函数的平均变化率教学设计

《函数的平均变化率》教学设计一、教学内容分析函数的平均变化率是解决函数问题的直观化工具，它一方面反应函数的增减性质，另一方面也反映函数的变化快慢.并且为我们今后导数相关内容的学习以及物理中的变化率学习奠定基础.本节课首先从物理中的变化率引入数学中的变化率，并首先介绍了直线斜率的定义，然后从直线斜率的角度研究了函数的单调性，并给出平均变化率的定义.引导学生会计算一个函数在相应区间内的平均变化率，并利用函数平均变化率证明函数的单调性，最后引导学生理解从函数平均变化率的角度辨析函数图像的变化快慢,借助数形结合解决相关问题.培养学生逻辑推理、直观想象、数据分析等核心素养.二、学情分析学生已有的知识结构是对函数的认识有了一定的积累，从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．但是由于新教材是在函数单调性这一节给出函数平均变化率的定义，并将函数的平均变化率与单调性联系起来，相关定义和内容较抽象难理解.对于理性思维比较弱的学生，他们极容易在解题时钻牛角尖，因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心.三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习实情，函数平均变化率的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际；其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。四、教学目标知识与技能：1、掌握直线的斜率公式及三点共线的充要条件；2、理解平均变化率的定义并会计算函数在相应区间上的平均变化率；3、会利用函数的平均变化率证明函数的单调性；4、掌握利用平均变化率判断函数图像问题，辨析函数增减快慢.过程与方法：1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想.情感、态度与价值观：1、感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学语音描述刻画现实世界的过程.五、教学重点与难点教学重点：1.理解并掌握平均变化率的概念．2.会利用函数平均变化率证明函数单调性．教学难点：对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释，概括抽象函数的平均变化率.六、教学过程设计【课前准备】活动准备：常规分组，进行小组教学及学习活动.知识准备：提前预习函数的平均变化率及斜率相关概念.【教学过程】.引入课题：德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔上刚记忆完毕2。分钟后60分钟后X~9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y（百分比）10058.244.235.833.727.S25.421,1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．艾滨浩斯提出问题：“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，下降的速度是怎样变化的？该怎样用数学语言来刻画函数的变化快慢？设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为平均变化率的自然引入提供契机..引入物理中的平均变化率：我们在物理中已经学过：变化率是描述变化快慢的量.例如，速度是用来衡量物体运动快慢的，速度等于位移的变化量与发生这一Axv= At

变化所用时间的比值，即加速度是用来衡量速度变化的快慢，加速度等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，即Ava= At设计意图：从学生们已熟知的物理知识角度事先解释一下平均变化率，一方面可以激发学生们的学习热情，也会让学生们感觉这部分知识不那么陌生.3.引入新知：一、直线的斜率(i)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x,y),bQ,y)，当x丰x时，11 22 1 2y-y称V.A为直线AB的斜率.x一x(2)若记Ax=x2一x(2)若记Ax=x2一x,相应的Ay=y-y，当Ax中0时,斜率记为Ay21Ax(3)当x丰x时，称直线AB的斜率不存在.12都不存在.例1.已知直线都不存在.例1.已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1),当m为何值时，直线l的斜率(4)平面直角坐标系中的三点共线,当且仅当任意两点确定的直线斜率都相等或解析：「m解析：「m一2 3由院二5=1’解得m=2为1？变式1.已知点AQ,5)BQ,4)。(-3a,5)在同一条直线上，求实数a的值.一1 一2解析：由k=k，即——二——-，解得a=-9.abbc3一a 一3a一3【设计意图】通过题型让同学们熟练掌握斜率公式的应用

二、函数的平均变化率与函数的单调性观察函数图像上任意两点连线的斜率符号与函数单调性之间的关系，并总结一般规律.可以看出，函数递增的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都大于0，可以看出，函数递增的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都小于0.⑴y=f(x)在I上是增函数的充要条件是包>0在I上恒成立;Ax⑵y=fQ)在I上是减函数的充要条件是”<0在I上恒成立.AxAyf(x)-f(x)⑶一般地，当x牛x时，称==——2 」为函数在区间［x,x］(x<x时)1 2 Ax x-x 121221或［x2,x1］(x1>x2时)上的平均变化率.【设计意图】从斜率的角度得到函数单增和单减的充要条件,并通过数形结合的方式方便大家理解和记忆.B．-2C．2D.-1例2.如图，函数y=f(x)在［1,3］上的平均变化率为()B．-2C．2D.-1A．1答案：D

变式2.已知函数f（x）=2xz+3x—5,当x=4,且Ax=l时，求函数在区间1X+Ax的平均变化率.-11」解析4,Arc=1,•1/.x=5.，&二人）-4）=人）-人）=/G）./（4）二21.AxX-X 12 1【设计意图】使同学们熟练掌握函数平均变化率的计算.三、利用平均变化率证明函数的单调性例3.判断函数/Q）=/+L在X（0,,+8）上的单调性.并用平均变化率证明.解析：任取/避G（o,+oo）,且

例3.判断函数/Q）=/+L在X（0,,+8）上的单调性.并用平均变化率证明.解析：任取/避G（o,+oo）,且

1 2a/Q)/Q)-/Q)Arc2X 2 X-X2， rp rprp2 1 12、亿rprn. |eXy)cA,/1 2GA/Q)>1,从而 <o,则/Q）在（0,1）上单调递减当7,7wG+oo）时，有力/<1,从而 >0,则/Q）在G+oo）上单调2 12 X递增.j1）2/—3变式3.已知函数 力+1⑴判断函数/Q）在区间［0，+8）上的单调性，并用平均变化率证明其结论.⑵求函数/Q）在区间⑵9］上的最大值与最小值.解析：（1）任取力也£（0,+oo）,且1，则1 2 1 2

Af(x)f(x)—Af(x)f(x)—fQ)2x—3 2x—32 1x一x21—2 X+1_J2 当x,xG(0,+8)时，有12x一x21Af(x)-———>0恒成立Ax5( )x一x(x+12)x；1)2 1x一x215(x+l)X+l)所以fQ）在0,+8）上单调递增.⑵由（1）知函数fQ）在区间［2,9］上是增函数，故函数f（x）在区间［2,9］上的最大值为fQ）=3；最小值为fQ）=1【设计意图】通过题型让同学们感受函数平均变化率对单调性的影响，并会利用函数平均变化率证明函数单调性.【学生活动】学生小组探究，将某个同学的做题过程利用投影进行展示，并让相应同学表达个人想法..四、平均变化率的应用例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y是时间t的函数。当容器是下图（1）所示的圆柱时，函数的图像应该是？当容器是下图（1）所示的圆柱时，在固定的At时间内，Ay应该是常数，因此函数的图像是如下图（2）所示的一条线段.当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？当容器是如下图（1）所示圆台时，由容器的形状可知，在固定的At时间内，随着t的增加，Ay应该越大，因此函数的图像如图（2）所示.

<1)例4.李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为:如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图像可能是()答案：B【设计意图】引用实际生活中学生比较熟悉的例子，让学生体会函数图像变化的快慢.例5.已知/Q)为定义在(-1,1)上的函数，若对任意的7«例5.已知/Q)为定义在(-1,1)上的函数，若对任意的7«wllj)且=1 2 1 2f不等式一Q).f- 」<0恒成立,且满足fx-x2 1。—1)>fG—4a),求a的取值范围.解析上单调递减，所以—1<a—1<1—1<1—4a