高中数学同步讲义（人教A版必修二）第26讲 8.2 立体图形的直观图（教师版）

第03讲8.2立体图形的直观图课程标准学习目标①掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.。②会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图。1.通过阅读课本在认识柱锥台体的图形的基础上，理解立体图形的直观图的画法；2.熟练运用掌握平面图形的斜二测画法，理解例题图形的斜二测画法要领；3.在认真学习的基础上，提升学生空间向量能力和数学分析能力，抽象思维能力；知识点01：空间几何体的直观图（1）空间几何体的直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.【即学即练1】（2023上·上海·高二校考期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示：

A选项满足要求.故选：A.知识点02：空间几何体的直观图的绘制方法（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点,画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点,且使”(或）,它们确定的平面表示水平面；（2）画底面.已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；（3）画侧棱.已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.【即学即练2】（2023·全国·高一随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.【答案】直观图见解析【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形；第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm；第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形；第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：

知识点03：斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．【即学即练3】（2023上·上海·高二上海市大同中学校考阶段练习）水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，则边的实际长度是.【答案】5【详解】把直观图还原为原图形，如图所示，则，所以.故答案为：5.题型01画水平放置的平面图形的直观图【典例1】（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的选项是（

）A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图必为矩形C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形【答案】A【详解】对于A，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线，三角形的直观图依然是三角形，A正确；对于B，如下图所示的平行四边形，其中，其直观图为平行四边形，而非矩形，B错误；

对于C，正方形的直观图为平行四边形，如下图所示，C错误；

对于D，如下图所示的菱形，其中，其直观图为平行四边形，若，则，，即，四边形不是菱形，D错误.

故选：A.【典例2】（2023上·上海宝山·高二校考阶段练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.

【答案】答案见解析，的面积为【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，如图所示，则的面积为.

【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）画水平放置的正三角形的直观图．【答案】画图见解析【详解】画法如图，按如下步骤完成：

第一步在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴．画对应的轴、轴，使．第二步在轴上取，，在轴上取．第三步连接，，，所得就是水平放置的正三角形ABC的直观图．【变式1】（2023上·上海普陀·高二校考期中）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图为平行四边形，取所在直线为x轴，所在直线为y轴．若在直观图中，则．【答案】2【详解】如图所示，斜二测画法画边长为2的正方形的直观图，是平行四边形，且；由于四边形为正方形，所以，故答案为：2【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）用斜二测画法画出下列图形：(1)水平放置的边长为5cm的正方形；(2)水平放置的梯形和平行四边形；【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴（如图1（1）），画出对应的，轴，使，，（如图1（2）），即四边形即为正方形的直观图.

（2）仿照正方形的直观图的画法：水平放置的梯形（如图2（1））的直观图（如图2（2）），

水平放置的平行四边形（如图3（1））的直观图（如图3（2）），

题型02由直观图还原平面图形【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（

）A．B． C．D．【答案】A【详解】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，故选：A．【典例2】（2023下·陕西商洛·高一统考期末）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（

）

A． B．4 C． D．【答案】C【详解】根据题意可得的原图如图所示，其中D为AB的中点，由于为的中点，,且OA=2，，，故．故选：C

【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形．【答案】作图见解析【详解】如图，即为所求图形．作图过程：过C作CD⊥AB于D，延长DA到O，使得DO＝DC，连接OC，则∠COD＝45°．过O作Oy⊥OB，并以Oy作为y轴，OB作为x轴，在y轴正半轴取，使得，连接、，则根据斜二测画法的原理可知即为真正的图形．【变式1】（2023下·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，原图形如图所示：此平面图形可能是C.故选：C.【变式2】（2023下·河南信阳·高一校联考期中）若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则，由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图.

所以四边形AOBC的面积为.故选：D.【变式3】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.【答案】作图见解析；5【详解】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图).由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以面积为S＝×2＝5.题型03画简单几何体的直观图【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．【答案】图形见解析【详解】①取的中点，画，用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，；②画平面，在上截取；画出，；，，且与交于点，如图所示；

③连接、、，即得正三棱柱，④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下：

【典例2】（2023下·高一课时练习）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2．【答案】答案见解析【详解】（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，，．（2）画下底面．如图①，以O为中心，在x轴上取线段MN，使；在y轴上取线段PQ，使．分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面．（3）画上底面．在z轴上取一点，使，过点分别作，，在平面内以为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图．（4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）．

【典例3】（2023下·高一课时练习）画一个底面边长为，高为的正五棱锥（底面是正五边形，顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是．【答案】答案见解析【详解】依题意，先作出边长为的正五边形，同时以过正五边形中心且平行于所在的直线为轴，以所在直线为轴，如图，

利用斜二测画法作出正五边形的直观图，如图，

再在直观图中，以过原点且垂直于的直线为轴，按比例尺在轴作出，连接，如图，

最后将轴去掉，将看不到的线画成虚线，即可得到满足题意的正五棱锥，如图.

【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图．【答案】答案见解析【详解】画法：（1）画轴，画轴、轴、轴，它们交于点，使.（2）画底面，按轴、轴画正方形的直观图，取边长等于，使正方形的中心对应于点，在轴上分别取点、、、，且使，，分别过、、、作平行于轴的直线，分别交于、、、四点.（3）画高（线），在轴上取（4）成图，连结、、、，并加以整理，就得到所要画的正四棱雉的直观图.

【变式2】（2023·高一课前预习）画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm的正方体；(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．【答案】(1)画法见解析，；(2)画法见解析，【详解】（1）如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD，第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接，第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.（2）如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm.第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，.第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）画出上、下底面边长分别为3cm和5cm，高为4cm的正四棱台的直观图.【答案】图形见解析【详解】(1)画轴：如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使，(2)画下底面：以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=5cm，在y轴上取线段PQ，使PQ=cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，令它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正四棱台的下底面，(3)画上底面：在z轴上取点，使=4cm，过作轴、轴分别平行于x轴、y轴，以点为中心，在轴上取线段M1N1，使M1N1=3cm，在轴上取线段P1Q1，使P1Q1=cm，分别过点M1，N1作轴的平行线，过点P1，Q1作轴的平行线，令它们的交点分别为A1，B1，C1，D1，四边形A1B1C1D1就是正四棱台的上底面，(4)成图：连接线段AA1，BB1，CC1，DD1，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正四棱台的直观图，如图.题型04求直观图的长度和面积【典例1】（2024·全国·高一假期作业）水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】由直角梯形中，且，作于，则四边形为正方形，为等腰直角三角形，故，.

故原图为直角梯形，且上底，高，下底.其面积为.

故选：C【典例2】（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（

）

A．3 B． C． D．9【答案】D【详解】在直观图中，，，则，，把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得，，所以.

故选：D.【典例3】（多选）（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（

）

A．为锐角三角形B．的面积为C．的周长为D．的面积为【答案】CD【详解】如图，因为正三角形的边长为，故，所以，，在中，，由余弦定理得，,在中，，由余弦定理得，,选项A，在中，因为，由余弦定理知，故选项A错误；选项B和D，，故选项B错误，选项D正确；选项C，的周长为，故选项C正确.

故选：CD.【典例4】（2023下·安徽合肥·高一安徽省肥西农兴中学校考期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，

(1)画出它的原图形，(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.【答案】(1)图形见解析(2)边上的高为，原图形的面积为.【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，过点作轴，并使,连接，，则即为原来的图形，如图②所示：

（2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且，在直观图中作于点，

则的面积，在直角三角形中，，所以，所以.故原图形中边上的高为，原图形的面积为.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（

）

A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形【答案】A【详解】由图形知，在原中，，如图，

因为，所以，，，又，.为等边三角形.故选：A【变式2】（多选）（2023下·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点P，则在原图中下列说法正确的是（

）A．四边形ABCD的面积为14B．与同向的单位向量的坐标为C．在向量上的投影向量的坐标为D．最小值为13【答案】AB【详解】由直观图可得，四边形为直角梯形，且，则四边形的面积为，故A正确；如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，则，所以与同向的单位向量的坐标为，故B正确；，则在向量上的投影向量的坐标为，故C错误；设，则，则，，当时，取得最小值，故D错误.故选：AB.【变式3】（2024上·上海·高二校考期末）如图所示直角三角形是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是.

【答案】【详解】由已知直角三角形中，直角边，则直角三角形的面积为1，由原图的面积与直观图面积之比为，可得原图的面积为，故答案为：.【变式4】（2024·全国·高一假期作业）如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为.【答案】【详解】如图所示，作出直观图，则，，，梯形的高为，∴直观图的面积为.故答案为：.题型05直观图还原和计算问题【典例1】（2024·全国·高一假期作业）水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】由直角梯形中，且，作于，则四边形为正方形，为等腰直角三角形，故，.

故原图为直角梯形，且上底，高，下底.其面积为.

故选：C【典例2】（多选）（2024·全国·高一假期作业）如图所示的是水平放置的三角形直观图，D'是中B'C'边上的一点，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'轴，那么原的AB、AD、AC三条线段中（）

A．最长的是AB B．最长的是AC C．最短的是AC D．最短的是AD【答案】AD【详解】根据题意，原的平面图如图，其中，，，则有，故的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD；故选：AD

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为．【答案】【详解】因为，，，所以，，所以．故答案为：．【变式1】（2024·全国·高二专题练习）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（

）A．12 B．6 C． D．【答案】C【详解】解：因为，，，，所以由斜二测画法的直观图知可，所以由斜二测画法的画法规则还原原图形，如图：所以，，，，，所以梯形的面积为．故选：C．【变式2】（2023上·高二单元测试）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm．【答案】8【详解】由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，即长度为，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：．故答案为：．【变式3】（2023上·四川内江·高二威远中学校校考期中）如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，则原图形的面积是.【答案】6【详解】画出原图形如下：其中，故.故答案为：6A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·全国·高三专题练习）已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（

）A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm【答案】C【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，又因为斜二测画直观图的画法：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变.所以该建筑物按的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4cm，0.5cm，2cm和1.6cm．故选：C.2．（2024·全国·高三专题练习）如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（）A．2 B． C． D．8【答案】C【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，.还原原图形如图：则，则.故选：C3．（2024·全国·高一假期作业）已知水平放置的正方形ABCD的斜二测画法直观图的面积为，则正方形ABCD的面积是（

）A． B． C．8 D．16【答案】D【详解】因为，所以，所以正方形ABCD的面积为16，故选：D.4．（2024·全国·高一假期作业）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（

）A．4 B．2 C． D．1【答案】C【详解】根据斜二测画法的知识可知，所以图形的面积是.故选：C5．（2024·全国·高一假期作业）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（

）

A． B．2 C． D．【答案】C【详解】在直角梯形中，，，显然，于是，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，

，，所以该平面图形的高为.故选：C6．（2024·全国·高二专题练习）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以.故选：B.7．（2023下·广西南宁·高一校考期中）如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，因为直观图中，轴，轴，所以四边形是一个上底为，下底为，高为的直角梯形，

则原四边形的面积．故选：C．8．（2023下·河南驻马店·高一统考期末）用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】在直观图中，，且，则，故，又因为，则，可得，故为等腰直角三角形，所以，，故轴，依据题意，作出的原图形如下图所示：

延长至点，使得，则为的中点，由题意可知，，，，且，所以，且，故四边形为平行四边形，则，取的中点，连接，因为、分别为、的中点，则.故选：D.二、多选题9．（2023·福建泉州·高二校考学业考试）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（

）

A．是直角三角形 B．长为C．长为 D．边上的中线长为【答案】ACD【详解】因为轴，由斜二测画法规则知，即为直角三角形，如图所示，又因为，可得，，所以，所以边上的中线长度为．故选：ACD.

10．（2023下·湖南长沙·高一校考期末）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（

）

A．B．C．四边形ABCD的周长为D．四边形ABCD的面积为6【答案】AD【详解】如图过作于，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即，即A正确；还原平面图为下图，

即，过C作，由勾股定理得，即错误；故四边形ABCD的周长为：，即C错误；四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：AD三、填空题11．（2023上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为．【答案】【详解】由题意可得，又，所以.故答案为：.12．（2023上·四川成都·高二石室中学校考开学考试）水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的面积为.【答案】【详解】如下图所示：

根据题意可知在直观图（图（1））中补全正方形，易知；还原回原图如图（2）所示，根据直观图画法可得，且；故的面积为；故答案为：.13．（2023上·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考开学考试）已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形的面积是.

【答案】【详解】连接，则与平行，且有勾股定理得，

故画出四边形的原图形，如下：

四边形为平行四边形，高，故四边形的面积是.故答案为：四、解答题14．（2023下·高一课时练习）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形．用斜二测画法画出的这个梯形的直观图为．求梯形的高．【答案】【详解】如图（1）所示，过点作，垂足为，过作轴，垂足为，因为四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，可得，在直角中，可得，所以，如图（2）所示，在梯形的直观图中，分别坐标，，垂足分别为，因为轴，所以，延长交于点，根据斜二测画法的规则，可得，在直角中，可得，即