第八章解析几何专题4解析几何中的面积问题 讲义（含解析） 2024年高考数学二轮复习（新高考新教材）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题4解析几何中的面积问题（2024皖豫联盟）已知椭圆C：的离心率为，上顶点为A，过左焦点的直线与C交于D，E两点，过右焦点的直线经过A点，且．若四边形的面积为，则C的长轴长为______．通过已知条件结合弦长公式分别求出底边AF2和高DE的长度，利用平面图形的面积公式进行计算.设椭圆C的半焦距为c（c＞0），，则，椭圆C：．由题可知为等边三角形，因为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，所以．由线段垂直平分线的性质可得，直线DE的方程为，与C的方程联立化简可得，由根与系数的关系可得，所以，所以，解得c＝1，则a＝2．故c的长轴长为2a＝4．1．已知，两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，为椭圆上的动点，则面积的最大值为.2．椭圆内接矩形面积的最大值为．通过对原本的几何图形进行合适的分割（通常水平或竖直方向切分，这样使得高可以直接和坐标建立关联，方便使用韦达定理），，让它转化为一系列更易计算的图形面积.（这里仅给出的不同算法）3．在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点､下顶点､右焦点分别为A，B，F.若直线与椭圆E的另一个交点为C，求四边形的面积.4．已知椭圆：的左､右顶点分别为，下顶点为.(1)设点为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点.直线于轴交于点，求四边形的面积；(2)设直线l与椭圆交于不同于右顶点的两点，且，求的最大值.利用直线的参数方程为（t为参数）t的几何意义，将线段长度问题转化为参数的运算，从而简化计算.∵，∴，∴，∴∵，∴易知，的参数方程为（t为参数）设D的参为，E的参为将代入中，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴5．已知椭圆：，椭圆：，动点在上运动，过作的两条切线，切点分别为A，B.(1)求直线AB的方程（用，表示）；(2)O为坐标原点，求四边形OAPB的面积.（提示：过椭圆C：上一点与C相切的直线方程为）6．已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点(0,)是椭圆与y轴的一个交点.(1)求椭圆C的方程;(2)直线x=2与椭圆交于P,Q两点,点P位于第一象限,A,B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点;①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的取值范围;②当点A,B在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由.7．已知双曲线离心率为，，分别是左、右顶点，点是直线上一点，且满足，直线，分别交双曲线右支于，两点.记，的面积分别为，.(1)求双曲线的方程；(2)求的最大值.8．已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.9．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.(1)求双曲线的方程；(2)已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，斜率为，与双曲线交于两点，求的面积.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，﹣）（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）条件下，若MF2交双曲线另一点N，求△F1MN的面积.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线方程为，直线与双曲线的交点为且．（Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，交双曲线于两点，当的内切圆的面积取最大值时，求的面积．12．如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．(1)请证明E为定点，并求点E的坐标；(2)当的面积最大时，求抛物线M的方程．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．【解析】由椭圆的方程可得，的坐标，进而求出直线的方程，及的长度，当三角形的面积最大时为过点的直线与直线平行且与椭圆相切，设过的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，即可求解.【详解】由椭圆方程可得，所以直线的方程为：，由题意可得当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，两条平行线间的距离最大时，三角形的面积最大，设过点与平行的切线方程为：，直线与直线的距离为，联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：，，可得，解得，所以当时最大，这时的最大值为：.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.2．4【分析】设椭圆内接矩形一条对角线的方程为，不妨设，联立椭圆方程与直线方程求出第一象限的交点坐标，则内接矩形的面积可以用k表示出来，再结合基本不等式的知识可求最大值.【详解】由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．设椭圆内接矩形一条对角线的方程为，不妨设．联立，化为，取第一象限的顶点，解得，所以∴内接矩形的面积．当且仅当时取等号．故椭圆的内接矩形的面积的最大值为4．故答案为：4.3．【分析】写出直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标后，可求得四边形面积；【详解】由题意，，，，所以直线方程为，由得或，所以，所以.4．(1)四边形的面积为定值2(2)【分析】（1）依据点斜式表示出直线的方程和直线的方程，列出的表达式化简即可得面积为2.（2）由根与系数的关系，可得，而，即可求得的最大值.【详解】（1）因为椭圆的方程为，所以.设，则，即.，则直线的方程为：，令，得；同理，直线的方程为：，令，得.所以.即四边形的面积为定值2.（2）由题意知，直线的斜率不为0，则不妨设直线的方程为.联立消去得，，化简整理，得.设，则.因为，所以.因为，所以，得，将代入上式，得，得，整理得到：，解得或（舍去），.所以直线的方程为，则直线恒过点，所以.设，则，易知在上单调递增，所以当时，取得最大值.又，所以.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．(1)(2)【分析】（1）根据切线方程，联立即可求解，（2）联立和椭圆的方程，得韦达定理，由弦长公式以及点到直线的距离公式表达面积即可求解.【详解】（1）不妨设，，：，：，∴A，B处的切线方程分别为，，因为这两条直线均过，∴，∴：.（2）当时，联立，∵，代入上式，化简得，则，，∴，到直线的距离，O到直线的距离，∴，当时，经验证面积也为，所以综上：四边形OAPB的面积为定值6．（1）；（2）见解析【分析】⑴设椭圆的方程为=1(a>b>0)，由椭圆的性质求出，由此求得椭圆的方程⑵①设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为，与椭圆联立，得到，由此利用韦达定理，弦长公式求出四边形APBQ的面积的取值范围②当时，设直线PA的方程为，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理即可求得答案【详解】(1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),由题意可知,b=,a2=b2+c2,解得a=2,∴椭圆C的方程为=1.(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=x+t,联立消y可得,2x2+4tx+4t2-8=0,即x2+2tx+2t2-4=0,则有x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.对于=1,令x=2,得P(2,1),Q(2,-1),将P,Q分别代入直线可得,t=0,t=-2,由点A,B在直线x=2的两侧,故-2<t<0,四边形APBQ的面积为S=S△APQ+S△BPQ=|PQ|·|x2-x1|=×2×|x2-x1|==,而-2<t<0,所以0<S四边形APBQ<4.②当∠APQ=∠BPQ时,直线PA,PB的斜率之和为0,不妨设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,所以直线PA的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,联立消去y可得,(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,所以x1+2=.同理直线PB的方程为y-1=-k(x-2),可得,x2+2=,所以x1+x2=,x1-x2=,所以kAB====,故直线AB的斜率为定值.【点睛】本题主要考查了求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义，性质的应用，还考查了直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式，韦达定理的应用，有一定的计算量，属于难题．7．(1)(2)【分析】（1）设，可判断，表示出，，即可求出，再根据离心率求出，从而求出，即可得解；（2）由（1）可知直线，的方程。联立直线与双曲线方程求出、，由，代入转化为关于的式子，再换元利用函数的性质计算可得.【详解】（1）依题意设，，，若，此时，，则，，不符合题意，所以，则，，又，所以，解得，又，所以，则，所以双曲线的方程为.（2）由（1）可知直线：，：，由，消去整理得，所以，又，所以，由，消去整理得，所以，又，所以，综上可得，所以，，又，又，所以，令，则，所以，令，则，所以，所以当时，即时.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.8．(1)证明见解析(2)【分析】（1）易得点处的切线方程，根据交轴于点，由判断；（2）过的切线，由时，得到，联立，得到，再由，然后由求解.【详解】（1）解：由题意点处的切线为，所以过点处的切线方程为，交轴于点，则，即，所以为的角平分线；（2）过的切线，当时，即不为右顶点时，，即，（或由直线与单支有两个交点，则也可）联立设，则所以又所以，，当时，即点为右顶点时，，所以，所以的最小值为.9．(1)(2)【分析】（1）根据已知渐近线相同，设出双曲线的方程为，即可代入点求出答案；（2）根据第一问中双曲线的方程得出，，根据已知得出直线的方程，即可联立消去，设，，则可根据韦达定理得出，，根据双曲线的性质得出，即可计算得出答案.【详解】（1）双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的方程可化为，将点代入可得：，解得，故双曲线的方程为：，即；（2）由第一问可得，，因为直线经过，斜率为，则直线的方程为，即，代入双曲线的方程中，得：，设，，则，，根据双曲线的性质可知与符号相反，则，因为，所以，则.10．（1）x2﹣y2=6；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）求出离心率e，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），过点（4，﹣），可得16﹣10=λ，即可求双曲线方程；（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论.（3）利用M与F2可得直线方程，求出N的纵坐标，然后求解三角形的面积.【详解】（1）∵焦距是实轴长的倍，∴e=，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），∵过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，∴λ=6.∴双曲线方程为x2﹣y2=6.（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=，∴c=2.∴F1（﹣2，0），F2（2，0）.∴=（﹣2﹣3，﹣m），=（2﹣3，﹣m）.∴=+m2=﹣3+m2.∵M点在双曲线上，∴9﹣m2=6，∴m2=3.∴，∴点M在以F1F2为直径的圆上；（3）由（2）不妨M（3，），F2（2，0），直线MF2的方程为：y=（﹣2﹣）（x﹣2），代入双曲线方程可得：消去x可得：（6﹣4）y2﹣4（2﹣）y+6=0，因为M的纵坐标为，所以N的纵坐标为：，解得y2=﹣（2+），△F1MN的面积为：=12+4.【点睛】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查直线和双曲线的交点的求法，考查双曲线中三角形的面积，考查运算求解能力，属于中档题.11．（Ⅰ）椭圆方程为．双曲线方程为；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，可得，由可求点,代入双曲线的方程可得，从而可求出椭圆与双曲线的方程；（Ⅱ）设，，不妨设，，内切圆半径，由椭圆定义可知的周长是，又因为，当圆的半径最大时，面积最大，又因为，即面积最大时，圆的面积最大，又，所以设出直线方程，与椭圆方程联立，可得，换元，转化为，由基本不等式求解即可．【详解】（Ⅰ）椭圆：的离心率为，则，不妨设，由得，，把代入双曲线方程得，解得，所以椭圆方程为．所以双曲线的方程为．（Ⅱ）设，点的坐标分别为，不妨设，，内切圆半径．所以的周长是，所以，所以当圆的半径最大时，面积最大，即，设直线的方程为，，消去得，解得，，所以，不妨设，于是，因为在上单调递增，所以，当且仅当时取到．故直线与椭圆交于两点使得的内切圆的面积最大．所以，所以，即，故的面积为12．(1)证明见解析，(2)【分析】（1）设出A、B两点的坐标，将抛物线与圆方程联立，消