2023年湖北省荆门市中考数学真题（学生版+解析版）

2023年湖北省荆门市中考数学真题

注意事项：

1.本卷满分为120分，考试时间为120分钟.

2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上。解答题中添加的辅助线、字母和符号

等务必标在答题卡对应的图形上.

3.在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答.

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）

1.在实数T,也,2,3.14中，无理数是（）

A.-1B.73C.1D.3.14

2.下列各式运算正确是（）

A.302b3-20^=前B.a2-a3=a6

C.a64-a2=«3D.（/）=/

3.观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）

A.主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

B.左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

D.主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形

4.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：Q）是反比例函数

5.已知％=正（6+6）•（石一也），则与左最接近的整数为（）

A.2B.3C.4D.5

6.为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）分别为

%,龙2,…,玉0,下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）

A.这组数据的平均数B.这组数据的方差

C.这组数据的众数D.这组数据的中位数

7.如图所示的“箭头”图形中，AB//CD,N8=NO=80，NE=NF=47，则图中NG的度数是

（）

A

C

A.80B.76C.66D.56

8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之,

不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，

木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）

y=x+4.5[y=x+4.5

A.sB.《

0.5j=x-l[y=2x-l

y=x-4.5fy=x-4.5

C.〈D,<

0.5y=x+l[y-2x-l

3

9.如图，直线y=-]X+3分别与1轴，y轴交于点A,B,将，QA3绕着点A顺时针旋转90得到

CAD,则点B的对应点。的坐标是（）

A.（2,5）B.（3,5）C.（5,2）D.（713,2）

10.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点。是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，

Q8LAC于。.若AC=300j^m，8£>=150m,则AC的长为()

A.300/rmB.200^mC.150^mD.1006;rm

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.若,_1|+3_3)2=0,则石与=

12.如图，为Rt^ABC斜边A3上的中线，E为AC的中点.若AC=8，8=5,则OE=

13.某校为了解学生对A,B,C,力四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参

与最多的一类，得到对应的人数分别是30,20,18,12.若该校有800名学生，则估计有人

参与A类运动最多.

14.如图，NAOB=60°,点。在OB上，OC=273.。为/AOB内一点.根据图中尺规作图痕迹推

断，点P到Q4的距离为.

15.如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B仰角为30，底部C的俯角为60，无人机与旗杆的

水平距离A。为6m,则该校的旗杆高约为m.（6=1.73,结果精确到0.1）

16.如图，点A（2,2）在双曲线y=，（x>0）上，将直线Q4向上平移若干个单位长度交V轴于点8,交双

曲线于点C.若BC=2,则点。的坐标是.

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）

17.先化简，再求值：隹U2—泞；"］十七^,其中xy=（-2023）°.

（x+yx-/）x+y⑶，'

18.已知关于x的一元二次方程去2-（2左+4）x+"6=0有两个不相等的实数根.

（1）求女的取值范围；

（2）当％=1时，用配方沫解方程.

19.如图，是等边的中线，以。为圆心，03的长为半径画弧，交的延长线于E，连接

DE■求证：CD-CE.

20.首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其

身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A,B,C,D,E五组制成了如下的统计图表（不完整）.

组别身高分组人数

A155W尤<1603

B160<x<1652

C165<x<170m

D170Kx<1755

E175<x<1804

根据以上信息回答:

(1)这次被调查身高的志愿者有人，表中的机=,扇形统计图中a的度数是

(2)若E组4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长.请列表或画树状图，求刚

好抽中两名女志愿者的概率.

21.如图，在菱形ABCD中，DHLAB于H,以DH为直径。分别交A£),BD于点、E，F，连

接EF.

(1)求证：

①。。是。的切线；

②,DEF-DBA；

(2)若AB=5,DB=6,求sinZDFE.

22.荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A,8两种文创饰品对游客销售.已知1400元采购A种的件数

是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比3种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计

划采购这两种饰品共600件，采购8种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍.

（1）求A,8饰品每件的进价分别为多少元？

（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价

打6折.设购进A种饰品x件，

①求x的取值范围；

②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.

23.如图1,点尸是线段AB上与点A，点8不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A,P,3为顶点

作N1=N2=N3,其中N1与N3的一边分别是射线A3和射线B4，N2的两边不在直线A3上，我们

规定这三个角互为等联角，点。为等联点，线段A3为等联线.

图I图2图3

（1）如图2,在5x3个方格纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,A3为端点在格点的已知线

段.请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联

角，保留作图痕迹；

（2）如图3,在RtzXAPC中，NA=90，AC>AP,延长AP至点8,使AB=AC,作/A的等联角

NCPD和NPBD.将△APC沿PC折叠，使点A落在点”处，得到MPC,再延长PM交8。的延

长线于E，连接CE并延长交PO的延长线于F，连接班1.

①确定qPC户的形状，并说明理由；

②若A尸：PB=1:2,BF=6k，求等联线A3和线段PE的长（用含左的式子表示）.

24.已知：V关于X的函数丁=（4-2）储+（。+1）无+/?.

(1)若函数的图象与半杼轴有两个公共点，且。=4",则。的值是；

(2)如图，若函数的图象为抛物线，与X轴有两个公共点A(-2,0),B(4,0),并与动直线

/:x=〃z(0<〃z<4)交于点P,连接Q4，PB,PC,BC，其中Q4交y轴于点。，交BC于点E.设

△P6E的面积为S1,CDE的面积为S2.

①当点P为抛物线顶点时，求..PBC的面积；

②探究直线/在运动过程中，S?是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

2023年湖北省荆门市中考数学真题

注意事项：

1.本卷满分为120分，考试时间为120分钟.

2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上。解答题中添加的辅助线、字母和符号

等务必标在答题卡对应的图形上.

3.在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答.

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）

1.在实数T,62,3.14中，无理数是（）

A.-1B.73C.1D.3.14

【答案】B

【解析】

【分析】根据无理数的特征，即可解答.

【详解】解：在实数T,3.14中，无理数是道,

故选：B.

【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键.

2.下列各式运算正确的是（）

A.3a2。3—2。2。3=〃2b3B.a2-a3=a6

C.a6^a2=a3D.（河=/

【答案】A

【解析】

【分析】根据同底数基的乘法，同底数幕的除法，基的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.3a2by-2a2b^a2b\故该选项正确，符合题意；

B./故该选项不正确，不符合题意；

C./+42=。4,故该选项不正确，不符合题意；

D.（/丫="6,故该选项不正确，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了同底数嘉的乘法，同底数暴的除法，塞的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则

是解题的关键.

3.观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）

A.主视图既中心对称图形，又是轴对称图形

B.左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.俯视图既中心对称图形，又是轴对称图形

D.主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形

【答案】C

【解析】

【分析】先判断该几何体的三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案.

【详解】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题

,3±.

屈、;

B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；

C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；

D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中

心对称的定义.如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫

做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说

这两个图形关于这个点对称或中心对称.

4.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：Q）是反比例函数

【答案】D

【解析】

【分析】根据电流/与电阻R之间函数关系/=£可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案.

【详解】•.•反比例函数的图象是双曲线，且U>0,/>0,R>0

•••图象是第一象限双曲线的一支.

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键.

5.已知人=忘（6+百）•（逐一后），则与女最接近的整数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解.

【详解】解：％=&（b+6）•（石-6）=0（5—3）=2近

：2.52=6.25，32=9

<272<3,

2

.•・与Z最接近的整数为3,

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

6.为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）分别为

%,乙,…,西。，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）

A.这组数据的平均数B.这组数据的方差

C.这组数据的众数D.这组数据的中位数

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，选择方差即可求解.

【详解】解：依题意，给出统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差，

故选：B.

【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键.

7.如图所示的“箭头”图形中，AB//CD,N8=ZD=80，NE=NF=47，则图中NG的度数是

()

E,

A----------&

A.80B.76C.66D.56

【答案】C

【解析】

【分析】延长A3交EG于点M,延长CO交GR于点N,过点G作AB的平行线GH,根据平行线的性

质即可解答.

【详解】解：如图，延长A3交EG于点延长CO交GF■于点N,过点G作A6的平行线G”，

A

C

-ZE=ZF=47,ZEBA=NFDC=80,

:"EMA=ZEBA-NE=33°,4FNC=ZFDC—/F=33°,

AB//CD,AB//HG,

：.HG//CD,

:.ZMGH=ZEMA=33°,ZNGH=ZFND=33°,

:.ZEGF=330+33°=66°,

故选：c.

【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键.

8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之,

不足一尺，木长儿何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，

木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）

y=x+4.5[y=x+4.5

A.<B.<

0.5j=x-1[y=2x-l

y=x-4.5fy=x-4.5

C.《'D.s

、0.5y=x+l[y=2x-l

【答案】A

【解析】

【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5,再根据“将绳子对折再量

木条，木条剩余1尺”可知：g绳子=木条-1,据此列出方程组即可.

【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，

y=x+4.5

那么可列方程组为：,,

0.5y=x-l

故选：A.

【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元

一次方程组.

9.如图，直线y=—■|x+3分别与X轴，y轴交于点A,B,将,Q46绕着点A顺时针旋转90得到

CAD,则点8的对应点。的坐标是()

【答案】C

【解析】

［分析］先根据一次函数解析式求得点AB的坐标，进而根据旋转的性质可得AC=OA=2,CD=OB=3,

ZOAC=90°,ZACD=90°,进而得出CO〃O4,结合坐标系，即可求解.

3

【详解】解：•.•直线y=-5%+3分别与X轴，y轴交于点A,B,

.•.当X=O时，y=3,即6(0,3),则。8=3,

当y=0时，x=2,即4(2,0),则。4=2,

V将Q4B绕着点A顺时针旋转90得到，CAD,

又：ZAOB=90°

AC=0A=2,8=05=3,ZOAC=90°,ZACD=90°,

：.CD//OA,

延长。。交y轴于点£,则E(0,2),DE=EC+CD=2+3=5,

£)(5,2),

故选：c.

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关

键.

10.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点。是这段弧所在圆的圆心，8为AC上一点，

Q8J_AC于。.若AC=30()Gm，BD=150m,则AC的长为()

A.300〃mB.20(hrmC.150OTHD.10073^m

【答案】B

【解析】

【分析】根据垂径定理求出AO长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.

【详解】解：QB_LAC,点。是这段弧所在圆的圆心，

AD=CD,，

OD=OD,04=。。，

.,._ADg_CD。，

...ZAOD=ZCOD.

AC=300V3m-AD^CD,

AD=CD=150V3m.

设。4=0。=08=无，则。0=无一150,

在Rt^AOO中，X2=(X-150)2+(150V3)2-

r.x=300m.

.2。。=四3*

AO3002

:.AAOD=60°,

NAOC=120°,

njiR120XTFX300___

・•.AC=----=-----------=200»m.

180180

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所

求弧长所对应的圆心角度数.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.若|"1|+(。-3)2=0,则^^=

【答案】2

【解析】

【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得。力的值进而求得。+方的算术平方根即可求解.

【详解】解：••1。一1|+3-3）2=0,

a—1=0,Z?-3=0,

解得：a-l,b-3,

,,Ja+b—Jl+3——2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得。力的值是解

题的关键.

12.如图，CO为RtaABC斜边AB上的中线，£为AC的中点.若AC=8，8=5,则。E=

C

E

A-------D--------B

【答案】3

【解析】

【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出A3,然后利用勾股定理即可得出BC,最后利用三角

形中位线定理即可求解.

【详解】解：..•在Rt/XABC中，为RtaABC斜边A8上的中线，CD=5,

：.AB=2CD=10,

,BC=yjAB2-AC2=7102-82=6，

,/£为AC的中点，

DE=1BC=3

2

故答案为:3.

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边

的一半是解题的关键.

13.某校为了解学生对A,B,C,。四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参

与最多的一类，得到对应的人数分别是30,20,18,12.若该校有800名学生，则估计有人

参与A类运动最多.

【答案】300

【解析】

【分析】利用样本估计总体即可求解.

30

【详解】解：800X—=300（人）.

80

估计有300人参与A类运动最多.

故答案为：300.

【点睛】本题考查了样本估计总体，掌握用样本估计总体是本题的关键.

14.如图，ZAOB=0）°,点。在。8上，OC=2JJ，P为/AQ6内一点.根据图中尺规作图痕迹推

断，点P到。4的距离为.

【解析】

【分析】首先利用垂直平分线的性质得到OQ=；OC=G，利用角平分线，求出N80P,再在

△POQ中用勾股定理求出PQ=1,最后利用角平分线的性质求解即可.

由尺规作图痕迹可得，P。是OC的垂直平分线，

OQ=goC=g,

：.ZBOP=-ZBOA=30°,

2

设PQ=x,则P0=2x,

,/PQ2+OQ2=OP2,

：./+（扃=（2元）:

x=1,

PQ=1,

由尺规作图痕迹可得，P0是/AOB的平分线，

/.点P到OA的距离等于点P到0B的距离，即尸。的长度,

.•.点P到。4的距离为1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键.

15.如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30，底部C的俯角为60，无人机与旗杆的

水平距离AO为6m,则该校的旗杆高约为m.(6=1.73,结果精确到0.1)

469

【答案】13.8##13—##一

513

【解析】

【分析】解直角三角形，求得8。和CO的长，即可解答.

【详解】解：根据题意可得，

在Rt.ADB中，—=tan30°=-1

AD3

BD=—AD，

3

在Rt_ADC中，—=tan60°=V3，

AD

:.CD=MAD，

：.BC=BD+CD=—AD+yf3AD=拽AOal3.8m，

33

故答案为：13.8.

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解

直角三角形是解题的关键.

16.如图，点4(2,2)在双曲线y=：(x>0)上，将直线Q4向上平移若干个单位长度交V轴于点8,交双

曲线于点C.若BC=2,则点。的坐标是.

【答案】(夜,2逝)

【解析】

4

【分析】求出反比例函数解析式y=—(x>0),证明NDOA=45°,过点A作x轴的垂线段交x轴于点

x

E，过点C作y轴的垂线段交y轴于点。，通过平行线的性质得到N£)8C=45°,解直角三角形求点C

的横坐标，结合反比例函数解析式求出。的坐标，即可解答.

kk

【详解】解：把A(2,2)代入y=2(x>o),可得2=7,解得Z=4,

x2

4

二•反比例函数解析式y=—(x>0),

x

如图，过点A作无轴的垂线段交无轴于点E,过点c作y轴的垂线段交》轴于点。，

4(2,2),

AE=OE,

NAOE=45。，

ZAOD=90。一ZAOE=45°，

将直线OA向上平移若干个单位长度交>轴于点B,

:.NCBD=45。,

及△CB。中，—=sin45°=—.

CB2

：.CD=—CB=s/2，

2

即点C的横坐标为近，

4厂

把工=近代入y=—（x〉0），可得y=2夜,

X

.-.C（V2,2V2）,

故答案为：（3,2行）.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点。的横坐标

是解题的关键.

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）

17.先化简，再求值：（生2—王二+±2,其中x=y=（-2023）°.

（x+yx2-/Jx+y⑴''

x

【答案】-----，2

x-y

【解析】

【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将X和y的值代入即可求出答案.

[2x-yx2—2xy+y2x—y

【详解】解：——-------s——十―-

（x+yx-yJx+y

2x-yx+y

龙+y（x+y）（九一x-y

_2x-yx-y）x+y

、x+yx+y）x-y

----x-----x--+--y--

%+yx-y

x

x-y

门V

-=2,y=(-2023)°=l

X2

二原式=-----=2.

x-y2^1

X

故答案为:,2.

x-y

【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次累、负整数次

塞.

18.已知关于X的一元二次方程履2—（2左+4）x+左一6=0有两个不相等的实数根.

（1）求女的取值范围；

（2）当2=1时,用即方塔解方程.

2

【答案】（1）且后。0

（2）Xy=3+V14,x2=3—V14

【解析】

【分析】（1）根据题意，可得（22+4）2-4A（左一6）>0,注意一元二次方程的系数问题，即可解答,

（2）将氏=1代入"2一（2左+4）%+左一6=0,利用配方法解方程即可.

【小问1详解】

k^Q

解：依题意得:

A=(2Z+4)2-4Z(Z-6)=4(k+16>0

解得k>—且左。0；

5

【小问2详解】

解：当k=l时，原方程变为：X2-6X-5=0.

则有：X2-6X+9=5+9.

,-.(x-3)2=14,

x-3=±V14,

，方程的根为玉=3+JU,x,=3—V14.

【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程

是解题的关键.

19.如图，是等边的中线，以。为圆心，03的长为半径画弧，交3c的延长线于E，连接

DE.求证：CD=CE.

A

【答案】见解析

【解析】

【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出NE=N2,再利用等边对等角即可.

【详解】证明：Q8O为等边uWC的中线，

:.Z3=3O°

BD=DE，

.•.NE=N3=30°

■.Z2+ZE=Z1=6O°,

.-.ZE=Z2=30°

:.CD=CE

【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键.

20.首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其

身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A,B,C,D,E五组制成了如下的统计图表（不完整）.

B160Kx<1652

C165〈尤<170m

D170Kx<1755

E175<x<1804

根据以上信息回答:

（1）这次被调查身高的志愿者有人，表中的加=，扇形统计图中a的度数是

（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长.请列表或画树状图，求

刚好抽中两名女志愿者的概率.

【答案】（1）20,6,54°

（2）-

6

【解析】

【分析】（1）用C组所占的比列出方程，即可求得〃?的值，再求出总数；用周角乘以。组所占的比，即

可求出a的度数；

（2）列出树状图或表格，求出所有可能的情况总数，再找出刚好抽中两名女志愿者的数量，带入公式即

可.

【小问1详解】

m30

•3+2+/W+5+4-100

m=6

3+2+机+5+4=3+2+6+5+4=20

3

360°x—=54°

20

故填：20,6,54°;

【小问2详解】

画树状图为：

开始

男1男2女1女2

男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女I

或者列表为:

男1男2女1女2

男1（男1男2）（男1女1）（男1女2）

男2（男2男1）（男2女1）（男2女2）

女1（女1男1）（女1男2）（女1女2）

女2（女2男1）（女2男2）（女2女1）

共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种

：.P（抽中两名女志愿者）

126

【点睛】本题考查统计与概率综合，求出总数和列出树状图，或表格是解题的关键.

21.如图，在菱形ABC。中，于，，以。〃为直径的：。分别交40，BD于点E，F，连

接EF.

B

（1）求证：

①CO是.。的切线；

②―DEF-一DBA；

（2）若AB=5,DB=6,求sinNDFE.

【答案】（1）①见解析，②见解析

、24

（2）——

25

【解析】

【分析】（1）①根据菱形的性质得出A8〃C£>，根据。〃_LAB，可得CDLQD,进而即可得证；

②连接〃尸，根据等弧所对的圆周角相等得出NZ）EF=Nr>///，根据直径所对的圆周角是直角得出

ZDFH=90°,进而可得/DHF=/DBA=NDEF,结合N£Z*=N6Z%，即可得证:

（2）连接AC交8。于G.根据菱形的性质以及勾股定理求得AG=4,AC=8,进而根据等面积法求得

DH，由二。ER，二。R4得：ZDFE=ZDAH，在RtAD”中，即可求解.

【小问1详解】

证明：①四边形ABC。是菱形,

AB//CD

DHLAB，

：.ZCDH=NDHA=90，则CD1OD

又。为「。的半径的外端点，

.♦.CD是；。的切线.

②连接“尸，

,*'DF=DF

ZDEF=ADHF

DH为。直径，

:.ZDFH=9Q0,

而NO”6=90。

ZDHF=/DBA=/DEF，

又ZEDF=ZBDA

MDEFS-DBA.

【小问2详解】

解：连接AC交B£＞于G.

菱形ABCD,30=6,

AC_LBD,AG=GC,DG=GB=3,

..在Rt^AGB中，AG7ABJBG?=4,

AC=2AG=S,

s孥形小=LACBD=ABDH

变形AHC/J2

/.DH=—x6x8x—,

255

DH24j__24

在RtAZW中，sin/D4”=—~AB~~5X~5~25f

AD

由二。EF-DR4得：ZDFE=/DAH，

24

sinZDFE=sinZDAH=——.

25

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角

的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键.

22.荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A,8两种文创饰品对游客销售.已知1400元采购A种的件数

是630元采购3种件数的2倍，A种的进价比8种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计

划采购这两种饰品共600件，采购8种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍.

(1)求A,3饰品每件的进价分别为多少元？

(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价

打6折.设购进A种饰品x件，

①求x的取值范围；

②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.

【答案】(1)A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；

(2)①120WXW210且x为整数，②当采购A种饰品210件，8种饰品390件时，商铺获利最大，最大利

润为3630元.

【解析】

【分析】(1)分别设出A,8饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可：

(2)①依据题意列出不等式即可；

②根据不同范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值.

【小问1详解】

(1)设A种饰品每件的进价为。元，则B种饰品每件的进价为(a-1)元.

由题意得：—x2,解得：。=10,

经检验，。=10是所列方程的根，且符合题意.

A种饰品每件进价为10元，8种饰品每件进价为9元.

【小问2详解】

600-x>390

①根据题意得:

600-x<4x

解得：120VXW210且x为整数；

②设采购A种饰品x件时的总利润为卬元.

当120WxW150时，w=15x600-10x-9(600-x),

即+3600,

—1<0.

•■•w随X的增大而减小.

・・・当X=120时，W有最大值3480.

当150<xW210时，15x600—|^10xl50+10x60%(x-150)J-9(600-%)

整理得：3x+3000，

3>0,

W随X的增大而增大.

，当％=210时，W有最大值3630.

3630>3480,

・•・w的最大值为3630,此时600—x=390.

即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是

对分段函数的理解和正确求出最大值.

23.如图1,点P是线段AB匕与点A，点8不重合的任意一点，在A3的同侧分别以A,P,8为顶点

作N1=N2=N3,其中N1与N3的一边分别是射线A8和射线B4，N2的两边不在直线A3上，我们

规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线.

E

F

BA~PB

图2图3

（l）如图2,在5x3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,A8为端点在格点的已知线

段.请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联

角，保留作图痕迹；

（2）如图3,在RtN\APC中，ZA=90>AC>AP,延长小至点8,使AB=AC,作NA的等联角

NCPD和将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到MPC,再延长PM交8。的延

长线于E，连接CE并延长交产。的延长线于尸，连接所.

①确定二PC户的形状，并说明理由；

②若A尸：PB=1:2,BF=6k，求等联线A3和线段尸£的长（用含左的式子表示）.

【答案】（1）见解析（2）①等腰直角三角形，见解析；②至=34；PE=-k

2

【解析】

【分析】（1）根据新定义，画出等联角；

（2）①右尸仃是等腰直角三角形，过点。作QVLBE交BE的延长线于N.由折叠得AC=CW,

NCMP=NCME=ZA=90°,Z1=Z2,证明四边形ABNC为正方形，进而证明

RtACMEgRtACNE,得出ZPCF=450即可求解；

②过点/作FQLBE于Q,ERJ_PB交代5的延长线于R，则NR=NA=90°.证明

△APCqARFP,得出AP=BR=F7?,在RtNkB/*中，BR2+FR2=BF2-BF=®，进而证

明四边形为正方形，则8。=。/=左，由FQ〃CN,得出AEF^NEC,根据相似三角形的

性质得出NE='k,根据PE=+ME即可求解.

2

【小问1详解】

解：如图所示（方法不唯一）

【小问2详解】

①-PC户是等腰直角三角形.理由为:

如图，过点C作。Vd.BE交BE的延长线于N.

由折叠得AC=CM,ZCMP=ZCME=ZA=90°,N1=N2

AC=AB,ZA=NPBD=ZN=90°,

••・四边形ABNC为正方形

：.CN=AC=CM

又CE=CE,

：.RQCME丝RtACTVE(HL)

.•.N3=N4,而Nl+N2+N3+N4=90°，ZCPF=90°

ZPCF=N2+N3=ZCFP=45°

.-.△PCF是等腰直角三角形.

②过点F作于Q,交尸3的延长线于R,则NR=NA=90°.

•Z1+Z5=Z5+Z6=9O°,

/.N1=N6,

由，PCF是等腰直角三角形知：PC=PF,

.-.△APCAAS),

:.AP^FR，AC=PR,而AC=AB,

；.AP=BR=FR,

在RtAsBRF中，BK+FR?=BF?，BF=42k>

：.AP=BR=FR=k,

:.PB=2AP=2k,

:.AB=AP+PB=BN=3k,

由BR=FR，NQBR=/R=NFQB=90°,

四边形BRF。为正方形，BQ=QF=k,

由FQLBN,CN八BN得:FQ//CN,

AQEFS^NEC,

:您=",而QE=BN—NE-BQ=3k—NE—k=2k—NE,

NECN

..2k—NEk1…，小3,

即-------=—=一,解得：NE=­kf

NE3k32

3

由①知：PM=AP=k,ME=NE=—k,