2022-2023学年北京市朝阳区高三年级上册期末考试数学试卷

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷

数学

2023.1

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集。={x|x>0},集合A={x[l<x<2},则Q,A=

(A)(«,1][2,+oo)(B)(0,1][2,+oo)

(C)(—/)(2,+oo)(D)(0,1)(2,+oo)

(2)在复平面内，复数(l+i)S-i)对应的点在第三象限，则实数。的取值范围是

(A)~),一1)(B)S』)

(C)(-l,+oo)(D)(1,+8)

⑶函数f(x)=『+21，KO,的零点的个数为

e'—2,x>0

(A)0(B)1(C)2(D)3

22

(4)已知双曲线当=1(a>0,〃>0)的一条渐近线的倾斜角为60。，则双曲线的离心率为

ab

(A)—(B)巫(C)y/3(D)2

23

(5)在△ABC中，“sin2A=sin2B”是“△ABC为等腰三角形”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(6)过直线》=履-2上任意一点，总存在直线与圆f+y2=1相切，则4的最大值为

(A)石(B)0

(C)1(D)—

3

■JT

(7)已知函数/(x)=sin(d？x+0)(二>0,|3|〈耳),

且函数g。)的部分图象如图所示，则"等于

71

(B)

6

第(7)题

(D)兀

3

(8)2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空

间站梦天实验舱准确送入预定轨道.在不考虑空气阻力的条件下,

八M单位:t)

若火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量〃(单位：

t)、火箭(除燃料外)的质量加(单位：t)的关系满足

v=2000ln(l+—),之间的关系如图所示，则下列结论

m

正确的是

(A)当M=3,m=800时，v>7.9

(B)当M=2,利<600时，v<7.9

(C)当M>5,6=800H寸，v>11.2第(8)题

(D)当M>3,m>600时,v>11.2

(9)已知A,8,C是单位圆上不同的三点，AB=AC,则AB-AC的最小值为

(A)0(B)--(C)--(D)-1

42

(10)在数列｛q｝中，4=1,j=ka；+l(〃eN*),若存在常数c,对任意的〃eN',都有a“<c成立，

则正数人的最大值为

(A)-(B)-(C)-(D)-

5432

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5题，每题5分，共25分。

(11)在(2x+2)4的展开式中，常数项为.(用数字作答)

X

(12)已知等差数列｛4｝的公差q=4,且q,%,%成等比数列，则4=；其前〃项和S“的最大值

为.

(13)若函数/(x)=cosx-sinx在区间［0,a］上单调递减，则实数a的最大值为.

(14)抛物线C:y=f的准线/的方程为.若点P是抛物线C上的动点，/与y轴交于点A,则是

坐标原点)的最大值为.

(15)如图，在棱长为。的正方体ABCO-ABC"中，P,Q分别为AG，AA的中点，点T在正方体的表

面上运动，满足PT_L8Q.

给出下列四个结论：

①点T可以是棱的中点;

②线段PT长度的最小值为工〃;

2

③点T的轨迹是矩形;

点7的轨迹围成的多边形的面积为生.

④

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证

明过程。

（16）（本小题13分）

在△ABC中，csinB=A/53COSC.

(I)求NC；

（II）若a+b=6,求c的最小值.

（17）（本小题13分）

跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22

人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的

班级将获得冠军.为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳

个数，并整理得到如下数据（单位：个）:

高二(1)班:142,131,129,126,121,109,103,98,96.94；

高三(2)班:137,126,116,108；

直同二（3）班:163,134,112,103；

高三(4)班:158.132,130,127,110,106.

假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立.

(I)估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率;

(II)用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望及；

(111)在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

(18)（本小题14分）

如图，在四棱锥中，底面A8C£＞为正方形，平面

皿)J_平面AB=4,PA=PD,E,F分别为BC,PD的

中点.

（I）求证：瓦7/平面以3；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个

作为已知，求二面角F-8E—4的余弦值.

条件①：PDYEF-,

7

条件②：PD=-EF.

3

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(19)(本小题15分)

22

已知椭圆C:「+2=l(a＞方＞0)的右顶点A(2,0),P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是

a-b~

坐标原点，尸面积的最大值为1.

(I)求椭圆C的方程及离心率；

(H)过点的直线P”与椭圆C交于另一点。，直线AP,AQ分别与y轴相交于点E,F.当

|EE|=2时，求直线P"的方程.

(20)(本小题15分)

已知函数/(》)=小(。＞0).

ax

(I)求/*)的单调区间；

(II)若/(X)Wx-工对XW(0,+8)恒成立，求。的取值范围；

a

(III)若wlnX|+xInw=0(X。£)，证明：x]+x2＞2.

(21)(本小题15分)

已知无穷数列｛q｝的各项均为正数，当"W4时，口；当〃＞4时，

n4

an=max｛aA+an_x,a2+an_2,a3+an_3,,an_x+4｝,其中max｛X],/，巧，，Z｝表示工2，七，，与这5

个数中最大的数.

(I)若数列｛%｝的前4项为1,2,2,4,写出。5,。6,%,%的值;

(II)证明：对任意的〃wN*，均有—^忘心；

n4

(III)证明：存在正整数N,当〃,N时，％=%+/.4.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)B(2)A(3)C(4)D(5)D

(6)A(7)B(8)C(9)C(10)B

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

3兀

(11)24(12)5-n10(13)—

4

(14)y=---(15)②③④

44

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(本小题13分)

解：(I)因为csinB=GbcosC,

所以sinCsinB=Gsin3cosc.

又因为8€（0,兀），所以sin3/0.

所以tanC=G.

又因为Cw（O,兀）,

所以/c=工.

3

7F

（II）因为a+b=6,ZC=-,

由余弦定理C，2=/+"一为6cosc',得

c2=（。+b）?—2ab—2abeos=36-3ab.

因为必W（等）2=9,当且仅当a=〃=3时等号成立，

所以,2^9,解得cM3.

所以c•的最小值为3.

（17）（本小题13分）

解：（I）设事件A为"高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”.

根据题中数据，高三（1）班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次.

所以P（A）估计为

（II）设事件4为"高三Qk）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，&=1,2,3,4.

根据题中数据，尸（4）估计为1=；,/4）估计为弓=3，p（A,）估计为*=

根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且

p（x=0）=嗝*%）=啕）尸（4）P（A）嗝）；

+P（A）P（4）P（4）P（AJ+P（A）尸（人）尸（43）尸（A」）；

+P（A）P（4）P（A3）P（A4）+P（A）P（A2）P（A）P（A）；

P（x=4）=尸（A4A4）=P（A）P（4）P（A）P（4）；

p（X=2）=l-P（X=0）-P（X=D-P（X=3）-P（X=4）.

157

所以，P（X=O）估计为L；P（X=1）估计为2；P（X=3）估计为‘；

242424

P(X=4)估计为—；P(X=2)估计为°.

128

八115c3c7)15+18+21+813

所以EX估计为Ox—4-lx—+2x-+3x—+4x—=------------------

24248241224~6

（JIl）在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大.

（18）（本小题14分）

解：（I）取Q4的中点K,连接川，KB.

因为K,尸分别是24,PD的中点,

所以KF//ADFlKF=-AD.

2

又8E7MD且8E='A。，

2

所以KF//BE且KF=BE.

故四边形BEFK为平行四边形.

所以EF//BK.

又因为£尸(2平面BKu平面E4B,

所以EF〃平面R46.

(II)取")中点O,连接OP,OE.

在△PAD中，因为上4=电)，所以POLAD.

又因为平面皿)_L平面ABCD,

且平面皿))平面=

所以尸OL平面ABCZX

故OP，OA,OP，OE.

又在正方形ABCD中，OE，Q4,

所以。4,OE,OP两两垂直.

如图建立空间直角坐标。-"Z,

设P(0,0,2f)(r>0),

则0(0,0,0),8(2,4,0),0(-2,0,0),£(0,4,0),F(-l,O,r).

所以EB=(2,0,0),EF=(-l,-4,t)>DP=(2,0,2t).

设平面的法向量为"=(%,%/()),则

■，l2°,即［2*。“令%=/，则Xo=0,z0=4.于是〃=(0j,4).

n-EF=0,一曲-4%+%=0.

又因为平面ABE的一个法向量为，"=(0,0,1),

所以cos<m,n>=-~—=/,•

p«n«ia+16

选择条件①：PDLEF.

则E尸.£>「=()，即一2+2r=0.

又f>0,所以f=1.

此时COS〈"?,"〉=•

由题知二面角尸-BE-A为锐角，所以其余弦值为生叵.

17

2

选择条件②：PD=-EF.

则3\l*+⑵>=2>/(-i)2+(-4)2+r2，得产=].

此时cos(m,fi)=•

由题知二面角F-5E-A为锐角，所以其余弦值为生叵.

17

(19)(本小题15分)

解：(I)因为△AOP面积的最大值为1岫，所以1岫=1.

22

又因为a=2,c2=a1—b2>所以b=l,c-G.

2A

所以椭圆C的方程为r工+丁=1,离心率为火.

4-2

(II)①当直线P"的斜率不存在时，直线PH的方程为x=-l.显然

因为|PQI=6，所以|EF|=2|PQ|=2叵*2.不合题意.

33

②当直线产”的斜率存在时，设直线/W的方程为y=Z(x+l).

由(+"得0+4无2)/+8&2尤+(4/_4)=0.

[x~+4y-=4

显然△>().

'8炉4k2-4

设尸(％,y),Q(x2,y2),且不±±2,则.+.=T.，=-.

1I^TrC1I3K

直线AP的方程为y=2).

%-2

令x=0,得点E的纵坐标为=二双，则E(0,二汉).

Xj—2-2

直线AQ的方程为y="―(x-2).

X2-2

同理可得尸(O,3M.

/—2

所以IEP1=1二或_二22|=21%a-2)-/(”2)

%1-•2x)—2—2)(x>—2)

二6|幻]、一々1=2.

x}x2-2(x}+占)+4

所以3|41|玉一天1=1-2*|+x2)+4|.

即3kl“X,+々)2-4内/=|卒2-2(%+£)+4|.

[8/4k2-44k2-48公

可得31AlV("T^F)-4XTT^F=1+2x+4|.

1+4&21+4公

化简得3|山迪二L型二.解得k=±旦.

1+4k1+4%6

所以直线P”的方程为x-指y+l=O或x+"y+l=O.

(20)(本小题15分)

解：(I)/㈤的定义域为(0,抬).

由〃©=叱得/(》)=匕华.

axax~

令/'(x)=0得％=e.

因为a>0,所以当无e(0,e)时,f\x)>0；当xw(e,+oo)时,f(x)<0.

所以一(此的单调递增区间为Qe),单调递减区间为(e,M).

(II)由a>0,依题意，Inx-or?+xw0在x£(0,+oo)上恒成立.

设g(x)=Inx-ax2+x,

tjiil，/、1G,1-2GT4-X4-1

则g(%)=——2ax4-1=-----------.

XX

令g'(x)=0,得％」一加砺<0(舍)，11^£>0.

4ar4a

当X€(0,%2)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,々)上单调递增；

当X€*2，+00)时，g'(x)<0,所以g(x)在(9,+(»)上单调递减.

故g(X)max=g(*2)=lnX2-^2+々•

又由g'(X2)=0得

所以8(工2)=111&-—J+々=ln&+1.

依题意需g。)xW0,即山々+玉，■WO.

设h(t)=lnr+—,则易知h(t)在(0,+c。)为增函数.

2

又MD=O,

所以对任意的re(O,l],有/)W0；对任意的f€(l,”)，有〃(f)>0.

所以0<%Wl,即0<1+,1+8〃§,解得

4“

所以”的取值范围为口，用).

,"Inxlnx八

-7

(III)由/InXi+x11nx2=0(司/”2)得^+---^=°，且大工1,£工1.

由（H）知，当。=1时，手"一1,当且仅当x=l时取等号.

所以它"7,

%x2

两式相加得+内一2,即％+七一2>。.

X\X2

故E+%2>2.

（21）（本小题15分）

解：(I)%=5,4=6,%=7,4=8.

(II)对任意刀>4,存在ie{l,2,,/:-1!>使得。〃=4+%・

若i>4或九一i>4,

则4.或4T.又可以写成数列中某两项的和，如4=%+%«+，2=。.

+a

依此类推，存在/J，，儿£”,2,3,4},使得4〃=%+%+Jk

其中I+，2++，*=〃•

，4

所以存在Pi,P2,P3，£N,使得q=回4+p2a2+p3a3+PW4,

且P]+2P2+3凸+4P4=〃•

设幺=.，则当〃W4时，a“W”