2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第4炼 函数值域的求法含答案

2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第4炼函数值域的求法2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第4炼函数值域的求法第4炼求函数的值域作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。一、基础知识：1、求值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：的解析式中可将关于的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。（4）最值法：如果函数在连续，且可求出的最大最小值，则的值域为注：一定在连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例：解：对称轴为：（3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当当（4）对勾函数：①解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得②极值点：③极值点坐标：④定义域：⑤自然定义域下的值域：（5）函数：注意与对勾函数进行对比①解析式特点：的系数为1；②函数的零点：③值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的②化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种①：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围②：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如可转化为，从而可确定研究对象为例1：函数的值域是（）A.B.C.D.思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。解：的定义域为令，则的值域为例2（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为__________（3）函数的值域为__________思路：（1）本题可视为的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令，则，所以可得（2）如前文所说，，将视为一个整体令，则可将其转化为二次函数求得值域解：令的值域为（3）所求函数为的形式，所以求得的范围，再取对数即可。对进行变形可得：，从而将视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：令答案：（1）B（2）（3）例3：已知函数，则的值域为（）A.B.C.D.思路：依题意可知，所以可将视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是的定义域，由已知的定义域为，则的定义域为：，解得：，而不是解：的定义域为，且，解得：令，则，即的值域为答案：B2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该函数的图像，从而利用图像求得函数的值域（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式例4：（1）设函数定义域为，对给定正数，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（）A.B.C.D.（2）定义为中的最小值，设，则的最大值是__________思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以为分界线，图像在下方的图像不变，在上方的图像则变为，通过作图即可得到的值域为（2）本题若利用的定义将转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以答案：（1）A（2）2例5：已知函数，设，（其中表示中的较大值，表示中的较小值）记的值域为，的值域为，则______________思路：由的定义可想到其图像特点，即若将的图像作在同一坐标系中，那么为图像中位于上方的部分，而为图像中位于下方的部分。对配方可得：，其中，故的顶点在顶点的上方。由图像可得：褐色部分为的图像，红色部分为的图像，其值域与的交点有关，即各自的顶点，所以的值域，的值域。从而答案：例6：（1）函数的值域为__________（2）函数的值域为_________思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即是与定点连线的斜率，那么只需在坐标系中作出在的图像与定点，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可解：所求函数是与定点连线的斜率设，当时，恒成立为增函数设曲线上两点定点（2）思路：，所以可视为点到点距离和的取值范围。结合图形可利用对称性求出其最小值，且当动点向轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，进而得到值域。解：为动点到点距离和，即作点关于轴的对称点（等号成立条件：共线）当或时，函数的值域为小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共同的特点（例如本题中都抓住含根式中的，所以找到了一个共同的动点）答案：（1）（2）

3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域（1）判断函数单调性的方法与结论：①增增增减减减增减若函数的符号恒正或恒负，则减②复合函数单调性：复合函数可拆成，则若的单调性相同，则单调递增；若的单调性相反，则单调递减③利用导数：设图像不含水平线的函数的导数，则单增；单减（2）在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于或，则要估计当或时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于或（即函数图象是否有水平渐近线），；同样若的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如，则要确定当时，的值是接近与一个常数（即临界值）还是趋向或（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确例7：（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为（）A.B.C.D.（3）函数的值域为________思路：（1）函数的定义域为，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但的导数较易分析出单调性，所以考虑利用导数求出的单调区间，从而求得最值令即解不等式：在单调减，在单调递增的值域为小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，所以想到，从而可设，由可知，所以原函数的值域转化为求的值域，从而有，由可求得。由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题（2）思路：函数的定义域为，从而发现，所以函数的解析式为，观察可得为增函数，且时，，所以当时，的值域为小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域②本题也可用换元法，设后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性求解简便。（3）思路：先确定函数的定义域：，为分式且含有根式，求导则导函数较为复杂。观察分子分母可知：且关于单减，且关于单增，即单减，所以为减函数，由可知的值域为小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如，则当均为增（减）函数，且恒大于0，才能得到为增（减）函数答案：（1）D（2）B（3）4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数的关于的方程。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值，必能在定义域中找到与之对应的。这个特点反应在方程中，即为若在值域中，则关于的方程在时至少有一个根。从而将求值域问题转化为“取何值时，方程有解”的问题。利用方程的特点即可列出关于的条件，进而解出的范围即值域例8：（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为_________思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于的二次方程（其中为参数）：，因为函数的定义域为，所以的取值要求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当，方程为，无解；当时，二次方程有解的条件为，即得到关于的不等式，求解即可解：由可得:函数的定义域为的取值只需让方程有解即可当时，不成立，故舍去当时，即：综上所述：函数的值域为小炼有话说：①对于二次分式，若函数的定义域为，则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化为“取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到关于的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”②若函数的定义域不是，而是一个限定区间（例如），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：“取何值时，方程在有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）（2）本题不易将函数变为仅含或的形式，考虑去分母得：则的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到，可知方程有解的条件为：，解出的范围即为值域解：的定义域为且，即，其中因为该方程有解小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为连线斜率的问题，从而将问题转化为定点与单位圆上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与的取值相关，不过因为，所以均能保证只要在中，则必有解。但如果本题对的范围有所限制，则用方程的思想不易列出的不等式，所以还是用数形结合比较方便答案：（1）D（2）以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。例9：已知函数的值域为，则的取值范围是（）A.B.C.D.思路：本题可视为的复合函数，函数的值域为，结合对数函数的性质可知应取遍所有的正数（定义域可不为），即若函数的值域为，则，由二次函数的图像可知，当时，可满足以上要求。所以解得答案：C例10：在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数，例如：，设函数，则函数的值域为（）A.B.C.D.思路：按的定义可知，若要求出，则要将确定里面的范围，所以若求的值域，则要知道的范围。观察到为偶函数，所以只需找到的值域即可，，，即成立，所以为奇函数，只需确定的范围即可。对中的分式进行分离常数可得：，当时，，从而，所以，由。即，可得，再利用偶函数性质可得时，。当时，，所以，综上所述：的值域为答案：B小炼有话说：（1）本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求函数为偶函数，所以关于轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑的情况。另外从解析式的特点判断出为奇函数，从而只需计算的范围，再利用奇函数的性质推出的范围。所以在求函数值域时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。（2）本题在判断的奇偶性时，由很难直接看出之间的联系，但通过“通分”即可得到，奇偶性立即可见；在求的范围时，利用的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定其范围。但通过“分离常数”得到则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断奇偶性或者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围附：分式函数值域的求法：分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对计算量较大，本节主要介绍的方式为如何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转化为熟悉的函数进行求解。一、所用到的三个函数（其性质已在前文介绍）1、反比例函数：2、对勾函数：3、函数：注意与对勾函数进行对比二、分式函数值域的求法请看下面这个例子：求的值域思路：此函数可看为的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求出的范围，再得到值域解：问题不难，但观察可发现：，所以当遇到的函数为，总可以将分子的每一项均除以分母，从而转化为进行求解。由此得到第一个结论：对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解。注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以分母与分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种方法称为“分离常数法”，是分式变形常用的一种手段例：思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体（进行换元），则可将分式转化成为的形式，从而求解解：令，进而可求出值域：注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体，用一个变量表示，进而将陌生的函数化归成熟悉的模型求解，这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。由上例，我们可以总结出第二个结论：对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元，可转化为的形式，进而用反比例函数进行求解。再看下一个例子：例：解：函数为对勾函数，作图观察可发现极值点在定义域中，故最小值为，而最大值在中产生，故值域为思考1：那么你是否会求呢？记住，图像是你最好的帮手！思考2：，那么是否可以仿照上面，得到第三个结论？形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像求出值域继续，还能扩展么？举个例子？例：解：设，（极值点：）第四个结论：形如的函数可通过换元将问题转化为第三个结论，然后进行求解那么，例：呢不就是取了倒数么，所以只需分子分母同除以分子（）即可化归为上面的情形那么，例：呢分子分母最高次均为2次，可考虑进行下分离常数：，从而转化为上面例子的问题，至此，分式函数的终极形式总可通过一系列变换，转化为前面所介绍的三个函数模型进行求解。小结：总结一下我们所遇到的分式类型及处理方法吧：①：换元→分离常数→反比例函数模型②：换元→分离常数→模型③：同时除以分子：→②的模型④：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数第5炼函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有②本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。①要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有②本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）①若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为②若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________思路：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：，所以答案：例2：定义域为的函数满足，当时，，则（）A.B.C.D.思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将向进行转化：答案：D小炼有话说：虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。例3：定义在上的函数对任意，都有，则等于（）A.B.C.D.思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而由已知可得，所以答案：D例4（2009山东）：定义在上的函数满足，则的值为（）A.B.C.D.思路：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能通过减少自变量的取值，由所求可联想到判断是否具有周期性，时，，则有，两式相加可得：，则，即在时周期是6，故，而答案：C小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中，从而（3）本题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内例5：函数是周期为的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为___________思路：从已知出发可知时，为增函数，且，所以时，，时，，由偶函数可得：时，，时，。从而可作出草图。由所解不等式可将分为两部分，当时，，所以，当时，，所以，综上解集为：答案：例6：已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（）A.B.C.D.思路：由可得是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由可得为奇函数，所以考虑区间，在时，，所以，而由于为奇函数，所以在时，，所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值答案：B例7：已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（）A.可正可负B.恒大于0C.可能为0D.恒小于0思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而可得，因为，所以，进而将装入了中，所以由可得，下一步需要转化，由可得关于中心对称，所以有。代入可得，从而思路二：本题运用数形结合更便于求解。先从分析出关于中心对称，令代入到可得。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图。而，即的中点位于的左侧，所以比距离更远，结合图象便可分析出恒小于0答案：D小炼有话说：（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出的符号；第二个是，进而可知；第三个是，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而表现出中点的位置，从而能够判断出距离中心对称点的远近。例8：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（）A.是偶函数B.是奇函数C.D.是奇函数思路：从已知条件入手可先看的性质，由为奇函数分别可得到：，所以关于中心对称，双对称出周期可求得，所以不正确，且由已知条件无法推出一定符合。对于选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移个单位，即关于对称，所以为奇函数，正确答案：D例9：已知定义域为的函数在上有和两个零点，且与都是偶函数，则在上的零点个数至少有（）个A.B.C.D.思路：已知区间仅是，而所求区间为，跨度如此之大，需要函数性质。从条件入手为偶函数可得关于轴对称，从而判断出是周期函数，且，故可以考虑将以10为周期分组，先判断出一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可解：为偶函数关于轴对称为周期函数，且将划分为关于轴对称在中只含有四个零点而共组所以在中，含有零点共两个所以一共有806个零点答案：C小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给周期函数分段时，一端为