高中数学同步讲义（人教A版必修二）第10讲 6.4.3 第1课时 余弦定理（教师版）

第10讲6.4.3第1课时余弦定理课程标准学习目标①掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法。②会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理；2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用；知识点01：余弦定理（1）余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：；【即学即练1】（2023上·全国·高三专题练习）在中，，，，则（

）A． B．5 C．10 D．【答案】B【详解】由余弦定理得，即，解得（负值已舍去）.故选：B.（2）余弦定理的推论；；【即学即练2】（2023上·全国·高三专题练习）的内角，，所对的边分别为，，.已知，则．【答案】//【详解】在中，由余弦定理知，又，所以，又，所以.故答案为：.知识点02：解三角形（1）解三角形一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【即学即练3】（2023·全国·高一课堂例题）根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）：(1)已知，，，求a；(2)已知，，，求A．【答案】(1)(2)【详解】（1）由余弦定理，得，所以．（2）由余弦定理，得，所以．（2）余弦定理在解三角形中的应用①已知三角形的三边解三角形连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角.②已知两边和它们的夹角解三角形用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角.③已知两边及其中一边的对角解三角形例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角.题型01已知三边解三角形【典例1】（2023上·新疆·高二学业考试）在中，已知，，，则.【答案】/【详解】已知，，，由余弦定理得，，解得.故答案为：.【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知的三边分别为，和，试求最大内角的度数．【答案】【详解】根据三角形中大边对大角的原理可知，是的最大内角．由余弦定理得．因为是三角形的内角，所以．因此的最大内角为．【变式1】（2023上·上海宝山·高三校考期中）已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则【答案】/【详解】由余弦定理可得，，又，.故答案为：.【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）的三边之比为．求这个三角形的最大角．【答案】【详解】的三边之比为，不妨设的三边长为，由于大边对大角，设长度为的边所对角为最大角，设最大角为，则，因为，所以，故这个三角形的最大角为题型02已知两边及一角解三角形【典例1】（2023上·新疆·高二学业考试）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【详解】由余弦定理，将，，，代入得，则有，且，解得.故选：B.【典例2】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由余弦定理，，因为，所以，即，解得（舍），所以，.故选：D【典例3】6．（2021上·广东·高二）在中，已知.(1)求的长(2)求的值【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由余弦定理可得，,所以.（2）因为，所以，又，所以，则.【变式1】（2023上·湖南常德·高二校联考期中）在△ABC中，，，，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【详解】因为△ABC中，，，，所以由余弦定理知，，即，化简整理得，解得或（舍去）.故选：C【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在锐角中，，的面积为，则=．【答案】【详解】因为，所以的面积为，解得，又因为为锐角三角形，所以，由余弦定理得．故答案为：.【变式3】（2023上·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）在中，，则.【答案】【详解】.故答案为：题型03判断三角形的形状【典例1】（2023下·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【详解】因为，所以由余弦定理得，所以，所以，所以为等腰三角形.故选：A.【典例2】（2023下·海南海口·高一海南中学校考期中）在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上答案都不对【答案】B【详解】由，而，所以，即为钝角，故为钝角三角形.故选：B【典例3】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，．是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求；若不存在，说明理由．【答案】存在正整数，使得为钝角三角形【详解】由题意，知，要使为钝角三角形，需，得．因为为正整数，所以或．当时，，，此时不能构成三角形；当时，，，满足题意．综上，存在正整数，使得为钝角三角形．【变式1】（2023下·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【详解】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以为等腰或直角三角形.故选：D【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）在中，若，，则的形状是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】D【详解】由余弦定理知，因为，，所以，所以，所以，因此，所以，即是等边三角形，故选：D.【变式3】（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c(1)若，求∠B；(2)若，试判断△ABC的形状．【答案】(1)(2)△ABC是等腰三角形【详解】（1）由，而，故，又，故.（2），故，即，所以△ABC是等腰三角形.题型04求三角形中边长（周长）取值范围【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于是钝角三角形的三边长，所以，且，所以.设最长边对的角为，则，解得.故选：B【典例2】（2023下·四川成都·高一树德中学校考期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（

）A． B． C．D．【答案】C【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，于是得，，解得，又有，即，所以最大边的取值范围是：.故选：C【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即，解得：，，当且仅当时取等号，又，因此b＋c的取值范围是.故选：B【典例4】（2023下·安徽马鞍山·高一统考期末）已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是．【答案】【详解】当角C为最大角时，由题意，，即，解得，又三角形两边和大于第三边，故，故；当角C不是最大角时，则角B为最大角，由题意，，即，解得，又三角形两边差小于第三边，故，故；所以边c的取值范围是.故答案为：【典例5】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）在中，，在边上，且.(1)若，求的周长;(2)求周长的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）若，则，又，，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，故，故的周长为；（2）由（1）知，，设，则，由三边关系可得，解得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得故，所以的周长为，令，，则，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，最大值为.【变式1】（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是钝角三角形，，且是最大边，由余弦定理可得，于是可得，且，解得，又，所以边的取值范围是.故选：D【变式2】（2023下·江苏扬州·高一统考期中）已知锐角三角形边长分别为1，2，x，则x的取值范围是（）A． B． C． D．不确定【答案】C【详解】由题意，设三角形为，由三角形的几何性质，∴，∵三角形是锐角三角形，，∴只需要为锐角，∵，即，，即，联立解得：，故选：C.【变式3】（多选）（2023下·福建福州·高一校联考期末）已知是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则最大的边c的取值可能是（

）A．4.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】CD【详解】由题意可得，所以，所以，因为在三角形中两边之和大于第三边，所以，所以，所以选项AB错误，CD正确，故选：CD【变式4】（2023下·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）在中，角为钝角，内角的对边分别为，若，则的取值范围是．【答案】【详解】依题意，由为钝角可得，所以，由，解得，所以的取值范围是.故答案为：.【变式5】（2023上·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)选①，的最大值是8；选②，的最大值是【详解】（1）因为，所以，所以，则．因为，所以．（2）选①,由余弦定理可得，即，则．因为，所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是8．选②,因为D是边的中点，所以，所以，因为，且，所以，即．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023下·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由及余弦定理的推论，得，因为，所以.故选：B.2．（2023上·浙江金华·高二浙江省东阳市外国语学校校考开学考试）在中，角所对的边分别为，若，则角（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，，即，所以，所以为锐角，所以.故选：B3．（2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在中，，，，则最长边（

）A． B． C．或 D．【答案】B【详解】在中，，，，由余弦定理得，，化简得，解得或，因为是最长的边，所以，故选：B4．（2023下·贵州黔西·高一校考期中）在中，已知，则角A等于（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】C【详解】因为，整理得，由余弦定理可得，且，所以.故选：C.5．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“”，578密位写成“”．若在中，分别是角所对的边，且有．则角用密位制表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，又，所以，由题知，密位，所以密位，依题意，1000密位表示为.故选：C6．（2023·山东·统考一模）已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，则，所以，又，则.故选：A7．（2023上·江西南昌·高三校联考期中）在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数、、，……的图形，此图形中的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在中，，在中，.故选:D.8．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校联考期中）三角形中，，，，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】由余弦定理得，，所以.故选：A.二、多选题9．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（

）A． B． C．3 D．【答案】AB【详解】，，，由余弦定理，有，得，即，解得或.故选：AB10．（2023下·广东东莞·高一统考期末）在中，，，，则可能的取值有（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】BD【详解】在中，，，，则由余弦定理得，，整理得，解得或，故选：BD三、填空题11．（2024·浙江台州·统考一模）在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为．（写出一个符合题意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，内的任何一个值均可）【详解】由余弦定理可得，因为角A为锐角，则，可得，所以的周长.故答案为：9（答案不唯一，内的任何一个值均可）.12．（2023上·福建福州·高二校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为.【答案】3【详解】，即，解得.故答案为：3四、解答题13．（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)若，求；(2)若，当最大时，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得，故，又，,由于，所以；（2），当且仅当时等号成立，由于，，故最大为，此时，，故周长为.14．（2023上·河南·高三校联考期中）在锐角中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由，所以，得，得，因为为锐角三角形，所以为锐角，所以，所以，即，又因为，可得．（2）解：由余弦定理知，所以，即，所以，解得，当且仅当时，等号成立，所以，即周长的最大值为．B能力提升1．（2023·陕西·校联考模拟预测）的内角的对边分别为．(1)求；(2)若，求的周长最小值．【答案】(1)(2)9【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理知，且，所以．（2）由（1）可知：，整理得，且，当且仅当时，等号成立，则，即，可得，所以的周长最小值.2．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由得，由余弦定理，又，所以；（2）因为，所以，设，则，整理得，解得或（舍去），所以，则.3．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在梯形中，，是上一点，满足，是上一动点，.

(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，，，且，，三条直线交于同一点，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，因为，所以，则，解得（2）如图，设与交于点，连接并延长交于点，

由于，知相似于，且点满足，则在中，由余弦定理得，又，故，所以C综合素养1．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（

）

A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62【答案】A【详解】如图，设弧对应圆心是，根据题意，，，

则，因为，则在中，，所以.故选：A.2．（2023上·江苏南