2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第84炼 古典概型含答案

2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第84炼古典概型 2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第84炼古典概型 第84炼古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用表示。3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设为“出现点”，事件为“点数大于3”，则事件（3）所有基本事件的并事件为必然事件由加法公式可得：因为，所以4、等可能事件：如果一项试验由个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。5、等可能事件的概率：如果一项试验由个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基本事件的概率为证明：设基本事件为，可知所以可得6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个（2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件发生的概率就可以用事件所包含的基本事件个数占基本事件空间的总数的比例进行表示，即7、运用古典概型解题的步骤：①确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件②可通过计数原理（排列，组合）进行计算③要保证中所含的基本事件，均在之中，即事件应在所包含的基本事件中选择符合条件的二、典型例题：例1：从这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件为“6个自然数中取三个”，所以，事件为“一个数是另外两个数的和”，不妨设，则可根据的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：，所以。进而计算出答案：例2：从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为（）A.B.C.D.思路：设为“的所有组合”，则，设事件为“直线不经过第三象限”，则要求，所以，从而答案：A例3：袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球，2个白球，2个黑球。若从袋中任取三个球，则所取3个球中至少有两个红球的概率是（）A.B.C.D.思路：设为“袋中任取三球”，则，设事件为“至少两个红球”，所以，从而答案：B例4：设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（）A.B.C.D.思路：设事件为“从所给数中任取一个”，则，所求事件为事件，要计算所包含的基本事件个数，则需要确定的关系，从恒成立的不等式入手，恒成立，只需，而，当时，，所以当时，，所以，得到关系后即可选出符合条件的：共8个，当时，，所以符合条件，综上可得，所以答案：A例5：某人射击10次击中目标3次，则其中恰有两次连续命中目标的概率为（）A.B.C.D.思路：考虑设为“10次射击任意击中三次”，则，设事件为“恰有两次连续命中”，则将命中分为两次连续和一次单独的，因为连续与单独的命中不相邻，联想到插空法，所以（剩下七个位置出现八个空，插入连续与单独的，共有种，然后要区分连续与单独的顺序，所以为），从而答案：A例6：已知甲袋装有6个球，1个球标0,2个球标1，3个球标2；乙袋装有7个球，4个球标0,1个球标1,2个球标2，现从甲袋中取一个球，乙袋中取两个球，则取出的三个球上标有的数码乘积为4的概率是____________思路：设为“两个袋中取出三个球”，则，事件为“三个球标记数码乘积为4”，因为，所以三个球中有两个2号球，1个1号球，可根据1号球的来源分类讨论，当1号球在甲袋时，有种，当1号球在乙袋时，则乙袋一个1号球，一个二号球，共有有种，即种。则答案：例7：四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个点，则这四个点不共面的概率为（）A.B.C.D.思路：设为“10个点中取4个点”，则，设事件为“4个点不共面”，若正面寻找不共面的情况较为复杂，所以考虑问题的对立面，即为“4个点共面”，由图可得四点共面有以下几种情况：（1）四个点在四面体的面上，则面上6个点中任意4个点均共面，则；（2）由平行线所产生的共面（非已知面），则有3对，即；（3）由一条棱上的三点与对棱的中点，即，所以共面的情况，所以，所以答案：D例8：袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球，由甲，乙，丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回，若每颗球被抽到的机会均等，则甲，乙，丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A.B.C.D.思路：事件为“不放回地抽取3个球”，则，基本事件为甲，乙，丙拿球的各种情况，且将这些球均视为不同元素。设所求事件“甲，乙，丙三人所得之球颜色互异”为事件，则先要从白球黑球红球中各取一个（），再分给三个人（三个元素全排列），所以，从而答案：D例9：甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若或，就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A.B.C.D.思路：设为“甲想乙猜的所有情况”，则，设事件为“甲乙‘心有灵犀’”，可对甲想的数进行分类讨论：当时，可取的值为或；当时，，所以事件包含的基本事件数，所以答案：C例10：将1,2,3,4四个数字随机填入右方的方格中，每个方格中恰填一数字，但数字可重复使用，试问时间“A方格的数字大于B方格的数字，且C方格的数字大于D方格的数字”的概率为（）A.B.C.D.思路：事件为“4个数字填入方框中“，则。设事件E为所求事件，可进行分类讨论，若A填入2，则B填入1，若A填入3，则B可填入1,2；若A填入4，则B可填入1,2,3；所以A,B两格的填法共有6种；同理C,D的填法也有6种，且A,B的填法与C,D的填法相互独立，所以，从而答案：B第85炼几何概型一、基础知识：1、几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2、对于一项试验，如果符合以下原则：（1）基本事件的个数为无限多个（2）基本事件发生的概率相同则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解二、典型例题：例1：已知函数，在定义域内任取一点，使的概率是（）A.B.C.D.思路：先解出时的取值范围：，从而在数轴上区间长度占区间长度的比例即为事件发生的概率，所以答案：C例2：如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A.B.C.D.思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积的比值长方形的面积，阴影面积，所以有，可解得，从而答案：B例3：已知正方形的边长为2，是边的中点，在正方形内部随机取一点，则满足的概率为（）A.B.C.D.思路：可理解为以为圆心，为半径的圆的内部，通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形，可计算其面积为，正方形面积，所以答案：B小炼有话说：到某定点的距离等于（或小于）定长的轨迹为圆（或圆的内部），所以从和为定点便可确定所在的圆内例4：一个多面体的直观图和三视图所示，是的中点，一只蝴蝶在几何体内自由飞翔，由它飞入几何体内的概率为（）A.B.C.D.思路：所求概率为棱锥的体积与棱柱体积的比值。由三视图可得，且两两垂直，可得，棱锥体积，而，所以。从而答案：D例5：如图，点等可能分布在菱形内，则的概率是（）A.B.C.D.思路：对联想到数量积的投影定义，即乘以在上的投影，不妨将投影设为，则，即即可，由菱形性质可得，取中点，有，所以且垂足四等分，点位置应该位于内。所以答案：D例6：某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（）A.B.C.D.思路：所涉及到只是时间一个变量，所以考虑利用数轴辅助解决。在一个小时中，符合要求的线段长度所占的比例为，所以概率答案：B例7：已知函数，若都是区间内的数，则使成立的概率是（）A.B.C.D.思路：题目中涉及两个变量，所以考虑利用直角坐标系解决。设为“在区间内”，则要满足的条件为：，设事件为“成立”，即，所以要满足的条件为：，作出各自可行域即可得到答案：C例8：在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（）A.B.C.D.思路：分别在坐标系中作出“”，“”，“”的区域，并观察或计算其面积所占单位长度正方形的比例，即可得到的大小：答案：B例9：小王参加网购后，快递员电话通知于本周五早上7:30-8:30送货到家，如果小王这一天离开家的时间为早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到邮件的概率为（）A.B.C.D.思路：本题中涉及两个变量，一个是快递员到达的时刻，记为，一个是小王离开家的时刻，记为，由于双变量所以考虑建立平面坐标系，利用可行域的比值求得概率。必然事件所要满足的条件为：，设“小王走之前拿到邮件”为事件，则要满足的条件为：，作出和的可行域，可得答案：D例10：已知一根绳子长度为，随机剪成三段，则三段刚好围成三角形的概率为______思路：随机剪成三段，如果引入3个变量，则需建立空间坐标系，不易于求解。考虑减少变量个数，由于三段的和为，设其中两段为，则第三段为。只用两个变量，所以就可以建立平面直角坐标系进行解决。设为“一根绳子随机剪三段”，则要满足的条件为：，设事件为“三段围成三角形”，则任意两边之和大于第三边，所以满足的条件为，在同一坐标系作出的可行域。则答案：第86炼事件的关系与概率运算一、基础知识1、事件的分类与概率：（1）必然事件：一定会发生的事件，用表示，必然事件发生的概率为（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用表示，不可能事件发生的概率为（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母进行表示，随机事件的概率2、事件的交并运算：（1）交事件：若事件发生当且仅当事件与事件同时发生，则称事件为事件与事件的交事件，记为，简记为多个事件的交事件：：事件同时发生（2）并事件：若事件发生当且仅当事件与事件中至少一个发生（即发生或发生），则称事件为事件与事件的并事件，记为多个事件的并事件：：事件中至少一个发生3、互斥事件与概率的加法公式：（1）互斥事件：若事件与事件的交事件为不可能事件，则称互斥，即事件与事件不可能同时发生。例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件，“出现3点”为事件，则两者不可能同时发生，所以与互斥（2）若一项试验有个基本事件：，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以之间均不可能同时发生，从而两两互斥（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若互斥，则有例如在上面的例子中，事件为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得，所以根据加法公式可得：（4）对立事件：若事件与事件的交事件为不可能事件，并事件为必然事件，则称事件为事件的对立事件，记为，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：，关于对立事件有几点说明：①公式的证明：因为对立，所以，即互斥，而，所以，因为，从而②此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解③对立事件的相互性：事件为事件的对立事件，同时事件也为事件的对立事件④对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可知：对立，则一定互斥；反过来，如果互斥，则不一定对立（因为可能不是必然事件）4、独立事件与概率的乘法公式：（1）独立事件：如果事件（或）发生与否不影响事件（或）发生的概率，则称事件与事件相互独立。例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件，“第二个骰子的点数是2”为事件，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以独立（2）若独立，则与，与，与也相互独立（3）概率的乘法公式：若事件独立，则同时发生的概率，比如在上面那个例子中，，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件，则。（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果。设其中一个结果为事件（则另一个结果为），已知事件发生的概率为，将该试验重复进行次（每次试验结果互不影响），则在次中事件恰好发生次的概率为①公式的说明：以“连续投掷次硬币，每次正面向上的概率为”为例，设为“第次正面向上”，由均匀的硬币可知，设为“恰好2次正面向上”，则有：而②的意义：是指在次试验中事件在哪次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中代表了符合条件的不同情况总数共3种5、条件概率及其乘法公式：（1）条件概率：（2）乘法公式：设事件，则同时发生的概率（3）计算条件概率的两种方法：（以计算为例）①计算出事件发生的概率和同时发生的概率，再利用即可计算②按照条件概率的意义：即在条件下的概率为事件发生后，事件发生的概率。所以以事件发生后的事实为基础，直接计算事件发生的概率例：已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率。解：方法一：按照公式计算。设事件为“甲未中奖”，事件为“乙中奖”，所以可得：，事件为“甲未中奖且乙中奖”，则。所以方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为6、两种乘法公式的联系：独立事件的交事件概率：含条件概率的交事件概率：通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后。所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）二、典型例题：例1：从这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（）A.①B.②④C.③D.①③思路：任取两数的所有可能为两个奇数；一个奇数一个偶数；两个偶数，若是对立事件，则首先应该是互斥事件，分别判断每种情况：①两个事件不是互斥事件，②“至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况，所以不互斥，③“至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立，④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况，所以不互斥。综上所述，只有③正确答案：C例2：5个射击选手击中目标的概率都是，若这5个选手同时射同一个目标，射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是（）A.B.C.D.思路：所求中有“至少一次”，且若正面考虑问题所涉及的情况较多。所以考虑从问题的对立面入手，设所求事件为事件，则为“射击三次没有一次五人均命中目标”，考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为，所以，从而可得答案：C例3：甲，乙，丙三人独立的去译一个密码，分别译出的概率为，则此密码能译出概率是（）A.B.C.D.思路：若要译出密码，则至少一个人译出即可。设事件为“密码译出”，正面分析问题情况较多，所以考虑利用对立面，为“没有人译出密码”，则，从而答案：C例4：某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了），第一次回答正确错误均可。所以答案：例5：掷3颗骰子，已知所得三个数都不一样，求含有1点的概率思路：首先判断出所求的为条件概率，即在3个数都不一样的前提下，含有1点的概率，设事件表示“含有1点的概率”，事件为“掷出三个点数都不一样”，事件为“三个点数都不一样且有一个点数为1”，则有，，所以由条件概率公式可得：答案：例6：甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出。已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为，则甲胜出的概率为（）A.B.C.D.思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件为“甲在第局获胜”，事件为“甲胜出”，则，依题意可得：，两场比赛相互独立，所以从而答案：A例7：如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在之间通过的概率是（）A.B.C.D.思路：先分析各元件的作用，若要在之间通过电流，则必须通过，且这一组与两条路至少通过一条。设为“通过”，则，设为“通过”，，那么“至少通过一条”的概率，从而之间通过电流的概率为答案：B例8：假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行；要使得4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是（）A.B.