ),使得40〃/.作法：如图2,

①在直线/上任取一点5,连接AB；

②以点B为圆心，A8长为半径画弧,

交直线/于点c；

③分别以点A,C为圆心，45长为半径

画弧，两弧交于点。（不与点8重合）；

④作直线AD.

所以直线AO就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，完成下面的证明.（说明：括号里填推理的依据）

证明：连接CD.

,:AD=CD==,

四边形A5C。是（）.

J.AD//1（）.

/、/、k

23.（10分）如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0,2）,点8的坐标为（0,-3）,反比例函数y=一（％N0）

x

的图象经过点C.

（1）AO的线段长为；点C的坐标为；

（2）求反比例函数的解析式：

（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△以。的面积恰好等于正方形ABC。的面积，求点P的坐标.

24.（10分）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明（写出一种

即可）.

①AD〃BC；②AB=CD；③NA=NC；@ZB+ZC=180".

己知：在四边形ABCD中，.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

25.（12分）如图，点C在。0上，联结CO并延长交弦AB于点D,AC=BC＞联结AC、0B,若CD=40,AC=206.

（1）求弦AB的长；

26.如图，AB是OO的直径，CD是。。的一条弦，且CDJLAB于E,连结AC、OC、BC.求证：ZACO=ZBCD.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

332

【分析】先由易得=由=AC可得8=146,进而用勾股定理分别将BD、BC长用

CD

AB表示出来，再根据sin/C8O=—即可求解.

BC

3

【详解】解：；30,AC,cosA=',

3

AD=-AB,

5

/.BD=JAB2_（|回=[AB，

又AB^AC,

ACD=AB-AD=^AB,

在/?J.Z)5c中,BC=+CD?=AB)+^|AB^|=^~AB,

^AB尺

sinZCBD=*=—=—

亚AB5

5

故选：D

【点睛】

本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义.此题难度适中，注意掌握辅助线

的作法，注意数形结合思想的应用.

2、B

【分析】BE、CD是AABC的中线，可知DE是AABC的中位线，于是有DE〃BC,AODE^AOCB,根据相似三

角形的性质即可判断.

【详解】解：••'BE、CD是AABC的中线，

ADE是△ABC的中位线，

.,.DE//BC,DE=-BC,

2

.•.△DOEs△COB,

.OEDE

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，证明^ODE和AOBC相似是关键.

3、C

【解析】连接04,根据切线的性质，即可求得NC的度数.

"：OA=OB,：.ZB=^ZOAB=25°,：.ZA0C=5()°,.*.ZC=40o.

故选c.

【点睛】

本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点.

4、A

【解析】解：•.•二次函数y=ax2-bx+2的图象开口向上，

.,.a>0；

b

,对称轴X=——<0,

2a

.,.b<0；

因此-a<0,b<0

二综上所述，函数y=-ax+b的图象过二、三、四象限.

即函数y=-ax+b的图象不经过第一象限.

故选A.

5、A

【分析】根据BC的对称轴是直线x=1.5,A。的对称轴是直线x=L画大致示意图，即可进行判定.

【详解】解：①由庆（一2,-2）由（0,3）,（2（3,3）,口（4,—2）可知，四条抛物线的开口方向均向下，

故①正确；

②弘和丫2的对称轴是直线x=1.5,>3和v4的对称轴是直线x=l,开口方向均向下,所以当x<0时，四条抛物线表达式中

的y均随x的增大而增大，

故②正确；

③力和火的对称轴都是直线x=1.5,D关于直线x=1.5的对称点为（-1,-2）,而A点坐标为（-2,-2）,可以判断），2比X更陡，

所以抛物线y,的顶点在抛物线y2顶点的下方，

故③错误；

④以的对称轴是直线X=l,C关于直线x=l的对称点为（-1,3）,可以判断出抛物线y4与y轴交点在点B的上方，

故④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，根据对称点找到对称轴是解题的关键，充分运用数形结合的思想能使解题更加简

便.如果逐个计算出解析式，工作量显然更大.

6、B

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

【详解】解：4、水中捞月，是不可能事件；

8、日出东方，是必然事件；

C、守株待兔，是随机事件；

拔苗助长，是不可能事件；

故选B.

【点睛】

本题主要考查随机事件和必然事件的概念，解决本题的关键是要熟练掌握随机事件和必然事件的概念.

7、A

【解析】解：当y=0,贝!)0=x2-4x+3，(x-1)(x-3)=0,

解得：xi=l,X2=3,：.A(1,0),B(3,0),

)=%2-4%+3=(%-2)2-1，点坐标为：(2,-1).

••・平移该抛物线，使点M平移后的对应点附落在x轴上，点〃平移后的对应点a落在y轴上，

,抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，

.••平移后的解析式为：y=(x+l)2=/+2x+i.

故选A.

8、A

【分析】连接AB,由圆周角定理得出NBAC=90。，NB=NADC=48。，再由直角三角形的性质即可得出答案.

.,.ZBAC=90°,

VZB=ZADC=48°,

.,.ZACB=90°-ZB=42°；

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

9、C

【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题

【详解】•••相似三角形面积比等于相似比的平方

S大=27

故选C

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，根据根据相似三角形面积比等于相似比的平方列出式子即可

10、C

【详解】解：观察表格得：方程x?+3x-5=0的一个近似根为1.2,

故选C

考点：图象法求一元二次方程的近似根.

11、D

【分析】根据抛物线的开口向下，可得a<0,求出对称轴为：直线x=a,则可确定I为y轴，再根据图象与y轴交点,

可得出L为x轴，即可得出答案.

【详解】解：•••抛物线的开口向下，

.,.a<0,

-2a2x+l,

二对称轴为：直线x=a<0,

令x=0,则y=l,

.••抛物线与y轴的正半轴相交，

为x轴，〃为y轴.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，开口方向由a确定，与y轴的交点由c确定，左同右异确定b的符号.

12、D

【分析】根据几何概型的意义，求出圆的面积，再求出正方形的面积，算出其比值即可.

【详解】解：设正方形的边长为2a,则圆的半径为a,

则圆的面积为：ncr，

正方形的面积为：（24）2=4片，

.•.针扎到阴影区域的概率是父=工，

4a24

故选：D.

【点睛】

本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算

阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、直线x=2

【解析】试题分析：•••点（1,0）,（3,0）的纵坐标相同，

...这两点一定关于对称轴对称，

二对称轴是：x=^=l

考点：二次函数的性质

10

14、—

3

_________ATAp1

【解析】分析：根据勾股定理求出AC=1AD?+co?=5，根据得到即可求出的

CrCD2

长.

详解：,••四边形ABC。是矩形，...45=CD=4,AB//CD,ZADC=90°,

在Rt^ADC中，ZADC=90°,4。=，心+8「=5,

TE是AB中点，/.AE=\AB=\CD,

22

AFAE1

VAB//CD,Z：.CF=-AC=—.

不一而一万33

故答案为—.

点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.

1

5>4-

【分析】由£=!可设a=k,b=3k,代入，一中即可.

b3a+b

【详解】解：•.•==1,

b3

.**设a=k,b=3k,代入一--中，

a+b

ak_1

a+bk+3k4

故答案为：—•

4

【点睛】

本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

16、572

【分析】连接OD,由AB是直径，得NACB=90。，由角平分线的性质和圆周角定理，得到AAOD是等腰直角三角

形，根据勾股定理，即可求出AD的长度.

【详解】解：连接OD,如图，

：是。。的直径，

AZACB=90°,AO=DO=-/IB=-X10=5,

22

YCD平分NACB,

.,.ZACD=45°,

ZAOD=90°,

...AAOD是等腰直角三角形，

AD=y/ACf+DO2=752+52=50；

故答案为：5夜.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆周

角定理进行解题.

17、1:1

【分析】根据NBAC=90°,可得NBAD+NCAD=90°,再根据垂直的定义得到NADB=NCDA=90°,利用三角形的

内角和定理可得NB+NBAD=90。，根据同角的余角相等得到NB=NCAD,利用两对对应角相等两三角形相似得到

AF）「

△ABD-ACAD,*tanB=tan600=—=73,再根据相似三角形的面积比等于相似比（对应边的之比）的平方即可

求出结果.

【详解】：,••NBAC=90°,

.•.ZBAD+ZCAD=90°,

XVAD±BC,

.,.ZADB=ZCDA=90°,

.•.ZB+ZBAD=90°,

.•.NB=NCAD,又NADB=NCDA=90。，

/.△ABD^ACAD,

...黑*网2,

S.CADIACJ

VZB=60°,

•AB6

,,耘一丁

J)町J.

S.CAO〔AC3

故答案为1：1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似比即为对应边之比，周长比等于相似比，面积之比等于相似比的

平方是解决问题的关键.

18、y=—(x-

【分析】要根据开口向下且与x轴有惟一的公共点，写出一个抛物线解析式即可.

【详解】解：•.•与X轴只有一个公共点，并且开口方向向下，

/.a<0,△=(),BPb2-4ac=0,满足这些特点即可.如y=

故答案为：y=—(x—Ip(答案不唯一).

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，要了解性质与函数中a,b,c的关系.

三、解答题(共78分)

19、(1)飞行时间为1s或3s时，飞行高度是15m；(2)飞行时间为2s时，飞行高度最大为1m

【分析】(1)把h=15直接代入〃=—5*+20f，解关于t的一元二次方程即可；

(2)将〃=一5产+20f进行配方变形，即可得出答案.

【详解】解：(1)当h=15时，

15=-5t2+lt,

化简得：t2-4t+3=0,

解得：tl=l,t2=3,

...飞行时间为1S或3s时，飞行高度是15m.

(2)h=-5(t2-4t)=-5(t2-4t+4-4)=-5(t-2)2+1,

...当t=2时，h最大=1.

二飞行时间为2s时，飞行高度最大为1m.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键.

20、(1)CD2+BD2=2AD2,见解析；(2)BD2=CD2+2AD2,见解析；(3)①7及，②最大值为竺L半径为撞0

44

【分析】(1)先判断出NBAD=CAE,进而得出AABDg^ACE,得出BD=CE,NB=NACE,再根据勾股定理得

ttjDE2=CD2+CE2=CD2+BD2,在RtAADE中，DE2=AD2+AE2=2AD2,即可得出结论；

(2)同(1)的方法得，ABD^AACE(SAS),得出BD=CE,再用勾股定理的出DE?=2AD2,CE2=CD2+DE2=

CD2+2AD2,即可得出结论；

(3)先根据勾股定理的出DE2=CD2+CE2=2CD2,再判断出AACEg/kBCD(SAS),得出AE=BD,

①将AD=6,BD=8代入DE』2CD2中，即可得出结论；

(五、21441

②先求出CD=70,再将AD+BD=14,CD=7逝代入AO-BD+^-CD,化简得出-(AD--)?+一，进

k2724

而求出AD,最后用勾股定理求出AB即可得出结论.

［详解］解：(1)CD2+BD2=2AD2,

理由：由旋转知，AD=AE,ZDAE=90°=ZBAC,

.*.ZBAD=ZCAE,

VAB=AC,

.,.△ABD^AACE(SAS),

/.BD=CE,NB=NACE,

在RtAABC中，AB=AC,

.*.ZB=ZACB=45°,

.,.ZACE=45°,

:.ZDCE=NACB+NACE=90。，

根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2,

在RtAADE中，DE2=AD2+AE2=2AD2,

.,.CD2+BD2=2AD2；

(2)BD2=CD2+2AD2,

理由：如图2,

将线段AD绕点A逆时针旋转90。，得到线段AE,连接EC,DE,

同(1)的方法得，ABD^AACE(SAS),

/.BD=CE,在R3ADE中，AD=AE,

二ZADE=45°,

.,.DE2=2AD2,

VZADC=45°,

:.ZCDE=ZADC+ZADE=90°,

根据勾股定理得，CE2=CD2+DE2=CD2+2AD2,

即：BD2=CD2+2AD2；

(3)如图3,过点C作CE_LCD交DA的延长线于E,

/.ZDCE=90°,

VZADC=45°,

AZE=90°-ZADC=45°=ZADC,

.,.CD=CE,

根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=2CD2,

连接AC,BC,

TAB是。。的直径，

:.ZACB=NADB=90°,

VZADC=45°,

.,.ZBDC=45°=ZADC,

.\AC=BC,

VZDCE=ZACB=90°,

/.ZACE=ZBCD,

.'.△ACE^ABCD(SAS),

；.AE=BD,

①AD=6,BD=8,

二DE=AD+AE=AD+BD=14,

.,.2CD2=142,

.・.CD=70,

故答案为70；

(2)VAD+BD=14,

.*.CD=7V2，

：.AD-BD+—CD=AD«(BD+—x7)=AD»(BD+7)

I2)2

21441

=AD«BD+7AD=AD(14-AD)+7AD=-AD2+21AD=-(AD------)2+——

24

21(J?441

.•.当AD=3时，AD-BD+=CD的最大值为竺2,

2I2)4

VAD+BD=14,

217

ABD=14------=-,

22

在R3ABD中，根据勾股定理得，AB=JAZ5'+BD2

2

0O的半径为OA=—AB=MZ.

24

E

B

图2

【点睛】

本题考查圆与三角形的结合，关键在于熟记圆的性质和三角形的性质.

21、(1)见解析；(2)见解析；(3)5

【分析】(D根据圆周角定理可得出=,再结合POLAB,即可证明结论；

(2)连接。4,利用三角形内角和定理以及圆周角定理可得出NQ48=NO84,/BON=/BAP,得出

ZOAP=NOAB+NBAP=AOBA+ZBON=90即可证明；

(3)由已知条件得出OC=，A。=3,设BC=x,则MC=2x,OB=OM=2%-3利用勾股定理求解即可.

2

【详解】(D证明：；BO是直径，•••NNMB=90，

VPOLAB,

AZDAB=ZMCB=9Q，

PMAD；

(2)证明：如图，连接。4,

,:OB=OM,

；.ZM=NOBM,二ZBON=2ZM,

VZBAP=2ZM,

：./BON=/BAP,

,：POLAB,

二NBON+NOBA=90,

VOA=OB,

：.NOAB=NOBA,

；•ZOAP=NOAB+ZBAP=AOBA+ZBON=90,

•••Q4是半径，

，Q4是。。的切线；

(3)解：...POLAB

:.AC=BC

又,：OD=OB

：.OC」AO=3

2

设BC=x

BC1

VtanNM

~MC~2

.*•MC=lx

OB^OM=2x-3

在RfAOBC中，32+X2=(2X-3)2

解得，X]=4,x2=0（舍去）

的半径为5.

【点睛】

本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有平行线的判定、切线的判定、三角形内角和定理、勾股定理、圆周

角定理等，掌握以上知识点是解此题的关键.

22、BC=AB,菱形（四边相等的四边形是菱形），菱形的对边平行.

【解析】由菱形的判定及其性质求解可得.

【详解】证明：连接CD.

VAD=CD=BC=AB,

四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.

.•.AD〃1（菱形的对边平行）

【点睛】

此题考查菱形的判定，掌握判定定理是解题关键.

23、（1）5,（5,-3）；（2）y--—；（3）点P的坐标为（一“12]或（1,-8）

【分析】（1）根据正方形及点A、B的坐标得到边长，即可求得AD,得到点C的坐标；

（2）将点C的坐标代入解析式即可；

（3）设点。到AO的距离为力，根据△PAD的面积恰好等于正方形ABC。的面积求出h的值，再分两种情况求得

点P的坐标.

【详解】（D•••点A的坐标为（0,2）,点3的坐标为（0,—3）,

.*.AB=2-(-3)=5,

•.•四边形ABC。为正方形,

，AD=AB=5,

VBC=AD=5,BC_Ly轴，

AC（5,-3）.

故答案为：5,（5,—3）；

⑵把C（5,-3）代入反比例函数y=5得

k

一3=不解得左=一15

，反比例函数的解析式为y=--；

x

（3）设点尸到AO的距离为〃.

正方形ABCD的