2023届山东省菏泽市高三年级上册期中考试数学试题（B）（解析版）

2023届山东省荷泽市高三上学期期中考试数学试题（B）

一、单选题

1.已知命题P：VxeR,e*-x+l>0,贝!J（）.

v

A.~^p：3x（）eR,e°-x0+l>0B.eR,e'"-x0+1<0

C.-^WxeR,e'-x+l<0D.r?:WxeR,e*-x+120

【答案】B

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.

【详解】命题P：TxeR,e*-x+1>0是全称量词命题，

故其否定为ip：*。eR,e刈-Xo+14O,

故选：B

2.设集合A={X|X2-8X+15=0},集合8={x|依-1=0},若BqA,则实数a取值集合的真子集的

个数为（）.

A.2B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】先解方程得集合A,再根据3=A,最后根据包含关系求实数。，即得结果.

【详解】A={x|f_8x+15=0}={3,5},

因为8=A,

当3=0时，a=0,

当BN0时，即awO时，令分一1=0,解得x=1，

a

则1=3或，=5,则对应实数0的值为

则实数。组成的集合的元素有3个，

所以实数a组成的集合的真子集个数有23-1=7,

故选：C.

3.函数〃力=9：；：了的部分图象大致为（）.

C.------.「-----rD.二J*-,

【答案】C

【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数的取值特征，利用排除法判

断即可.

【详解】函数〃x)J-2c°s了的定义域为"次*0},且

2—2

=⑺，

j\/2-*-2*2*—2一工J'/

所以“X)=9：；+为奇函数,函数图象关于原点对称，故排除B；

又〃x)=导察=泻?，当时2、>2,即2:27>(),

当xvO时2V<2-“，即2，-2T<0,

又xe(0,：)时cos2x>0,所以/(x)<0,故排除D,

当■)时cos2x<0,所以/(x)>0,

当时cos2x>0,所以f(x)<0,故排除A.

故选：C

4.在一MC中，内角4氏C所对的边分别为6,%则下列条件能确定三角形有两解的是()

_...71

A.a=5,b=4,A=一

6

7t

B.G=4,/?=5,A=一

4

C.a=5,b=4,A=—

6

71

D.a=4,b=5,A=一

3

【答案】B

【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.

【详解】对于A：由正弦定理可知，―一=一々nsin8=]

sinAsinB5

jr

'：a>h,：.B<A=~,故三角形一43c有一解；

6

对于B：由正弦定理可知，，—=_2_=sinB=述，

sinAsinB8

.•"，小力=，故三角形如C有两解;

“-nsin8=2

对于C由正弦定理可知，

sin35

；A为钝角，...B一定为锐角，故三角形,.A8C有一解；

对于D：由正弦定理可知，—=—=>sinB=^>l,故故三角形一ABC无解.

sinAsinB8

故选：B.

5.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率

“■一产_

的值也可以用2sinl8°表示，即-"一!=2sinl8°,记r=2sinl8。，则(r2-2)-sinl440-()，

2

A.2B.V5C.-V2D.-2

【答案】D

【分析】先将，=2sinl8。代入化简，最后利用诱导公式、倍角公式求解即可

【详解】因为f=2sinl8。，

J9TW4-r2=4-4sin2180=4cos2180,

r2-2=4sin2180-2=-2(1-2sin218°)=-2cos36°,

J4-产J4cos218。

J斤以(r_2).sin144°一2cos36°sin36。

_2cosl8°

--sin72°

2sin720。

故选：D

6.已知函数〃x)(xeR)满足f(x)—f(2—x)=0,若函数尸,一2k一2|与〃引图象的交点为

a，y)(i=l，2,、〃)，/eN*'则2s茗=().

»=!

A.0B.nC.2nD.4n

【答案】C

【分析】根据两个函数的对称性得%+/=2,利用倒序相加法求和即可.

【详解】函数y=,-2x-2］的图象如图所示:

其图象关于直线X=1对称,

又函数〃x)(xeR)满足“X)-"2-x)=0,所以函数〃x)图象关于直线x=l对称,

所以它们交点的横坐标关于直线x=l对称，不妨设々与乙关于直线x=l对称,

则*2与X"T关于直线X=1对称，L,则有X1+X0=2,迎+玉_1=2,L,

所以Z匕=X|+W++x„,又=x“+x,i+L+玉，

<=1i=l

所以2ZX,=(±+X,)+(X2+X,I)+L+(/+%)=〃(%+/)=2”.

f=l

故选：c.

7.下列命题为真命题的是()

A.若〃<b<0,\))\\a\a\<b\b\

b4

B.若Q>0,b>O则。+—+—25

taab

C.若Q>0,b>0,c>0,贝!1丁>----

bb+c

12

D.若。>—1,Z?>0,6/4-22?=2,则；+7的最小值为2

。+1b

【答案】A

【分析】对于A选项，根据。和人为负数取绝对值判断即可；

对于B选项，通过举反例即可判断；

对于C选项，通过举反例即可判断；

对于D选项，将。+%=2转化为。+1+%=3,然后用柯西不等式即可.

【详解】因为。<6<0,所以/>从，所以一/<_从，所以。|4|<勿勿，故A符合题意;

假设a=2,b=l,则a+士6+4三=9=<5,故B不符合题意；

aab2

假设。=〃=c=l,则:=辛，故C不符合题意；

bb+c

因为。+2b=2,所以4+1+2Z?=3,所以(。+1+2b)(----F

。+1

7a+l

所以一1+?23,当且仅当-7』=维=k时取等号，即a+l=b=左，即。=0,6=1时取等号,

。+1b2

\b

故D不符合题意.

8.设。=,，6=lnl.O2,c=e002-l,则()

A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定c与匕，〃与。大小关系，即可得出答案.

a

【详解】解：~=lnl.02=ln(l+().()2),c=^-l,

设/(x)=e"-In(x+1)-1,xG(0,+8),则尸(x)=e*-,

令g(加W-9，则短(加e、舟>。恒成立,

所以尸(x)在xe(0,4w)上单调递增，则f'(x)>7(0)=0恒成立，

所以〃x)在xe(O,w)上单调递增，

贝!j/XO.OZ)：/02-如1.02—1>/(0)=0,即lnl.02<e°S-l,所以匕<c；

设旗x)=xlnx-x,xe(l,+ao),则/?'(x)=lnx>0,故〃(x)在xe(l,+oo)上单调递增，

21

贝iJ/j(L02)=1.021nl.02-1.02>〃(l)=-l,整理得心1.02>位=石，所以〃>“；

i^a<b<c.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是处理好指对募式子中自变量的位置，结合作差法比较大小,

构造差函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，例如比较。=6°(°-1,

6=lnl.O2大小，将转换得3=lnl.02=ln(l+0.02),可构造差函数〃x)=e，-ln(x+l)-l,xe(O,+s),

求解导数r（x）结合导函数的性质即可确定了（X）在（o,+8）的单调性，从而可得函数值大小，即可判

断c,b大小关系.

二、多选题

9.若4*+5一<4「+5-1则下列关系正确的是（）.

A.B.婷<尸c.D.3T>（；）

【答案】AD

【分析】将不等式转化为4'-5*<4'-5一，再构造函数/（力=甲-5一”分析单调性，再逐个选项判

断即可.

【详解】对A,由题意4'-5T<4'—5"设/卜）=4*-5-*,易得为增函数，又

故x<y,故A正确；

对BC,设x=l,y=2,则工一3>歹3,五<后，故BC错误；

对D,因为xvy,故3T=（£|>（g），故D正确.

故选：AD

10.下列四个条件中，q是p的必要条件的是（）.

A.p,.a>b,q\a2>h2B.p:a>b,q:T>2b

cb

C.+勿2=c为双曲线，q：ah<0D.p:ax2+bx+c>0,——+a>0

x~x

【答案】BC

【分析】特例法判断AD,根据指数函数的单调性及必要条件的定义判断B,根据双曲线方程特点及

必要条件的定义判断C.

【详解】对于A,当1>一2时，满足但尸<（—2）2,即从不成立，

所以P推不出4,所以q不是p的必要条件，不满足题意；

对于B,因为函数y=2,单调递增，所以a>b时，2">2%，所以P推出q，

所以q是P的必要条件，满足题意；

对于C,因为加+6）?=c为双曲线，所以c#0且£•£=J<0,所以而<0,

ahah

所以P推出g,所以4是P的必要条件，满足题意；

「h

对于A,当x=0,c>0时，p：ax"+bx+c>0但q:-5----Fa>0不成立,

xx

即P推不出％所以4不是p的必要条件，不满足题意.

故选：BC.

11.设函数/(x)=Inx-(x-a)，,则().

7

A.f(x)存在两个极值点B.当时，“X)存在两个零点

C.当a41时，〃x)不存在零点D.若/(x)有两个零点%外，则再+々>2"

【答案】BD

【分析】对选项A,根据:a)=一2.+2办+1,得到((同=0在(0,用)上只有一个根，即可判断A

X

错误,对选项B,画出y=lnx和y=(x—a),的图象，即可判断B正确,对选项C,根据a=l时，/⑴=0,

即可判断C错误，对选项D,设/(x)两个零点不三，且0<为<々，根据ln±=a-a)2,

2

lnx2=(x2-a),得到In—^=(占-々)(芯+々-2a),即可判断D正确.

【详解】对选项A,广(切」_2(>4)=-2/+2办+1,

XX

4g(x)=-2x2+2zzx+l,A=4«2+8>0.

又因为中2=-3，所以g(x)=0有一正一负根，设不<0<々，

则/'(%)=0在(0,+8)上只有一个根，不可能存在两个极值点，故A错误.

对选项B,令/(x)=lnx-(x-a)2=0,B[Ilnx=(x-a)'.

当时，画出y=lnx和y=(x—a)-的图象，如图所示：

由图知：y=lnx和y=(x-〃)2有两个不同的交点，即.f(x)存在两个零点，故B正确.

对选项C,当a=l时，〃x)=lnx-(x-l)2,/(1)=0,存在零点，故C错误.

对选项D,设/(x)两个零点4电，且0＜玉＜X2，

则“与卜/仁卜。，即lnX[=(X]-a)2,历々=(々一4)2，

22

所以111兴=111玉-In%=(x,-a)-(x2-a),即111^-=(^-x2)(x,+x2-2a),

因为0＜土＜1,所以ln±＜0,

又因为玉一马＜。，所以为+々-2。＞0,即玉+々＞2。，故D正确.

故选：BD

12.已知函数〃x)=sinx•卜inx|,则下列说法正确的是().

A.f(x)是周期函数

7TTC

B.是函数“X)的一个单调递增区间

C.若/(占)+/(毛)=0,则%+毛=碗(>€2)

不等式sin2nxjsin27tr|>cos27ixjcos27txi的解集为(A+'k+U,keZ

D.

【答案】ABD

【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可.

【详解】对于A,因为〃x+2it)=sin(x+2兀).卜in(x+2n)|=sinx.卜inx|=/(x),

所以2兀是/(x)的一个周期，正确;

对于B,因为"—x)=sin(-x)•卜in(—x)|=-sinxjsinx|=—/(x),且函数/(x)的定义域为R,

所以“X)是奇函数，当鹏。闱时，〃x)=sin2xJ-c；s2”单调递增,

_2」2

又因为/(X)是奇函数且过原点，所以-751,7T5是函数/(X)的一个单调递增区间，正确；

对于C,由AB可画出函数〃x)在-55上的图象，又因为

所以〃x)的图像关于对称，可画出函数/(x)在|,y上的图象，

7137r

即得到函数“X)在-于万上的图象，即一个周期的图象，如图：

在-|年上的对称中心为（0,0）和（兀,0）,所以在整个定义域上对称中心为（奴,0）（%eZ）,

即若〃%）+〃々）=0,则X|+&=2E（AeZ）,错误；

对于D,先求不等式sin27trjsin27u|>cos26|cos2同在一个周期内的解集,

取区间［0,2兀因为sin23卜in2词>cos2mleos2利，所以/（2m）>,

_7C_-

2itx>—2口>一+2也

4r，则在整个定义域上有•4解得入正确.

则「，A+Z,

八元77r。兀7兀ci88

2KX+—〈——2TLX+—<-----b2kn

2424

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：对于新的三角函数，往往先画出一个周期的函数图象，进而得到整个函数图

象，利用三角函数图象不仅解决三角函数性质问题，还可以解不等式、方程零点个数等问题.

三、填空题

13.若命题“存在x<2022,使得是假命题，则实数a的取值范围是.

【答案】［2022,收）

【分析】根据命题的否定与原命题真假相反得aNx在xe（p,2022）上恒成立，求出函数最值即可求

解.

【详解】因为命题“存在x<2022,使得x>"是假命题，

所以命题“任意x<2022,使得是真命题，即a2x在xe（-<»,2（）22）上恒成立，

则a±2022,即实数a的取值范围是［2022,M).

故答案为：［2022,”).

;os(a+6)=V，sin(a-7?)=^

14.已知a,夕都是锐角,则sina=

【答案］为叵

130

【分析】先确定a-/，c+〃的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得cos(a-⑶和

sin(a+£)的值，然后根据2a=(a-0+(a+0,并结合两角和的余弦公式，得解;

【详解】因为a与夕都是锐角，

所以a-6e[-],a+/?e(0,7r),

53

又cos(a+/)=值,sin(a一1)=g,

所以a+尸

所以cos(a_p)=Jl-s"(a—/?)=—,sin(a+/?)=y/]-cos2(a+J3)=—,

所以cos2a=cos[(a—尸)+(0+/)]=:乂/一|乂^|=一居；

cos2a=1-2sin%=-3,因为a都是锐角，

65

所”•9阿

JVr以sina=----------

130

故答案为：外叵.

130

15.已知集合4=何0<%<1}.给定一个函数丁=/(6,定义集合A={小=/。),》€4_1}.若

4*=0对任意的"eN"成立，则称该函数y=/(引具有性质“P”.写出一个具有性质“P”的函

数.

【答案】y=x+l或y=J等(写出一个即可)

X

【分析】结合新定义和函数的值域知识，考虑常用函数验证可知.

【详解】(1)函数y=x+i,由4={x［o<x<i},A,={y|y=/(x)，xeA-}，

可得A={y|i<"2},4={y|2<y<3},4={邓vy<4},L

4={亦<y<〃+i},AH,I={y|n+i<y<n+2},

满足A4T=0对任意的〃eN*成立，故函数y=x+l是一个具有性质"p”的函数.

(2)函数y=J由4={x[0<x<l},An=[y\y=f(x),xeA,l_l],

可得4={y|y>l}，4={30<y<l},A,={y|y>l),L,

任意/eN,&={引={y|y>1},

满足4Ai=0对任意的〃eN•成立，故函数y=L是一个具有性质"P”的函数.

X

故答案为：y=x+l或y=，等(写出一个即可)

X

16.己知函数“X)是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x,都有"-x)=/(x)e2，，当》<0时,

〃x)+/'(x)>0.若a+l)W/(a+l),则实数a的取值范围是.

【答案】-|，o

[分析]令g(x)=e'/(x)，根据f(x)=,可得g(-力=g(x),即g(x)为偶函数,再根据当x<0

e-

时，〃x)+r(x)>0,利用导数判断函数g(x)在(0,+8)上得单调性，再根据e"(2a+l)2/(a+l),

即e2"”/(加+1)*"+V(a+1),即g(2a+l"g(a+l),再根据函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为〃-x)=〃x)e2*,所以9Le"(x)=eT〃-x),

令g(x)=e"(x),贝Ug(-x)=g(x),

所以g(x)为偶函数，

当x<0时，/(x)+/,(x)>0,

所以g'(x)=e[/(x)+r(x)]>0,

所以函数g(x)在(y,0)上单调递增，

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g(x)在(0,+8)上单调递减，

因为e"(2a+l)2f(a+l),所以e?""(勿+1)次"+上(4+1),

所以g(2a+l)*g(a+l),即|2a+lK|a+l|,

2

解得：<a<0.

故答案为：-|，0.

【点睛】关键点点睛：解题的关键在于根据已知构造函数g(x)=e"(x),进而将问题转化为

g(2a+l)>g(a+l),利用g(x)的性质求解即可得答案.

四、解答题

17.解不等式：竺二>0.

x-\

【答案】答案见解析

【分析】将分式不等式转化为整式不等式，讨论。的取值范围，结合解一元二次不等式，即可得答

案.

【详解】原不等式等价转化为(公-1)(工-1)>0,

当。=0时，x-1<0,解得x<l.

当〃<0时，(奴一>0即(x——1)<。，解得

当OvaWl时，—>1,解得x<l或工>,.

aa

当a>l时，0<—<1,解得x>l或x<—.

aa

综上，当。=0时，原不等式的解集为(Y,1),

当〃<0时，原不等式的解集为

当0<。41时，原不等式的解集为(-8,1)(]+8)，

当时，原不等式的解集为’8,£|一(1,+8).

18.在一ABC中，内角4,B,C所对边分别为a,b,c,a+b=l且满足.

⑴求/C；

⑵求边c的最小值.

请从下列条件：①cos2c=l+3cos(A+B)；②s=孝(/+/_阴；

③6tanAtanB-tanA-tanB=#>中选一个条件补充在上面的横线上并解答问题.

【答案】(1)条件选择见解析，C=1

⑵去

【分析】(1)选①，利用二倍角余弦公式及三角形的性质求解cosc=g,再利用余弦值求角；选②,

利用余弦定理及面积公式建立方程求得tanC=石，利用正切值求角；选③，利用两角和正切公式化

简得tanC=G，利用正切值求角；

（2）由余弦定理得,2=1-3"，利用基本不等式求得浦<!，从而解二次不等式得。的最小值.

【详解】（1）选①，由cos2C=l+3cos（A+3）得2cosP+3cosc-2=0,解得cosC=g或cosC=—2

（舍去），因为。£（0,兀），所以

选②，由余弦定理得2"COSC=〃2+〃2一。2,则§=--2abcosC=—abcosC,

42

所以孝〃bcosC=；〃/?sinC,所以tanC=G，因为C«。,兀），所以

选③，由GtanAtan8-tanA-tan8=道得6（tanAtariB-l）=tanA+tanB,

所以tan（A+5）=-".所以tanC=,因为Ce（。,兀），所以。=大.

（2）由余弦定理得=a2+/?2-2abcosC=a2+b2-ab=^a-\-b^-3ab=\-3ab,

又“+6W2疑，则向Wg,所以必4；,当且仅当a=0=g时等号成立，

所以1-3"2?,所以所以CN［.所以c的最小值为

4422

19.已知函数〃乂）=加-2公+1+如/>0）,函数在区间［2,3］上的最大值为4,〃0）=L

⑴求〃x）的解析式；

（2）设g（x）=/?，若不等式g（2'）2h2'在［-1,1］上有解，求实数上的取值范围.

【答案】（1）/（司=炉—2x+l

⑵（-8,1］

【分析】（1）判断“X）在［2,3］上的单调性，结合其最大值和〃0）=1求得“力，即得答案；

（2）结合（1）求出g（x）=/J。的表达式，继而将g（2*）2h2'.在上有解，转化为［

在［-1』上有解，利用换元结合二次函数性质即可求得答案.

【详解】（1）,/（x）=ax2-2ar+l+/?=a（x-l）2+1+£>-«,其图象对称轴为x=l,

.。>0,\/(x)在［2,3］单调递增,

，f(3)=4口|J9a-6a+l+/?=3a+b+l=4，:.3a+b=3.

又/(O)=l,则有l+b=l即b=0,所以a=l,6=0,

所以〃x)的解析式为〃X)=X2-2X+1.

(2)由⑴得g(x)=&LCz21l=x+J__2,

XXX

则g(2')“2在上有解，即8(2,)-匕2'=2,+(—2性0在［-1,1］上有解，.

令/=2'［342),则441+(一:在［一口］上有解，

所以+,^-<t<2,

'XT/max乙

又l+\—：=(；—1］,1<y<2,故当;=2时，1+,—：=取到最大值1,

即0+4-2)=］,所以％41,

所以实数人的取值范围是

20.已知函数/(彳)=(尤2-or)lnx-'|x2+2or.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

⑵令g(x)=r(x),若对于定义域内任意的X,g(x)“恒成立,求实数a的值.

【答案】(1)答案见解析

Q)a=2e

【分析】(1)求导后，分a«0、a=2e、a>2e、0<a<2e四种情况讨论即可；

(2)对于x>于g(x)=(2x-a)(lnx-1)20恒成立，讨论0<x4e和xZe,分离参数即可得出答案.

【详解】(1)函数的定义域为(0,+8),

/^x)=(2x-a)lnx+(x2-arj--3x+2a=(2x-a)(lnx-l),

①当a40时，2x-a>0,当x>e时，,用x)>0,函数〃x)单调递增，

当0<x<e时/'(x)<0,函数单调递减，

所以当aVO时，函数〃力在(e,+8)上单调递增，在(O,e)上单调递减

②当a=2e时，r(x)>0,函数〃x)在(0,内)上单调递增

③当a>2e时，令/，x)>0,解得：0<x<e或x>],

令If(x)<0,解得:e<x<p

函数〃x)在(O,e),仁,+8)上单调递增，(e,3在上单调递减

④当0va<2e时，令制x)>。，解得：Ovx<£或x>e,

令广(“<0,解得：^<x<e,

函数〃X)在(o,3,(e,+o>)上单调递增，在ge)上单调递减.

(2)由(1)知g(x)=(2x—a)(lnx—1),

所以对于x>0,g(x)=(2x-a)(lnx-l)20恒成立.

当0cxVe时，lnx-1<0,:.2x-a<0,=2e.

当xWe时,lnx-l>0,:.2x—a>0,.,.a<(2%)^=2e.

综上，a=2e.

21.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是

该市的一矩形区域地块AB8,A8=30m,AD=15m,有关部门划定了以。为圆心，A。为半径

的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为A8边上的点E,出口为C。边上的点凡施

工要求防与古树保护区边界相切，EF右侧的四边形3a芯将作为绿地保护生态区.(百~1.732,

长度精确到0.1m,面积精确到O.Oln?)

⑴若NADE=30。，求E尸的长；

(2)当入口E在A8上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?

【答案】(l)17.3m

(2)AE=5百,最大面积为255.15«?

【分析】(1)根据得Rt-£WE=Rt_D4E,然后利用锐角三角函数求出£尸即可；

(2)设NADE=。，结合锐角三角函数定义可表示AE,H/"然后表示出面积，结合二倍角公式化简,

再利用基本不等式求解.

【详解】(1)设切点为“，连结OH,如图.

DH=DA=]5,DA±AE,DHYHE,RtADAE；

ZHDE=ZADE=ZHDF=30°；

.■.EF=E/7+HF=15tan3O°+15tan3O°»17.3m.

(2)设=则/£»”=90。一2。，

.•.A£=15tang,，尸=15tan(90°-2。).

S梯形谢^SaE+SMHE+SMHLgxlSxlStane+gxlSxlStanO+gxlSxlStanGOO-Z。)

…八2251“Jz11l-tan0(3八1)

=225tan----------=225tan9+—x--------=225—tan^4------

2tan20122tan。)(44tan0J

225、2256

3tan6+―—2----------9

~4~tan。2

当且仅当tane=@,即6=30。时，等号成立,

3

.&.<22573

一?梯形BCFE~J矩形ABCO-J梯形AOT)-JUX1?~—»

4E=15tanO=5G时，生态区即梯形BCEF的面积最大,

最大面积为450-空叵a255.15m2.

2

22.已知函数/(x)=e'-2cosx,xeR.

⑴设函数/(x)在x=0的切线方程为/,/与x轴，y轴分别交于A,B两点，。为原点，求J1O3的

面积；

⑵当xe[0,+oo)时,求证：f(x)>x-l；

(3)求证：/(x