2023-2024学年北京市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年北京市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.在等差数列｛叫中，若4=1,a2+a4=lθ,则%>=()

A.38B.39C.40D.41

【正确答案】B

【分析】根据4=1,%+%=1°,求出d，然后用公式计算即可.

【详解】在等数列｛%｝中，a1=l,a2+a4=10,

所以2α∣+4√=2+4√=10,

解得d=2,

所以%,=%+194=39,

故选：B.

2.已知数歹U｛%｝的前"项和S,=/-2”+1,则%=()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】B

(分析】根据%=S?一邑计算可得.

【详解】解：因为数列｛q｝的前〃项和5,,=√-2π+1,

所以％=S3-S2=(32-2X3+1)-(22-2X2+1)=3.

故选：B

3.已知数列圾｝是首项为2的等比数列，且公比大于O,%-a=12,则圾｝的通项公式()

nn

A.bn=2"B.4=2x3"C.b,,=2×3-'D.bn=2×6-'

【正确答案】C

【分析】设公比为4,由4-4=12得到方程，求出4,即可得解.

【详解】解：设公比为4，由a-H=I2,所以2q2-2q=12,解得4=3或“=-2,

又公比大于0,所以<7=3,

所以"=2x3"τ.

故选：C

4.已知双曲线5-y2=l(a>0)的渐近线与圆d+y2-4y+3=0相切，贝IJa=()

A.3B.√3C.且D.-

33

【正确答案】C

【分析】求出圆的圆心和半径，由于圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于半径,

列方程可求出。的值

【详解】解：由J+y2-4y+3=0,得/+(>-2产=1,所以圆心为(0,2),半径为1,

丫2γ

双曲线鼻-yJl(a>0)的渐近线方程为y=±C

aa

因为双曲线W-y2=l(a>0)的渐近线与圆丁+/-4)，+3=0相切，

a

所以卅1=1,化简得犷=1,解得“=正或〃=-坐(舍去)，

√1+Λ233

故选：C

5.设S“为等比数列｛α,,｝的前"项和，8%+6=0,则称=()

3131八

A.—11B.—C.---D.9

33

【正确答案】A

【分析】根据等比数列的性质可得&=-8n/=_8,进而求得公比，由前八项和公式即可

a2

求解.

【详解】设等比数列｛为｝的公比为d

由Sa?+%=。得：—=-8=>√3=-8,故q=-2,

故S=-q,S5=4=Wa,

$1-(-2)i

所以∙∣L=T1.

故选：A

6.己知｛为｝为等差数列，S“为其前〃项和，若q=6,S3=2ai,则当〃=,S,,有最

大值.()

A.3B.4C.3或4D.4或5

【正确答案】C

【分析】设为等差数列｛4｝的公差为d∙利用基本量代换求出d=-2,结合二次函数的性质

即可求得.

【详解】设为等差数列｛为｝的公差为d.

因为4=6,S3=2α∣,

所以3χ6+3d=12,解得.d=-2

所以S“=6n+^^∙—×(-2)=7n-n2.

结合二次函数的性质可得：当〃=3或”=4时，S.有最大值12.

故选：C

7.设椭圆C:3+方=l(α>6>0)的左、右焦点分别为"，F2,P为直线x=上一点，

EP片是底角为30。的等腰三角形，则椭圆C的离心率为()

A.&B.ɪC.昱D.-

3224

【正确答案】D

【分析】由行环是底角为30。的等腰三角形，把∣"∣=∣々闾用”,c表示出来后可求得离心

率.

【详解】解：由题意可得IPEl=I耳闾，玛(c,0),如图,NPKK=NKPF2=30°,则NPKE=60。，

ZF2PE=30°,

故选：D.

8.设数列｛q,｝的前〃项和为S,,且4+。,向=#=1,2,3,),则%=()

ʌ-t[1^⅛)B∙得c∙∣(1-⅛｝d∙∣(1-⅛)

【正确答案】C

【分析】利用并项求和和等比数列的求和公式进行求解即可

【详解】因为数列｛4｝的前"项和为s,,g+α向=5("=1,2,3,),

所以

ɪɪιf1√lY]

α+++

S2n=(∣+¾)(¾¾)+(。2"-|+生”)=/+5++^⅛T=—^---------p∙~

1^4

故选：C

9.如果数列｛%｝满足皆•-竽=Z(%为常数)，那么数列｛%｝叫做等比差数列，Z叫做公

比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是()

①若数列｛/｝满足华=2",则该数列是等比差数列；

②数列｛〃•2"｝是等比差数列；

③所有的等比数列都是等比差数列；

④存在等差数列是等比差数列.

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

【正确答案】B

【分析】根据比等差数列的定义--4=&(k为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差

a

⅛+ln

数列即可可得到答案.

【详解】①数列｛4“｝满足也=2N,则31-%L=2("+1)-2"=2,

an⅛÷l/

满足等比差数列的定义，故①正确；

②数列｛"2'｝,

。+2%("+2)∙2/2(〃+1).2向

-n+l

⅛+.^¾(M+D∙2n-2"

J∙5+2>2-("+1)2∙22

n∙(n+1)〃•(〃+[)’

不满足等比差数列的定义，故②错误;

③设等比数列的公比为4,则9比--=g-g=O,

¾÷lan

满足等比差数列，故③正确；

④设等差数列的公差为d,

则""+2""M=4+2d%+d=W,

a+da

'¾+∣⅛n,,4(%+d)'

故当”=O时，满足当色-也=0,故存在等差数列是等比差数列，即④正确；

α∏÷la,,

故①@④

故选：B.

10.已知抛物线C的焦点F到准线/的距离为4,点尸是直线/上的动点.若点A在抛物线

C上，且IAFI=6,过点A作直线PF的垂线，垂足为"则IPHHPFl的最小值为()

A.16B.6C.2√10D.2√13

【正确答案】A

【分析】先求出抛物线标准方程，得到焦点尸(2,0),准线/«=-2和A(4,4√Σ),设出

产(-2/),利用向量法表示出伊川忖尸|,结合二次函数求最值.

【详解】不妨设抛物线C的焦点由抛物线C的焦点F到准线/的距离为4,可得:

P=4,所以抛物线Uy2=8χ,焦点尸(2,0),准线Lx=-2.

因为点A在抛物线C上，且IAFl=6,所以z+∙^=6,所以4+2=6,所以XA=4,

所以以=±4√L不妨取A(4,4√Σ).

点P是直线/上的动点，不妨取尸(-2").

所以PA=(6,40τ),PF=(4,T).

因为尸，为24在PF上的射影，

所以IP"HM=(∣PA∣∣cos(Λ4,PH)1)-1PF∖

=网∖标PA-P高F∖网..

ɪ∣PA∙PF∣

=∣6×4+(4λ∕2-f)×(-r)∣

=∣∕2-4√2r+24∣

=(r-2√2)2+16

=(∕-2√2)2+16

≥16.(当且仅当∕=2√Σ时等号成立)

故选：A.

二、填空题

11.在等差数列｛5｝中，已知4=3,%=9,则/+%+%+4>=.

【正确答案】28

【分析】设首项为4,公差为d,依题意得到方程组，解得％、d,即可求出通项公式，从

而得解.

【详解】解：在等差数列中4=3,%=9,设首项为q,公差为d,

∖a,+3d=3[a=—3

则jC，解得λ]。，所以凡=2〃-5,

[4+64=9[a=2

所以%+%+%+«)=1+5+9+13=28.

故28

12.某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月

后，从使用该软件的用户中随机抽查了IOOO名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,40),

[40,50),[90,100],整理得到如下频率分布直方图.这IOOO名用户满意度的第25百分

位数是.

【正确答案】54

【分析】利用频率分布直方图结合百分位数的定义求解即可.

【详解】由已知可得，样本中满意度在区间［30,40)内的样本的频率为0.005x10=0.05,

样本中满意度在区间［40,50)内的样本的频率为0.010X10=0.1,

样本中满意度在区间［50,60)内的样本的频率为().()25XlO=0.25,

所以样本中满意度在区间［30,50)内的样本的频率为0.15,满意度在区间［30,60)内的样本的

频率为0.40,故用户满意度的第25百分位数在区间［50,60)内，

设用户满意度的第25百分位数为X,则

().15+(x-50)X().025=().25,所以X=54,

所以这1000名用户满意度的第25百分位数是54.

故54.

13.在数列｛%｝中，Srl是其前〃项和，且S,,=2q,+l,则数列的通项公式为=.

【正确答案】％=-2"T,"∈N*.

［S,9n=I

【分析】利用%=°C求解数列的通项公式.

P,,-Sn.,,n≥2

【详解】当〃=1时，S∣=q=2q+1,解得：«,=-!,

令〃=2时，S2=202+1,即4+/=2/+1,解得：a2=al-↑=-2,

当“≥2时，=S„-S,τ=2an+1-2αn-l-I=2αrt-2α,,.l,

故％=24,

所以“≥2时，｛%｝为公比为2的等比数列，

所以∕=砧"2=-2X2〃"=_2〃T,

显然;7=1时，％=T满足%=—2”、

综上：=-2n~l,n≥∖.

故。〃=-2"T,〃∈N*.

(11

14.在数列｛〃〃｝中，a∣=2,an+ι=an+∖n1+—,则通项公式加=____.

In)

【正确答案】2+lnn

【分析】利用累加法求得数列的通项公式.

(λ↑｝

【详解】解析：^⅛n÷∕=0w+ln1+—,

InJ

•：a2-Q/=ln[l+；]=In2,

(iI)3

a3-a2=∖n∖1+-=In-,

I2j2

4

a4-a3=∖nI1+-I=In—,

cιn-an-ι=∖n∖1+——∣=In-^-.

Vn-∖)n-∖

3Yi

以上(〃-1)个等式相加，得an-aι=∖n2+ln—+...+In—=Inn.

2nA

：3=2,.：a〃=2+lnn.

y∏∕=2+ln1=2,

.：｛〃〃｝的通项公式为2+lnn.

答案：2+ln几

15.在棱长为2的正方体ABCQ-A&GA中，过点A的平面。分别与棱84，CC1,OR交

于点E,F,G,记四边形/1£FG在平面ABqA上的正投影的面积为S∣,四边形的G在平

面8CC∕∣上的正投影的面积为S?.给出下面有四个结论:

①四边形的G是平行四边形;

②工邑的最大值为4；

③5+S?的最大值为6；

④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为2点.

则其中所有正确结论的序号是

【正确答案】①②④

【分析】对①，根据面面平行的性质定理即可判断答案；

建立空间直角坐标系，设BE=a,CF=b,DG=c,然后根据①得到”,6,c的关系，进而判断

②，然后结合基本不等式判断③，最后根据菱形的对角线互相垂直判断④.

【详解】解：对①，因为平面AfiFG分别与平面BCG4、平面、平面48/4、平面

CDDG交于EF、AG、AE.GF,

易知平面BCG四〃平面AORA,贝IJAG//EF,而平面A84A〃平面则AE//GF,

所以四边形WG是平行四边形，故①正确;

以A为原点，AB,ADM分别为X,KZ轴建立空间直角坐标系，记点G在平面8CG4上的投

影点为点H,

点尸、G在平面ABgAl上的投影点分别为点/、J

设BE=a,CF=b,DG=c,其中0≤α,b,c≤2,则E(2,0,a),尸(2,2,b),G(0,2,c),A(O,O,O),

所以4E=(2,0,a),G尸=(2,0,。—c),由①可得AE=G尸，所以b=α+c,

'0≤a≤2

则<O≤α+c≤2,

0≤c≤2

易得Sl=BEXBC=2a,S2≈AB×AJ=2c,所以S∣+S?=2(4+c)≤4,故③错误；

又S∣S?=4αc≤4(W^)≤4,当且仅当α=c=l,b=2时取“="，故②正确；

又AF=(2,2,b),EG=(-2,2,c-a),令AFEG=T+4+b(c-α)=0,所以c=α,

c=a

即，=2”,则此时A尸，EG,平行四边形用C是菱形，

0≤α≤l

而此时衣=(2,2,2°),正6=(-2,2,0)=>同卜^^,忸@=2也,

所以菱形的面积S=√L疯不，当。=1时，⅛IX=√2×√4×1+8=2√6,故④正确.

故①®④.

三、解答题

16.已知函数/(x)=26SinXCOSX+cos?x-sin。X.

⑴求〃x)的最小正周期：

⑵若Xeŋ,ɪ,求函数“X)的最值.

【正确答案】(1)万

(2)最大值为2,最小值为-1

【分析】⑴将函数转化为"x)=2Sin(2x+。利用周期公式求解；

Tt71711TT

(2)由Xe0,-,得到2x+z∈,再利用正弦函数的性质求解.

2J6[_66_

【详解】(1)解：V/(x)=√3sin2x+cos2x=2sin∣2x+^I,

"χ)的最小正周期为万.

(2)Vx∈θ,ɪ,

Cπ∖π1π

∙*∙2x÷—∈—,

6|_66_

.∙.sin,+Lj

Λ∕(x)∈[-1,2].

・'•f(x)的最大值为2,最小值为-1.

17.已知等差数列｛%｝的前“项和为S”，且&=-6,α7=-3.

⑴求｛叫通项公式及S”的最小值；

(2)数歹£"｝为等比数列，且伉=的，&=%,求数列圾｝的前〃项和一

闭数列｛。“｝满足。,=(-1)"?，其前〃项和为匕，请直接写出鸟侬的值(无需计算过程).

【正确答案】⑴4=3"-24,最小值为S,=Sχ=-84;

⑵北=33”-1)；

(3)3033.

【分析】(1)利用基本量代换求出4=-21,d=3,得到通项公式和前〃项和公式，利用函数

求最值；

(2)求出通项公式，进而得到数列也｝的前〃项和1；

(3)利用分组求和法求出?，直接代入求解.

【详解】(1)设等差数列｛《,｝的公差为小

因为〃6=-6,α7=-3,所以4+5d=-6,q+6d=-3,解得：al=-21,J=3,

所以为=al+(M-1)J=3H-24.

J_15Y_675

所以§_(α∣+α,J"_(3"-45)"_2J4∙

"~2―2—2―

因为“eN”,所以当〃=7或〃=8时，最小值为$7=$8=皿萨儿=_84

(2)由(1)可得：々=%=3,%=%]=9,

所以等比数列｛〃｝的公比为q=,=g=3,

所以4=4q"T=3".

所以等比数歹U｛2｝的前〃项和Z,=黑三*=书2=∣(3--ι)

(3)因为数列匕｝满足C,,=(T)"an=(Ty(3〃-24).

当”为偶数时，与=(21-18)+(15—12)++(-3n+27+3w-24)=y；

当“为奇数时，

Pn=(21-18)+(15-12)++(-3〃+30+3〃-27)-(3"-24)=3(7)-(3〃-24)=24一3(丁)

3(∕t+l)、，*迎

24--—ξ”为奇数

2

所以2=

即,“为偶数

2

所以E022=3xj022=3033.

18.如图，四边形ASCO是正方形，P4_L平面A8CO,EB//PA,AB=PA=4,EB=2,

(2)求二面角O-PC—E的大小.

(3)在棱PE上是否存在点M,使得直线DW与平面PCE所成角的正弦值为逅？若存在,

9

求PM的长；若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析；

（2）⅞:

O

（3）M,£重合时，符合题意，IPMl=2石.

【分析】（1）以A为原点，ARAB,4P分别为怎》Z轴正方向，建立空间直角坐标系.利用

向量法证明；

（2）利用向量法求出二面角D-PC-E的余弦值，得到二面角。-Pe-E的大小；

（3）利用向量法判断出当M与E重合时，符合题意，进而求出卜M∣.

【详解】（1）因为四边形ABe。是正方形，/%，平面ABa）,所以以A为原点，AD,AB,AP

分别为X,y,Z轴正方向，建立空间直角坐标系.

因为AB=RA=4,EB=2,尸为Po的中点，所以

A(0,0,0),P(0,0,4),D(4,0,0),C(4,4,0),8(0,4,0),£(0,4,2),F(2,0,2).

所以PC=(4,4,-4),AF=(2,0,2).

因为PC∙AF=(2,0,2)=4x2+0+-4x2=0,所以PCJ_AF，即AF_LPC.

(2)因为PA_L平面ABC。，CDU平面ABCr),所以P4_LC».

又AFLPC,AFtPA=A,AFu平面PAr),PAu平面尸A£),

所以C£)_L平面P4。.

因为AFU平面PAD,所以CZ)_LA入

又AFj_PC,CDPC=C,CDu平面PCz),PCu平面PC。，

所以A/，平面PCD,BP4/=(2,0,2)为面PCo的一个法向量.

n∙PC=4x+4γ-4z=0

设“=(x,y,z)为面PCE的一个法向量，则，

n∙PE=0x+4γ-2z=0,

不妨设V=I,则”=(1,1,2).

由图示，二面角。-PC-E为钝角，设其为e,所以

,.h4.∣I×2÷O×I÷2×2∣_7|

cos=∣n∣×∣AF∣=√l2+l2+22×√22+02+22=2

因为ee[0,π],所以。=手，即二面角。-PC—E为学.

66

(3)假设在棱庄上存在点M,使得直线。”与平面PCE所成角的正弦值为渔.

9

设ΛW=λPE=(0,4Λ-2A),(0≤Λ<l),则DM=DP+PM=(-4Aλ,4~2λ).

因为直线DM与平面PCE所成角的正弦值为亚，

9

I,.∣JAIDW√6∣-4+4Λ+8-4∕l∣√6

所以卜OS(OM,Q=型，即」I「|=浮所以/,/、2/~~==/

I∖/I9∣DM∣×∣n∣9√16+16Λ2+(4-2A)^×√l+l+49

得M=I

所以当M与E重合时，直线与平面PCE所成角的正弦值为好.

9

222

此时，IPM=Pq=∣(0,4,-2)∣=λ∕θ+4+(-2)=2√5.

19.已知直线Lx=my+"("≠O)与抛物线丁=4x交于M,N两点，且NMoN=9()。.

(1)求V,N两点的横坐标之积和纵坐标之积；

(2)求ΛMON面积的最小值.

【正确答案】(1)16,-16

⑵16

【分析】(1)先设出M,N,分别表示出M。，ON的斜率，利用二者垂直判断出二者斜率

乘积为T,求得氏与+乂%=°，把抛物线的方程代入即可求得为马和)1%.

(2)接着联立直线和抛物线方程组[：”?+〃，得出直线与X轴交点P的坐标，根据

V=4x

SMON=SMOP+Snop,表示出AMON面积，利用基本不等式求得面积的最小值.

【详解】(1)设"(xl,X),N(Xl,yj,NMON=90。，

即OMj_0N,.∙.X]X2+χy2=0,χ2=4x∣,=4X2,

22

-—∙—Fy¼—0>；•y∣%=-16,玉X2=16.

441

(2)由题知，令直线方程/：》=/^+〃(〃片0)中丫=0,

,、(x=my+n

可得直线与X轴交点p(",0),联立Jy=j，得

y1-Amy-^n=Q,由(1)知，y∣>⅛=T"=T6,

：.n=4,即尸点坐标为(4,0),

则SMON=SMOP+SNoP=]|。Pl(Ixl+∣%∣)

=2(E∣+I%∣”2x2加扇=16,

当且仅当Ml=Iy2∣=4时，等号成立.

ZXMON面积的最小值为16.

2

20.已知椭圆C』+与=l(α>b>0)的离心率为；,且过点A(-2,0).

abz

⑴求椭圆C的方程；

(2)斜率为Z的直线/与椭圆交于不同两点V,N(都不同于点A),且直线A",AN的斜率

之积等于1∙试问直线/是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由.

【正确答案】⑴工+《=1；

43

⑵直线/过定点(T4,0).

【分析】(1)利用待定系数法求出椭圆C的方程；(2)不妨设直线/：y=履+，〃.设

"(Λ,,y),N(Λ2,%)∙利用“设而不求法”表示出以M∙3v=1,得到加=14h即可得到直线

Ly=%(x+14)过定点(—14,0).

a=2a=2

—ɔ2

【详解】(1)由题意可得：e=£=(，解得:*b=6所以椭圆的方程为.三+21=]

a2,43

b1=a2-C2

(2)不妨设直线/：丫=履+〃2.设M(%1,y),Ngy2).

fχ2y2_

联立得：T+T=1,消去y得.(3+4公卜2+8bnr+4>-12=0

[y=kx+m

所以A=(86)2-4(3+4/)(4病-12)=48(4/-加2+3)>0.

-r∣u8hn4ZH2-12

所t以…=-帝可=不k

因为直线AM,AN的斜率之积等于1,所以3M∙%AN=1,即一⅛∙ξ⅛=l,

人]I乙ʌɔI乙

2

所以的+m){kx2+ni)={xλ+2)(x,+2),整理得.俨-I)XlX2+(λm-2)(x1+x2)+w-4=0

所以(公-I)X筌9+病-4=0,整理得：4_]6加7+28%2=O,解

得：m=2%或机=14%.

当机=2及时，直线/：y=%(x+2)过定点A(-2,0),不合题意，舍去；

当帆=14出时，代入A=48(4F-(14kf+3)>0,解得：一(<k<0或0<欠<：(因为Jl=O时

直线∕>=Mx+2)与椭圆交于长轴顶点，不合题意)，直线/：y=&(x+14)过定点(-14,0).

符合题意.

故直线/过定点(-14,0),使得直线A”，AN的斜率之积等于L

21.设满足以下两个条件的有穷数列4,生,…M,为"(w=2,3,4,)阶“Q数列”:

①4+%++%=。；②∣4∣+∣<⅞∣++K∣=1.

(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“。数列”;

(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式;

⑶记〃阶“0数列”的前上项和为S*(A=1,2,3,,〃)，求证⑻≤g.

［正确答案］⑴三阶"Q数列,05;四阶“Q数列”：

2〃-2019

(2)¾(neN*,w≤2018)

2x1009?

(3)证明见解析

【分析】（1）借助新定义利用等差数列,写出一个单调递增的3阶和4阶“。数列”;

（2）利用某2018阶“Q数列”是等差数列,根据已知条件分别求出首项和公差即可:

（3）判断七〃时,∣S,J=0≤g,然后证明&时,利用数列求和