高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第31讲 3.3.2抛物线的简单几何性质（学生版）

第06讲3.3.2抛物线的简单几何性质课程标准学习目标①理解与掌握抛物线的几何性质。②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。通过本节课的学习，要求掌握抛物线的性质，并能解决与之相关的计算与证明问题知识点01：抛物线的简单几何性质标准方程（）（）（）（）图形范围，，，，对称轴轴轴轴轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径长知识点02：直线与抛物线的位置关系设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;当时,直线与抛物线相切,有一个切点;当时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）直线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【详解】直线过定点，∵，∴在抛物线内部，∴直线与抛物线相交，故选：A．知识点03：直线和抛物线1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.2、抛物线的焦点弦过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则①，；②；③.【即学即练2】（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；（2）求.【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.【详解】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，联立方程组消去可得，则，所以.说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.题型01抛物线的简单性质【典例1】（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是；（2）准线方程是；（3）焦点到准线的距离是．【变式1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）对抛物线，下列描述正确的是A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为【变式2】（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值．题型02直线与抛物线的位置关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（

）．A． B．C． D．【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为．【典例4】（2023秋·广西北海·高二统考期末）已知抛物线，其准线方程为．(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【变式2】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（

）A．2 B． C． D．0【变式3】（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为．【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线l同时与椭圆和抛物线各恰有一个公共交点，求直线l的方程．题型03抛物线的弦长【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分.(1)求直线的方程；(2)求弦的长度.【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线与抛物线交于两点，求线段AB的长．【变式1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为．(1)求动点的轨迹方程；(2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求．【变式2】（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）已知抛物线的准线方程为.(1)求的值；(2)直线交抛物线于、两点，求弦长.题型04抛物线的中点弦和点差法【典例1】（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知抛物线是抛物线上的点，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.【变式1】（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是．【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．题型05抛物线的焦点弦【典例1】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（

）A． B． C．18 D．20【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切．(1)求抛物线的方程；(2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长．【变式1】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为.【变式2】（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线过点（）．(1)求C的方程；(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．【变式3】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．(1)求抛物线的方程；(2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．题型06抛物线的定值、定点、定直线问题【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．(1)求的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．【典例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.【典例3】（2023·广西·统考一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切．(1)求p的值：(2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．

【变式1】（2023春·河北·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，.(1)求抛物线的方程；(2)过作直线与抛物线交于，，求的值.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．题型07抛物线的向量问题【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．

(1)求点的轨迹的方程；(2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值．【典例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点.(1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程;(2)设为原点，若，求证:为定值.【变式2】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知点，直线交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．(1)求点P的轨迹C的方程：(2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且，证明直线AB必过定点，并求出该定点．题型08抛物线的三角形问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.【典例2】（2023春·浙江杭州·高二统考期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值.【变式1】（2023春·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.【变式2】（2023春·四川达州·高二统考期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．(1)求E的标准方程；(2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．

A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·北京·高三专题练习）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（

）A．3 B．2 C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（

）A．2 B． C．4 D．4．（2023春·河南焦作·高二统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（

）A． B．3 C． D．65．（2023秋·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．或6．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023春·浙江·高二校联考期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．8．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（

）A．的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为410．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（

）A．的准线为 B．的大小可能为C．的最小值为8 D．三、填空题11．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则．12．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是．四、解答题13．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，(1)求的方程；(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．14．（2023春·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点．B能力提升1．（2023秋·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（

）A．