2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第23炼 恒成立问题-数形结合法含答案

2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第23炼恒成立问题——数形结合法第23炼恒成立问题——数形结合法一、基础知识：1、函数的不等关系与图像特征：（1）若，均有的图像始终在的下方（2）若，均有的图像始终在的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征二、典型例题：例1：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则的图像应在的上方，所以应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图像可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入可得：，综上可得：答案：小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的）（3）处理好边界值是否能够取到的问题例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________思路：本题选择数形结合，可先作出在的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需时，，即，所以答案：例3：若不等式对任意恒成立，求的取值范围思路：恒成立不等式变形为，即的图像在图像的上方即可，先作出的图像，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关。通过观察图像，可得只需，解得：答案：小炼有话说：在本题中参数的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求例4：若,不等式恒成立,则的取值范围是______思路：本题中已知的范围求的范围，故构造函数时可看作关于的函数，恒成立不等式变形为,设,即关于的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要，只需在端点处函数值均大于0即可，即,解得：或答案：或小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧例5：已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_____________m+1m思路：恒成立的不等式为，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为所在区间含参，的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到是开口向上的抛物线，若要，只需端点处函数值小于零即可（无论对称轴是否在区间内），所以只需，解得m+1m答案：小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若，则，而是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以，再解出的范围即可例6：已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____________思路：首先理解条件，即时，不等式恒成立，可判断出函数为奇函数，故先作出的图像，即，参数的符号决定开口方向与对称轴。故分类讨论：当时，单调递增，且为向左平移个单位，观察图像可得不存在满足条件的，当时，开口向下，且为向右平移个单位，观察可得只需，，即可保证，的图像始终在的下方。解得：；当时，代入验证不符题意。答案：小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系（2）注意函数奇偶性对作图的影响（3）本题中参数扮演两个角色：①二次项系数——决定抛物线开口，②决定二次函数对称轴的位置；③图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。例7：已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________思路：所证不等式可转化为，作出的图像，当时的取值决定的开口，观察可得，且时，即可，当时，不等式为，可证明其成立答案：小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均可进行作图。例8：设，若时均有，则_________思路：本题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解的值（或范围），则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像辅助解决。将两个因式设为函数：，，则在图像上要求这两个函数同时在轴的上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点，且为开口向上的抛物线。所以的斜率必大于0，即，通过观察图像可得：与与轴的交点必须重合。，所以，解得：（舍）或答案：小炼有话说：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的特点。（2）本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直线），要看是否具备过定点的特征。例9：(2015山东烟台高三一模）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是()A.B.C.D.思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是与很难确定其范围，从而与无法化成解析式。但由于所给不等式可视为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出，所以考虑作出图像，看是否存在解题的突破口。通过图像可以看出虽然是分段函数，但是图像连续且单调递减。所以是上的减函数。那么无论与位于哪个区间，由及单调性均可得到：只需，所以，解得答案：A例10：已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是_____________思路：是奇函数且在时是分段函数（以为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看，一方面的图像比较容易作出，另一方面可看作是的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找满足的条件。先将写为分段函数形式：，作出正半轴图像后再根据奇函数特点，关于原点对称作出负半轴图像。恒成立，意味着的图像向右平移一个单位后，其图像恒在的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度，所以可得：答案：第24炼恒成立问题——最值分析法最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。一、基础知识：1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设的定义域为（1）若，均有（其中为常数），则（2）若，均有（其中为常数），则3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：①观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）②缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。二、典型例题：例1：设，当时，恒成立，求的取值范围思路：恒成立不等式为，只需，由于左端是关于的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法解：恒成立不等式为，令则对称轴为（1）当时，在单调递增，即（2）当时，在单调递减，在单调递增终上所述：小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。思路二：从另一个角度看，本题容易进行分离，所以也可考虑参变分离法解：（1）时，则(由于系数符号未定，故分类讨论进行参变分离）令（换元时注意更新新元的取值范围）则（2），不等式对任意的均成立（3），(注意不等号变号！！）令,则综上所述：小炼有话说：（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比（2）最后确定的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对进行的，的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集例2：已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________思路：若不等式恒成立，则，与差的最大值即为最大值与最小值的差。所以考虑求在的最大最小值，，若，则，所以，若，则，所以。而，所以无论为何值，，则在单调递增。，从而，解得答案：例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围思路一：恒成立的不等式为即,令观察到两点特征：(1)导函数易分析单调性，（2）,对单调性会有一定要求进而限制参数的取值。所以考虑使用最值法求解。解：恒成立即不等式恒成立，令只需即可，，令（分析的单调性）当时在单调递减，则(思考：为什么以作为分界点讨论？因为找到，若要不等式成立，那么一定从处起要增（不一定在上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以时导致在处开始单减，那么一定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用）当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）若，单调性如表所示（（1）可以比较的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦。由于最小值只会在处取得，所以让它们均大于0即可。（2）由于并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若，则在上单调递增，，符合题意综上所述：小炼有话说：此题在的情况也可不分类讨论，因为从单调区间分析来看，在中是极大值点，不可能是最小值，所以无论是否在，最小值（或临界值）均只会在边界处产生，所以只需即可思路二：不等式中与便于分离，所以只要分离后的的函数易分析出单调性，那么就可考虑运用参变分离法解：，令，则只需即可（单调性受分子影响，但无法直接分析）令，（求导函数，便不含，可分析单调性，且零点找到，所以方法二可继续进行）在上单调递增（体会零点配合单调性对确定函数符号的作用），在上单调递增（无最大值，只有临界值，故可取等号）小炼有话说：第一点是分析时由于形式复杂并没有对直接求导，而是把分子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号，而分母符号恒正，所以要体会导函数的符号是对原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号，这也是分析的重要原因例4：已知，若对任意的，均有，求的取值范围思路：恒成立不等式为，可参变分离但函数比较复杂，所以考虑利用最值法来分析。发现时，左右两边刚好相等。这也为最值分析提供方向解：令，（从起应单调递增）令，即下面分情况讨论：时，恒成立，在单调递增时，，恒成立，在单调递增时，时，恒成立，在单调递增时，在单调减，在单调递增，不符题意，舍去综上所述：小炼有话说：本题导函数形式简单，所以直接对参数进行分类讨论与取舍例5：已知函数对任意的，均有，求实数的范围思路：此题可用最值法求解，先做好准备工作，，所以函数要从开始增，求导观察特点：解：（不易直接出单调性，但是发现其中，且再求一次导，其导函数容易分析单调性。进而可解），令即，下面进行分类讨论：（1）当时，，单调递增。单调递增，，满足条件（此处为此题最大亮点，体会三点：①单调性与零点是如何配合来确定的符号的；②每一步的目的性很强，的作用就是以符号确定的单调性，所以解题时就关注的符号。而符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到；③的零点是同一个，进而引发的连锁反应）（2）当时，（可正可负，而，所以讨论的符号）①当时，恒成立，即恒大于零，则：单调递增。单调递增，，满足条件②当，则时，即在单调递减，在单调递减，，不符题意，故舍去综上所述：时，恒成立小炼有话说：这道题的重要特点在于的零点是同一个，进而会引发“连锁反应”。大家在处理多次求导问题时，一定要清楚每一层导数的目的是什么，要达到目的需要什么，求出需要的要素。例6：已知函数，（1）求函数的单调区间（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围解：（1）令即①当时，恒成立。在单调递增②当时，解得（2）思路：恒成立不等式为，即若参变分离，分离后的函数较为复杂（也可解决）。所以考虑最值法，观察当时，左边的值为0，所以对左边的函数的单调性有所制约，进而影响参数的取值。解：恒成立不等式等价于设，恒成立，否则若，由于连续所以必存在区间使得，即在单调递减进而，，不符题意（本质：，所以要保证从开始的一段小区间要单调增，进而约束导数符号）（这是要满足的必要条件，最终结果应该是这一部分的子集，下面证均满足条件或者寻找一个更精确的范围）下面证任意的均满足条件。构造函数（时的）则，若要恒成立，只需证明即可成立在单调递增，在单调递增，成立时，恒成立，符合题意小炼有话说：（1）的构造的来源：的解析式可看为以为自变量的一次函数，且单调递增（），所以对于，无论为何值，，即，与恒成立的不等式不等号方向一致。（2）本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数（函数的放缩），进而便于对参数取值范围的验证。（3）归纳一下解决此题的方法：为最值法解恒成立问题的另一个方法——构造中间函数首先先说考虑使用这个方法的前提：①以参数为自变量的函数结构简单（最好单调）②参数缩小后的范围，其不等式与含参函数不等号方向，以及单调性保持一致（在本题中，而刚好关于单调递增，且要。故可引入位于与之间）其步骤如下：①代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围（有可能就得到最终结果），记为A②因为最终结果A的子集，所以只需证明A均符合条件或者寻找更小的范围③如果函数是关于参数的一次函数（或单调函数），可通过代入参数的边界值（临界值）构造新函数并与原函数比较大小④证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间，进而说明A中的所有值均满足条件，即为最后结果例7：已知函数，若在区间上，恒成立，求实数的取值范围思路：考虑用最值分析法，但可考虑先利用缩小的讨论范围解：令，即（1）时，即，恒成立在单调递减满足条件（2）时，，考虑，不符题意，舍去（注：这里需要对函数值进行估计，显然，总有一个时刻，大于零，进而，所以考虑代入特殊值来说明。对于，所以构造时只需要即可，解得，进而舍掉的情况）例8：已知函数，曲线在点处的切线方程为。其中为自然对数的底数（1）求的值（2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围解：（1），切线方程：，而且在切线中，解得：（2）思路：恒成立不等式为：，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于的符号不确定（以为界），从而需进行分类讨论。当时，不等式变形为：，设，可观察到，则若要时，，则需，进而解出，再证明时，即可。将的范围缩至时再证明时，即可。解：由（1）可得恒成立的不等式为：当时，设，可得若，则，使得时，在单调递减则时，与恒成立不等式矛盾不成立解得：下面证明均可使得时，在单调递增，即不等式恒成立当时，同理，在单调递增即时不等式在恒成立综上所述，例9：设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.解：（1）思路：由题意可知在处有公共点，且切线斜率相同在处有相同的切线.（2）思路：恒成立不等式为，尽管可以参变分离但分离后关于的函数结构复杂，不易分析单调性。所以考虑最值法解：令，只需令均成立，（上一步若直接求单调增区间，则需先对的符号进行分类讨论。但通过代入（，便于计算），解得了要满足的必要条件，从而简化了步骤。）解得下面根据是否在进行分类讨论：①在单调递增。与已知矛盾（舍）②在单调递增。满足条件③则恒成立，故满足条件综上所述：小炼有话说：本道题的亮点在于代入以缩小的范围，并不是边界点，但是由于易于计算（主要针对指数幂），且能够刻画的范围，故首选例10：（2011浙江,22）设函数（1）若为的极值点，求实数（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.注：为自然对数的底数解：（1）是的极值点或，经检验符合题意（2）思路一：恒成立的不等式为，考虑选择最值法当时，无论为何值，不等式恒成立（的单调区间必然含参数，首先将恒成立的部分剔除，缩小的取值范围以方便后期讨论），记恒成立，所以（通过特殊值代入缩小的范围，便于分析讨论）（解不出具体的极值点，但可以估计其范围，利用零点存在性定理，同时得到与的关系：)单调递增若，只需由得代入①得：由②式得综上所述，小炼有话说：本题有以下几处亮点：1、特殊值代入法：这是本题最大的亮点，通过代入特殊的值缩小的范围，便于讨论，在有关恒成立的问题中，通过代入特殊点（边界点，极值点等）可以简化运算，提供思路，而且有一些题目往往不等关系就在自变量的边界值处产生2、对极值点的处理，虽无法求值，但可求出它的范围，进而解决问题思路二：参变分离法：当时，无论为何值，不等式恒成立考虑,则不等式(体会将范围缩小后所带来的便利）恒成立则只需成立设，在单调递增，再设,令即,由左边可得时，，而单调递增，由此可得,,,(单调性+根→符号）在单调增，在单调递减。故综上所述：小炼有话说：思路二有另外几个亮点：1、缩小自变量范围的作用：使为正，进而对后面的变形开方起到关键性作用2、在处理的问题时，采取零点与单调性结合的方式来确定符号。其中的单调性可以快速判断。增，增，且两部分的函数值恒为正数，那么相乘后的解析式依然是增函数。三、近年模拟题题目精选（三类方法综合）1、已知定义域为的奇函数，当时，，且对，恒有，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.2、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3、（2014，辽宁）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.4、（2014，新课标全国卷II）设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.5、（2015，新课标I）设函数其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.6、（2014，辽宁）已知定义在上的函数满足：①②对所有的，且，有若对所有的，恒成立，则的最小值为（）A.B.C.D.7、（2016，唐山一中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8、已知函数，在区间内任取两个不相等的实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.9、已知，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______10、已知不等式对一切恒成立，则的取值范围是_____11、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是___________12、（2016，上海理工大附中一月考）已知不等式组的解集是关于的不等式解集的一个子集，则实数的取值范围是_______13、（2014，重庆）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_________14、（2016，上海十三校12月联考）已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是___________15、已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为_______16、关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______17、（2016，内江四模）已知函数，，若，则实数的取值范围是18、（2016四川高三第一次联考）已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_______19、已知，若恒成立，则实数的取值范围是________20、若不等式对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是________21、已知，函数.(1)若，求函数的极值；(2)是否存在实数,使得恒成立？若存在,求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．22、（2014，庆安高三期中）已知函数，其中（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（2）讨论函数的单调性；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围23、（2016，抚顺一模）已知函数。（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数，讨论函数的单调性；（3）若（2）中函数有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围。24、（2015，山东）设函数，其中（1)讨论函数极值点的个数，并说明理由（2）若成立，求的取值范围25、（2015，新课标II）设函数（1）证明：在单调递减，在单调递增（2）若对于任意，都有，求的取值范围26、（2015，北京）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程（2）求证：当时，（3）设实数使得对恒成立，求的最大值27、（2016，苏州高三调研）已知函数，是自然对数的底数（1）当时，求函数的单调区间（2）①若存在实数，满足，求实数的取值范围②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围习题答案：1、答案：D解析：利用对称性可作出的图像，可视为的图像向左平移个单位，则恒成立不等式的几何含义为的图像始终在的上方，通过数形结合可得：若，则；若，也满足。所以的取值范围是2、答案：D解析：若恒成立，则，，所以在单调递减，在单调递增。，所以3、答案：C解析：时，恒成立不等式等价于设在单调递减，在单调递增当时，可知无论为何值，不等式均成立当时，恒成立不等式等价于，同理设在单调递增综上所述：4、答案：C解析：，令可得：不等式转化为：整理后可得：，使得若且，则，不等式不能成立只需或时，不等式成立即可5、答案：D解析：当时，不等式不成立当时，可得，与矛盾，故不成立当时，可得设在单调递增，在单调递减唯一的整数使得即，又在单调递增6、答案：B解析：不妨设当时，当时，即7、答案：B解析：问题转变为：，使得，即8、答案：A解析：不妨设，则恒成立不等式等价于即，设，则在单调递增对恒成立，即设，可知在单调递增9、答案：解析：恒成立不等式为：设令定义域解得的单调区间为：10、答案：解析：恒成立不等式为，所以，由均值不等式可知：，所以，即11、答案：解析：恒成立不等式为：，设，则不等式恒成立只需，所以解得12、答案：解析：不等式组的解集为，由子集关系可将问题转化为，不等式恒成立，从而恒成立，因为为减函数，所以，从而13、答案：解析：若不等式恒成立，则设可知14、答案：解析：作出的图像可知为减函数，所以恒成立不等式等价于在恒成立，即，解得：15、答案：4解析：作出函数和的图像，可知，，，所以，即的最大整数值为416、答案：解析：问题转化为，恒成立，设可得：17、