线性代数二次型

关于线性代数二次型●二次型的概念定义叫做二次型。含有n个自变量的二次齐次函数如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。例如是二次型不是二次型我们要研究它的什么问题?第2页,共42页，2024年2月25日，星期天为平面上一条二次曲线经坐标变换:几何背景第3页,共42页，2024年2月25日，星期天为空间上一二次曲面的一般形式经坐标变换:几何背景第4页,共42页，2024年2月25日，星期天经坐标变换1、这种结果能否推广到四元，甚至n元二次型上去？2、如果可以，相应的变换如何寻找，结果如何实现？现有两个问题：第5页,共42页，2024年2月25日，星期天二次型f对称矩阵A对称矩阵A的秩定义为二次型f的秩一一对应二次型可表示为矩阵形式（其中A为对称矩阵）●二次型的矩阵及其秩第6页,共42页，2024年2月25日，星期天例4.14设二次型求（1）f的矩阵A;（2）当X=时，求f的值。解:（1）（2）第7页,共42页，2024年2月25日，星期天例4.15设B为n阶方阵，因为求证二次型矩阵是证明所以由于是一代数式，故则从而二次型矩阵是第8页,共42页，2024年2月25日，星期天例4.16求二次型的矩阵A,并求f的秩。解:由例4.15，得到由于故f的秩为2。则由于对称矩阵A的秩定义为二次型f的秩，如何求二次型的矩阵？第9页,共42页，2024年2月25日，星期天例4.17求二次型经过线性变换解:之后的表达式。令有则第10页,共42页，2024年2月25日，星期天只含平方项的二次型对应的矩阵为对角形矩阵第11页,共42页，2024年2月25日，星期天●二次型的标准形定义就称此二次型为原来二次型的标准形。如果二次型经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型第12页,共42页，2024年2月25日，星期天定理1经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。如例4.17

经线性变换化得标准形第13页,共42页，2024年2月25日，星期天●用配方法把二次型化成标准型作线性变换即解可得二次型的标准形例第14页,共42页，2024年2月25日，星期天定义设A,B为n阶方阵,如果存在n阶可逆矩阵C,使得则称矩阵A与B是合同的,称矩阵C为合同变换矩阵.结论实对称矩阵一定与对角形矩阵合同。第15页,共42页，2024年2月25日，星期天证明

A是对称矩阵，则AT=A。于是（1）（2）定理4.10对于任意可逆矩阵C,令如果A是对称矩阵,则B也是对称矩阵,且R(A)=R(B).第16页,共42页，2024年2月25日，星期天●将二次型化为标准形的实质问题一般形式化为标准形式经可逆变换本质问题：寻找可逆矩阵P，使得回顾上一章知识，能否解决？如何解决？上一章的结论:

对于实对称阵A,一定存在正交阵P使得A相似对角阵,即:第17页,共42页，2024年2月25日，星期天证：由于A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使●用正交变换化二次型为标准型对作正交变换则有定理4.11任给二次型总有正交变换x=Py使f化为标准形其中为A的所有特征值.第18页,共42页，2024年2月25日，星期天正交变换对称矩阵A正交矩阵P用正交变换化二次型为标准型第19页,共42页，2024年2月25日，星期天●用正交变换化二次型为标准型的具体步骤2.求矩阵A的特征值3.对每个特征值，求对应的特征向量4.将特征向量正交化、单位化，得到1.写出二次型的矩阵A5.构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形正交矩阵正交变换标准形第20页,共42页，2024年2月25日，星期天得特征值可顺次求得单位特征向量例用正交变换，化下列二次型为标准形解二次型的矩阵为由令则经正交变换，可得标准形第21页,共42页，2024年2月25日，星期天例、试用正交变换化二次型为标准型矩阵A的特征多项式为特征值正交化得线性无关的特征向量可得特征向量解:第22页,共42页，2024年2月25日，星期天单位化作正交变换代入f，得到标准型第23页,共42页，2024年2月25日，星期天例求下列平面图形所围图形的面积：解A的特征值为经过正交变换曲线可化为标准形第24页,共42页，2024年2月25日，星期天●惯性定律对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固定的(称为二次型的惯性指标），等于二次型的秩，且正项的个数是固定的（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标）

。f的惯性指标=f的矩阵A的非零特征值的个数=R(A)f的正惯性指标=f的矩阵A的正特征值的个数f的负惯性指标=f的矩阵A的负特征值的个数第25页,共42页，2024年2月25日，星期天●二次型的规范形二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，如下形式的标准形是唯一的：以1或-1为系数的标准形称为二次型的规范形。结论：二次型的规范形是唯一的。补充第26页,共42页，2024年2月25日，星期天4.4.3二次型的正定性定义：第27页,共42页，2024年2月25日，星期天例判定下列二次型的正定性正定负定半负定半正定不定第28页,共42页，2024年2月25日，星期天二次型为正定二次型的必要条件是:

所有平方项的系数都大于零

二次型为负定二次型的必要条件是:

所有平方项的系数都小于零

定理4.12

实二次型为正定二次型的充分必要条件是:

二次型的标准形的n个系数都大于零。

第29页,共42页，2024年2月25日，星期天定理4.12

实二次型为正定二次型的充分必要条件是:

二次型的标准形的n个系数都大于零。

证明设可逆变换使得充分性任给则若故必要性反证.假设某个取而结论与f为正定矛盾。第30页,共42页，2024年2月25日，星期天●判定二次型的正定性定理4.13

若A是n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的：（1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的正惯性指标为n；（3）存在可逆矩阵P，使得A=PTP；（4）A的n个特征值全大于零。第31页,共42页，2024年2月25日，星期天推论第32页,共42页，2024年2月25日，星期天例证明：如果A是正定矩阵，则A－1、AT都是正定矩阵。因为Ａ是正定矩阵，所以Ａ的特征值全大于零设Ａ的特征值为λ，则λ＞０而的特征值为所以的特征值全大于零所以为正定矩阵的特征值为证明第33页,共42页，2024年2月25日，星期天解出特征值故A是正定矩阵，f是正定二次型。例判断二次型的正定性解法1

二次型的矩阵为第34页,共42页，2024年2月25日，星期天定理4.14(hurwitz定理）定义设n阶方阵我们把n个行列式都叫做矩阵的顺序主子式。二次型为正定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有顺序主子式大于０．第35页,共42页，2024年2月25日，星期天推论二次型为负定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于０，偶数阶顺序主子式大于０．第36页,共42页，2024年2月25日，星期天解出特征值故A是正定矩阵，f是正定二次型。例判断二次型的正定性解法1

二次型的矩阵为第37页,共42页，2024年2月25日，星期天A的三个顺序主子式为所以A是正定矩阵，f是正定二次型。例判断二次型的正定性解法2

二次型的矩阵为第38页,共42页，2024年2月25日，星期天解二次型的矩阵A的三个顺序主子式为所以f为负定二次型。例判断二次型的正定性第39页,共42页，2024年2月25日，星期天解二次型的矩阵为要使A正定,则应有例