浙江省丽水市重点中学2023-2024学年高三下学期数学开学检测试卷

浙江省丽水市重点中学2023-2024学年高三下学期数学开学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f(A．(−∞，1) B．(−∞，2．若抛物线y=ax2的焦点在直线y=2x+3上，则A．12 B．6 C．16 D．3．设点A，B在曲线y=log2x上．若AB的中点坐标为A．6 B．210 C．43 4．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)．若A．23 B．12 C．135．已知α，β，γ是空间中三个不同的平面，且直线l1，lA．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．设圆O：x2+y2=4，直线l：y=A．2 B．2 C．22 7．设ω>0．已知函数f(x)=sinA．(1912，C．(1312，8．已知：长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的面积为πab(a>b>0)．现要切割加工一个底面半径为1、高为2的圆柱形零件（如图所示），截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为60°．然后再对切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为（）A．6π B．7π C．8π D．10π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设函数f(A．f(x)是偶函数 C．f(x)有最大值 10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，A．{an2}为等比数列C．若q=−1，则存在m∈N∗使得Sm=0 D．若存在m∈11．在正方形A1A2A3A4中，设DA．四边形区域 B．五边形区域 C．六边形区域 D．八边形区域三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1+(1+x)+(1+13．下列论断中：①1a>1|b|；②1a2>1以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：（作答时，请按“序号⇒序号”的格式书写）．14．在如下数表中：其中，第1行为1，从第2行开始，每一行的左右两端都为1，而中间的数为前一行相邻两个数之和再加1．则第10行的第3个数为；当n∈N∗时，第n行的各个数之和为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)，斜率为1的直线l与（1）求Γ的方程；（2）若l过点(−1，016．在一次知识闯关比赛的预选赛中，包含三个问题，有两种答题方案．方案一：回答三个问题，至少答出两个问题即可晋级：方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，这两个问题都回答正确即可晋级．假设某参赛选手回答出三个问题的概率分别是a，b，c，且是否回答出这三个问题相互之间没有影响．（1）分别求该参赛选手用方案一和方案二时能晋级的概率；（2）试比较该参赛选手在上述两种方案下能晋级的概率的大小．（说明理由）17．已知函数f(（1）若a>3，讨论f（2）若f(x)有正的零点，证明：f18．在凸四边形ABCD中，记AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，四边形（1）证明：2(（2）设p=a+b+c+d证明：S=(（3）若b=c=d=1，求四边形ABCD面积的最大值．19．数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合H={d+ai+bj+ck∣a，b，c，d∈R}中的元素α=d+ai+bj+ck称为四元数，其中i，j，k(=(d两个四元数的乘法定义为：ij=−ji=k，对于四元数α，若存在四元数β使得αβ=βα=1，称β是α的逆，记为β=α实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．（1）设a，b，c，d∈R，四元数（i）计算αα（ii）若α≠0，求α−1（iii）若α≠0，β∈W，证明：（2）在空间直角坐标系中，把空间向量α=(a，b，（i）证明：γ∈W；（ii）若α，β是平面X内的两个不共线向量，证明：γ是

答案解析部分1．【答案】A【知识点】函数的值域【解析】【解答】解：因为3x>0，所以1−3x<1故答案为：A.【分析】根据指数函数的性质求值域即可.2．【答案】D【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解：将抛物线y=ax2化为标准方程x2因为焦点在直线y=2x+3，所以14a=3，解得故答案为：D.【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，代入直线方程求解即可.3．【答案】B【知识点】对数的性质与运算法则；平面内中点坐标公式；平面内两点间的距离公式【解析】【解答】解：设点A(因为AB的中点坐标为(5,2解得x1+x2=10，x1故答案为：B.【分析】设A(x14．【答案】A【知识点】正态密度曲线的特点【解析】【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N(0,σ2)，且所以P(故答案为：A.【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，结合P(5．【答案】D【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的性质【解析】【解答】解：如图所示：α,β,如图所示：l1,l故答案为：D.【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.6．【答案】C【知识点】直线的倾斜角；直线与圆相交的性质；正弦定理【解析】【解答】解：易知直线l的倾斜角为π3，如图所示：

|OA|=2，|OD|=a，∠OAB=∠OBA=π4，∠OEA=π3，

则∠OAD=3π4，∠ODA=π故答案为：C.【分析】利用直线的倾斜角以及正弦定理解三角形即可.7．【答案】B【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【解答】解：令f(x)=0，即sin(3ωx−π4解得f(x)的正零点为(1+4k)π所以函数f(x)从左到右的零点依次为：π12ω要使函数f(x)在区间(0,π)恰有6个零点，只需所以实数ω的取值范围为(17故答案为：B.【分析】令f(x)=0，求得f(x)从左到右的零点，再结合题意，列不等式求解即可.8．【答案】C【知识点】椭圆的定义；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法【解析】【解答】解：设底面中心为O，椭圆的长轴端点为D，截面与底面交于线段AB，圆锥曲线定义可得截面为半个椭圆，且底面圆周上的点E满足DE垂直于底面如图所示：

则OD⊥AB,DE⊥AB所以AB⊥平面ODE，从而AB⊥OE，因为OE=1，截面与底面所成角的平面角是∠DOE=60°，则DE=3所以截面所在椭圆的半长轴为a=2，半短轴为b=1．所以截面的面积为S1而圆柱的表面积是S2因此所刷油漆的面积为2S故答案为：C.【分析】根据二面角的定义确定截面与底面的夹角，由条件确定截面的形状及大小，再根据椭圆面积公式求截面的面积，最后结合柱体体积公式求油漆的面积即可.9．【答案】A,B,C【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期【解析】【解答】解：A、函数f(x)=ecosx的定义域为R，且满足f(−x)=B、因为f(x+2π)=ecos(x+2π)=eC、因为cosx≤1，所以f(xD、因为y=cosx在区间(0,π)单调递减，所以所以f(x)在区间(0,故答案为：ABC.【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A；根据三角函数的周期性即可判断B；根据复合函数的单调性即可判断C、D.10．【答案】A,C,D【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质【解析】【解答】解：易知an=a1qn−1，当q≠1时，A、an2=a1B、当q≠1时，qSn=a1C、若q=−1，则当m=2时，S2D、若Sm=0，当q=1时，Sm=ma1≠0．所以q≠1故答案为：ACD.【分析】根据等比数列的通项公式和前n和性质逐项判断即可.11．【答案】A,B,C【知识点】集合的表示方法【解析】【解答】解：如图，作线段P0Ai的中垂线，则中垂线把正方形分成两部分如图所示：

包含P0的那部分上的点（包括直线P0A可知集合S表示的平面区域可能是四边形区域、五边形区域、六边形区域．故答案为：ABC.【分析】通过作图分析满足集合条件的可能区域即可.12．【答案】10【知识点】二项式系数的性质；二项式系数【解析】【解答】解：二项式(1+xk)k的展开式中所以1+(1+x)+(1+x2)2故答案为：10．【分析】由二项式(1+xk)k的13．【答案】①⇒②【知识点】不等关系与不等式；基本不等式【解析】【解答】解：①因为1a>1|b|>0，所以a>0②等价于b2>a2，a≠0，即|b|>|a|,a≠0；①可以推出②，因为当|b|>a>0时，|b|>|a|=a③可以推出⑤，因为当b>|a|−1时，b>|a|−1≥a−1，故b>a−1；④可以推出③，因为当④成立时，根据基本不等式，b>a2+1≥2|a|>|a|−1④可以推出⑤，因为“④⇒③”与“③⇒⑤”都成立.故答案为：①⇒②（答案不唯一）.【分析】先找到每个论断的等价命题，再逐项检验即可.14．【答案】71；2【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；通项与前n项和的关系【解析】【解答】解：（1）观察数表发现，第n(n≥2)所以第6行的第3个数是7+11+1=19，第7行的第3个数是9+19+1=29，第8行的第3个数是11+29+1=41，第9行的第3个数是13+41+1=55，第10行的第3个数是15+55+1=71．（2）设第n行的各个数之和为Sn，则S对于n≥4，则第n−1行有n−1个数，记为x1,x则Sn−1Sn所以Sn所以Sn从而Sn=2故答案为：71；2n【分析】（1）依题意，根据规律确定每一行的第二个和第三个数，可解第一问；（2）设第n行的各个数之和为Sn，找到S15．【答案】（1）解：Γ的右焦点为F(a当l过Γ的右焦点F时，直线l的方程为y=x−a由于点P(−5，−2由于点P(所以−25=−5解得a=1，b=2．所以双曲线的方程是（2）解：因为l过点(−1，0由4x2−即3x2−2x−5=0．解得x=−1当x=−1时，y=x+1=0，故A(当x=53时，y=x+1=8所以|AB【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）易知右焦点F(a2+（2）联立直线和双曲线方程，消元整理求出两点坐标，再利用两点间距离公式求解弦长即可；16．【答案】（1）解：记该参赛选手能回答这三个问题的事件分别为A，B，C，则P(参赛选手用方案一时能晋级的概率p=ab=ab+bc+ca−2abc；参赛选手用方案二时能晋级的概率p=1（2）解：下面几种不同方法本质上是对p1因为a，p=2故p1即采用第一种方案，该参赛选手能晋级的概率较大．【知识点】利用不等式的性质比较大小；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率公式计算即可；（2）利用作差法得P117．【答案】（1）解：f(由于Δ=(−2a)2−4×3=4(取x1当x∈(−∞，x1)∪(x0，所以f(x)在区间(−∞（2）解：由题意，f(x)在区间(0，+∞)有零点，等价于方程x由基本不等式，x+1x≥2所以x+1x的取值范围为[2由（1），f(x)因为a≥2，所以x0【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】（1）利用导函数f'(x)=0求出两根x0,x1，在区间(−∞,（2）f(x)在区间(0,+∞)有零点，等价于方程x2−ax+1=018．【答案】（1）解：设AC=x．在△ABC和△ACD中，由余弦定理，x2整理得2(因为B+D=π，所以cosD=代入上式得2(（2）解：连接AC如图所示：

△ABC和△ACD的面积分别为S△ABC=因为B+D=π，所以sinD=从而S=S所以S========(所以，S=(（3）解：由（2），当b=c=d=1时，p=3+a2，即a=2p−3，而S=(设g(则g'当x∈(32，52)时，则g(x)在(所以g(x)≤g(52)=综上，四边形ABCD面积的最大值是33【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；诱导公式；余弦定理【解析】【分析】（1）设AC=x，在△ABC和△ACD中，利用余弦定理结合三角形内角和化简整理即可证明；（2）连接AC，由△ABC和△ACD的面积分别为S△ABC=1（3）由（2），当b=c=d=1时，p=3+a2，即a=2p−3，S=(p−1)3(p−a)19．【答案】（1）解：（i）(d+ai+bj+ck（ii）因为α≠0，所以a2由（1）可得αα所以α⋅α同理可验证(d−ai−bj−ck所以α∗因此，α−1（iii）设α=d+ai+bj+ck，αβ==(由（ii），α−1而αβαd(所以αβα−1的实部为0，所以（2）解：（i）设α=ai+bj+ck，αβ==(βα==(所以γ=12(（ii）在空间直角坐标系中，γ=(γ⋅α=a(γ⋅β=x(因此γ⊥α且γ⊥β．因为α，β⊂X不共线，所以γ⊥X，即【知识点】平面的法向量；共轭复数【解析】【分析】（1）（i）由α的共轭四元数定义求解即可；

（ii）α−1=α（2）（i）由纯四元数的定义证明即可；

（ii）在空间直角坐标系中，设γ=(bz−cy,cx−az,

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）63.0(42.0%)主观题（占比）87.0(58.0%)题量分布客观题（占比）12(63.2%)主观题（占比）7(36.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．8(42.1%)40.0(26.7%)选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．3(15.8%)18.0(12.0%)解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5(26.3%)77.0(51.3%)填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．3(15.8%)15.0(10.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(73.7%)2容易(21.1%)3困难(5.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1等比数列的前n项和6.0(4.0%)102正态密度曲线的特点5.0(3.3%)43等比数列的通项公式6.0(4.0%)104含三角函数的复合函数的周期6.0(4.0%)95直线与圆锥曲线的综合问题14.0(9.3%)156复合函数的单调性6.0(4.0%)97相互独立事件的概率乘法公式14.0(9.3%)168二项式系数的性质5.0(3.3%)129平面与平面平行的性质5.0(3.3%)510不等关系与不等式5.0(3.3%)1311正弦定理5.0(3.3%)6