山东省潍坊市2023届高三年级下册高中学科核心素养测评数学 含解析

2023年潍坊市高中高三学科核心素养测评

数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

iim/(l)-/(l+2Ax)_2

1.设“力为R上的可导函数"(X)在点(6(1))

且A3°X,则曲线处的切

线斜率为()

1

A.2B.-lC.1D.一一

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数的定义，计算得到答案.

[详解]f(1)=hm——------------lim——-------------1.

'7A9o-2Ax2A*一。Ar

故曲线y=/(x)在点处的切线斜率为1.

故选：C

2.已知全集小卜,—9<0卜集合4=则①A=()

A.[0,1]B.(-3,O]u[l,3)c.(-3,3)D.(-3,O]u(l,3)

【答案】D

【解析】

【分析】求解全集U以及集合A,根据补集的定义计算补集即可求出结果.

详解]解：0={*,2_9<0}=卜卜3Vx<3},A=<y—>l|={y|0<y<l},

所以=-3<x«0或1<%<3}.

故选：D

3.甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示(图1),茎叶图中甲的得分有部分数据

丢失，但甲得分的折线图(图2)完好，则()

八得分

30

25

甲乙20/

9915

3245897610

86005

0123456789蜴次

图1图2

A.甲的单场平均得分比乙低B.乙的60%分位数为19

C.甲、乙的极差均为11D.乙得分的中位数是16.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据茎叶图、直方图，平均数、中位数、百分数、极差的求法判断各项的正误即可.

【详解】A：由茎叶图和直方图，甲比赛得分为{9,12,13,14,15,20,26,28},平均得分为

9+12+13+14+15+20+26+28137

88

9+14+15+16+17+18+19+20128

乙比赛得分为{9,14,15,16,17,18,19,20},平均得分为-------------------------------二——，甲身

88

于乙，错误;

B：由8x60%=4.8,故乙的60%分位数为17,错误;

C：甲的极差为28—9=19,乙的极差为20—9=11,错误;

D：乙得分的中位数是巫卫•=16.5,正确.

2

故选：D

，，函数y=&(2x)_曰在0,^

4.已知函数(x)=sin"x+cos"x(〃eN，上的零点的个数为（）

4o

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

3

【分析】首先求出力（x）的解析式，即可得到＞=力（2月-屋再根据余弦函数的性质计算可得.

【详解】因为fn(x)=sin"x+cos"xfneN*),

所以力(x)=sin4x+cos4x=sin2x+cos2x)-2sin2xcos2x

,1.2c,1l-cos4x1.3

=1——snr2x=l——x------------=—cos4x+—,

22244

z.

在正棱锥中，以。为原点，平行C8为X轴，垂直C8为V轴，0。为z轴，如上图示,

则A(0,-l,0),B(—,-,0),C(-—,-,0),£>(0,0,A/3).且尸(0,0,⑨),

2222

所以AP=(0,l,也㈤，PB=q~,g,—&)，C5=(73,0,0),

PBm-^-x+—y—^32.z=0

若加=(x,y,z)为面P8C的法向量，贝卜22"，令z=l，则

CB-m==0

根=(0,26,1),

’2&入k=1

故石等

又P4_L平面P8C,则AP=kw且4为实数，&

0<2<1

故选：D

6.阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹.如

图，在平面直角坐标系X0Y中，螺线与坐标轴依次交于点A(一1，0)，4(0,-2),4(3,0),4(°，4),

A(-5,0),A(o,-6),4(7,0),4(0,8),并按这样的规律继续下去.若四边形4k,用4+24+3的面

枳为760,则n的值为()

A.18B.19C.21D.22

【答案】A

【解析】

【分析】根据四边形的特点，将四边形的面积转化为四个直角三角形的面积，即可求解.

【详解】如图，四边形A“A“+IA,+24"+3的面积由四个直角三角形构成，

得(〃+l)+g(〃+l)(〃+2)+g(〃+2)(〃+3)+：〃(〃+3)=760,

〃(〃+1+〃+3)+("+2)(〃+1+〃+3)=1520,

(2〃+4)(2〃+2)=152(),

即(〃+2)(〃+1)=380,neN*.

解得：〃=18

故选：A

2

v-2v

7.已知双曲线6：=一々=1(。>0/>0)的左，右焦点分别为耳，尸2,点鸟与抛物线

a"b~

。2：丁=2〃彳(〃>0)的焦点重合，点2为。|与。2的一个交点，若耳的内切圆圆心的横坐标为

..Q

4,。2的准线与G交于A，B两点，且|第=则G的离心率为()

9597

A.-B.-C.-D.一

4454

【答案】B

【解析】

【分析】令《(一。,0),8(c,0),由题设知c=5>0且|AB|=生求得4〃=9a，再由内切圆中切线长

性质及双曲线定义、性质确定与6K的切点C的位置，进而求离心率.

所以g(x)<g(O)=O,故尸(无)<0在(0,1)上恒成立，则f(x)在(0,1)上递减，

所以/(x)</(0)=。，即f(0.1)<0,则c<a；

由。-a=e°，-71+2x0,1，令t(x)-e'-Jl+2x且0<x<1,

所以t'(x)=e'--在(0,1)上递增，故t'M>f'(0)=0,

Jl+2x

故r(x)在(0,1)上递增，心)>&0)=0,即，(0.1)>0,则%>“；

综上，b>a>c.

故选：C

【点睛】关键点睛：应用作差法得到某种函数形式，并构造函数研究单调性判断函数值的符号即可.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得。分，

9.假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布

N(500,52)(单位：g),生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg,随机变量x服从正态密度函数

]*-1000)2

(p(x\=一二e―一亚广，其中xeR，则()

'’1()后

附：随机变量J—,贝P(M-cr<J<4+b)=0.683,尸(〃-2b<J<〃+2cr)=0.954,

P"-3<y<&<畔3b)=0.997.

A.正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%

B.生产线乙的食盐质量x~N(1000,lGO?)

C.生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重

D.生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g,于是判断出该生产线出现异常

是合理的

【答案】AD

【解析】

【分析】根据正态分布的参数，以及结合3cr原则的参考数据，即可判断选项.

【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，

其中X-N(500,52),其中〃=500,0=5,

I_n097

则P(X<485)=P(X<3b)=-^-=0.0015=0.15%,故A正确；

[(x-1000)2

B.随机变量X服从正态密度函数9(x)=—\=e200,可知，"=1000,CT=1O,

1(),2乃

所以生产线乙的食盐质量x~N(1000,l()2),故B错误；

C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错

误；

1-0997

D.P(X〉515)=P(X>〃+3b)=—半二■=0.0015=0.15%,说明生产线甲抽到质量大于515g的

可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g,说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确.

故选：AD

10.已知非零向量are,同=1,对任意teR,恒有,一招隹卜一^,则()

A.&在e上的投影的数量为1B.\a+e\>\a-2^\

C.a_L(d-d)D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据数量积的运算律求得a♦©,再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选

择.

【详解】由14一1由14一11可得同2一2得.0+户讨之同2一2d*同2,

又同=1,令“卷=根则上式等价于产一2的+2机—120,对任意的teR恒成立，

故A=4>一4(2加-1)40,解得(〃L1)2«0,解得机=1,即a・e=l；

对A：由a-e=|aH4cos〈d-g)=l,且同=1,故同cos(d・C)=l,即a在e上的投影的数量为1,故

A正确；

对B：伍+用=宗+2黑+当<2+3,a21『=M一2建+4」2=a+2,

：.\a+ef>\a-2ef,即也+,粱筌,，故B正确；

对C：a-(a-e)=|a『一=|a『一1,不确定其结果，故a_L(a-e)不一定成立，故C错误；

对D：e(a-e)-a-e-1-Q,故e_L(a-e),D正确；

故选：ABD.

11.已知函数/(X)的定义域。关于原点对称，三机€。,机>0且〃根)=1,当xe(0，M时，/(%)>0；

f(x)/(y)+i

且对任意为6。,丁€。,万一丁€。且工工3；者B有/(x-y)=,则()

/(>)一〃x)

A./(X)是奇函数B./(3m)=0

C./(x)是周期函数D.〃力在(2加,3加)上单调递减

【答案】ACD

【解析】

/(x)/(y)+i

【分析】对于A,令r=x-y,根据/(x-y)=证明/«)=-/(-)即可判断；对于B,

根据“叩，结合小一加需工

即可求得〃2加),/(3m)，即可判断；对于C,先求出

，再根据=求出/(x-2根)，即可判断;对于D,令2〃?<y<x<3根，

f(x)/(y)+i

先判断了(x)J(y)的符号，再根据/(%->)=比较/(x)J(y)即可判断.

【详解】对于A,令「=%一九

“x)/(y)+i

则/(f)=/(x-y)==-/(y-x)=-/(T),

小)-小)

所以函数/(x)是奇函数，故A正确;

/(2〃?)/(〃？)+1_/(2加)+1

对于B,由/(根)=1,得〃m)=〃2加—加)

所以/(2/n)=0,

7(3加)/(m)+1/(3㈤+L()

则/(2〃?)=/(3加一〃。

所以/(3机)=—1,故B错误;

■ZW3+1

对于C,由“x-y)=

fM-fM,

/(x)/(M+l=/(x)+l

得/(X_〃?)=

f(x)+l]1

二确备

则/(x—4〃z)=(二词=〃X),即f(x+4m)=/(x),

所以函数/(x)是以4机为周期的周期函数，故C正确;

对于D,令2〃zvy<x<3相，则x-y£(0,加)，工一2机£(0,“)，),一2根£(0,加)，

则”“一2加卜犬木右=一刀铲°，所以山)<。，

小一2力瑞号+一意〉。，所以小)<。，所以小)小)>。，

"x)“)')+i

“x-y)=>o,

因为/(x)/(y)>。，所以〃x),f(y)+l>0,

所以/(y)-/(x)>。，即/(y)>/(x)，

所以〃x)在(2九3机)上单调递减，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查了抽象函数的奇偶性，周期性及单调性，c选项的关键在于根据

f^x-2in)~〃T-〃7-根)判断与/(x)的关系，D选项的关键在于令2根<y<x<3根，

判断出的符号.

12.设xeR,当〃-gWx<〃+g(〃eZ)时，规定〈x)=",如(1.2)=1,(-4.5)=-4.则()

A.(a+Z?)W(a)+匕eR)

B.(J”。+〃)=〃(〃eN*)

C.设函数y=kinx)+〈cosx)的值域为M,则仞的子集个数为32

d(x4)+(x44)+(x4+i)++卜彳+-卜小.勺口”)

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合特例，可判定A错误；结合〃<J〃2+〃<〃+_1,可判定B正确；结合正弦、余弦函数的

2

值域，得到y=(sin»+〈cos*的值域为加={-2,—1,0,1,2},可判定C正确；设

+\x~^+~~}~\nx~^}'得到的周期为L证

得/(X)恒为0,可判定D正确.

【详解】对于A中，例如〈-0.6〉=一1,〈-0.6)=—1,则

(-0.6-0.6)=(-1.2)=-1,(-0.6)+(-0.6)=-2,

可得(-0.6-0.6)〉(-0.6)+(-0.6),所以A错误;

对于B中，由"2+”<〃2+〃+,=("+')2,所以+〃<“+],

422

所以+〃<〃+,,所以

+〃)=〃，所以B正确;

2

-l<sin%<lsinxe{-1,0,1)

对于C中，因为《,,，可得(

-1<COSX<1cosxe{-1,0,11,

当x=兀,,i，0时，可得y=(sinx)+(cosxj=—2,—1,0,1,2,

即函数y=〈sinx〉+〈cosx)的值域为M={-2,-1,0,1,2),

所以集合M的子集个数为2、=32,所以C正确;

若〃eN*，可得(a+n)=(a)+n,所以

则/(x+5-〃x)=

所以的周期为L

n

又当时，可得一_L<_L__L<_L,此时[尤―L)=o；

n22n22\2/

止匕时=0；

22+n2+nn22\2n

11H-11n-l11

—W---1----x-----1----<一，此…时口/一不^--”----I=0；

22〃2n2\2n

I11,此时（心一万卜。,

——<nx——<—

222

所以〃X）=0（04X<L，结合周期为L即“X）恒为0,所以D正确.

nn

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解:

1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化;

2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）

进行推理、论证求解.

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.

•2023

13.已知ER,(2+3i~3=(/?+i)（i为虚数单位），则a+b=

【答案】-2

【解析】

【分析】利用复数的乘方运算及乘法运算计算，再借助复数相等求解作答.

【详解】由a+BLMHiyg得：a+3i=(b+i)(—i),即a+3i=l—例，而a,beR,则

。==—3,

所以a+/?=-2.

故答案为：一2

14.已知圆M满足与直线/：%—6=0和圆"：（*-1）2+（>一2）2=9都相切，且直线MN与/垂直，请写

出一个符合条件的圆M的标准方程.

【答案】（x-5y+（y-2）2=1（答案不唯一）

【解析】

【分析】不妨设圆M与圆N外切，根据直线MN与/垂直，可得圆M纵坐标，由两圆的位置关系列出

横坐标和半径的等量关系，求解可得圆〃的一个方程.

【详解】由条件可知：直线x=6与圆N相离，不妨设圆M与圆N外切，

设半径为「，

因直线M/V与/垂直，所以人=2,

,a=5

r=6-a

则有《，，解得："=2,

a—l=r+3

i[r=1

所以圆M的标准方程为：（x-5y+（y—2）2=1.

故答案为：（％-5丫+（丁一2）2=1

-x+3y

15.若x>0,y>0,则?.孑”的最大值为____________.

x2+3y+4

【答案】y##0.5

【解析】

x+3yx+3y

【分析】由工2+3y2+4=+1）+（3/+3]再利用基本不等式即可得解.

x+3y_x+3yx+3y_x+3y_1

【详解】产+3/+4+]）+0y2+3）_2&x]+24y2x32x+6y2,

当且仅当/=1且3：/=3,即x=y=l时，取等号，

x+3yi

所以2的最大值为;.

x+3y+42

故答案为：y.

16.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖眶的开立圆术.祖晒在求球体积时，使用一个原

理：“累势既同，则积不容异”.“累”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体，

若在等高处的截面积相等，则体积相等.如图是某厂家生产的游泳池浮漂实物图及设计图，则/?的长度

【答案】①.476②.647薪

【解析】

【分析】根据设计图截面结构，结合球体轴截面的性质确定球体半径、实物高及中间柱体底面半径的关系

求/?;应用祖随原理求圆柱两端处球冠的体积，然后用球体体积减去圆柱体积、两个球冠体积即可得实物

体积.

【详解】由实物轴截面如下图示：。为球心，

结合设计图知：Q4=5,O8=l,/z=2A8,故1+4_=25,可得/z=4Ccm；

由题设知：若匕为球体体积，匕为圆柱体积，匕为圆柱一端的球冠体积，

由祖昭原理知：匕=2兀x53—Ex52x2n一1兀x（2遥）3]=型兀一34"兀，

333

所求体积为V=匕一%—2匕=g兀x53—兀xFx4指一当生+68遥兀=64"兀cm3.

故答案为：4\/6，64兀

【点睛】关健点点睛：第二空，求柱体两端球冠体积要模仿祖眶原理求球体体积的思路计算得出，然后

求实物体积.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.将正奇数数列1,3,5,1,9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表.

1

35

7911

13151719

（1）设数表中每行的最后一个数依次构成数列｛叫，求数列｛凡｝的通项公式;

2〃（1一力）

(2)设求数列｛2｝的前"项和7.

2

【答案】（1）an=n+n-2

2n+l

(2)2-

〃+1

阿斤】

【分析】（1）题意三角形数表可知4-勺T=2〃，利用累加法和等差数列前n项求和公式计算可得

2

an=n+n-\,检验即可；

（2）由（1）可得〃=工一工二，结合裂项相消求和法计算即可求解

n〃+1

【小问1详解】

由题意知，4-4=4,小一%=6,....an-an_{=2n,

所以，(3一4)+(q—<x))+L+一a,』)=4+6+8+L+2〃

2(2+〃1),

2(2+3+4+L+〃)————^=n2+n-2,

2

得a“—q=〃-+〃—2,因为4=1,所以a“=〃-+〃-1,

经检验满足题意，所以&=/+〃-1；

【小问2详解】

2"(1-")2"2,,+1

由题意得，bn=—"=---------

n\n+\)nn+I

++-------=2------.

n+\)H+1

18.设钝角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且（/+〃一才）R=ak,其中R是

_ABC外接圆的半径.

7兀

（1）若8=——，求。的大小；

12

TT

⑵若CD=2DA，=证明：.工5c为等腰三角形.

7T

【答案】（1）c=—

12

（2）证明见解析

【解析】

TT

【分析】（1）应用正余弦边角关系及三角形内角性质得8=。+—,即可求C的大小；

2

（2）由（1）及题设易知AABCADB,则有应用余弦定理可得

22,2

“3。，进而确定三角形形状.

cosC=------------=——

lab2b

【小问1详解】

因为（二+82加，由余弦定理得：2RabcosC=ab1，所以2火cosC=6,

由正弦定理得：2HcosC=2RsinjB,所以cos。=sin6,

7T7T/7TJT

又AJ?,CG(O,TI),B+Cw—,所以B=C+—,又5=——，所以。=一.

221212

【小问2详解】

由题意得=CD=-b,

33

IT

由(1)知：ZABC=ZC+-,所以ZAB£)=NC,

2

AB4/)|

所以aA6C4ADB,则---=---->即AB?=AD•AC，即f-=—匕一，

ACAB3

在MBC中c.sC=*二^匕：

在Rtz^ABC中cosC=一，

2b

2ablab

2

22

Q+-力

所

以33a,解得&=避~^，故cosC=^=立,

^732b2

又Ce（O,兀），故C=—,A=--2C=-,

626

所以一ABC为等腰三角形.

19.如图，直角梯形ABCO中，AB//DC,AB工BC,AB=BC=2CD=2,直角梯形A3。绕3C旋转

一周形成一个圆台.

又平面ABC。的一个法向量n=（0,1,0）,设4。与平面A8CD所成的角为a,

/uuirr、_|-2sin^|_|2sinO\_721

则sina=8s（A2〃）=，

两边平方并结合sin?d+cos?8=1,

解得cos。=，或cos8=---，故cos。=工时所求0的最小值为—.

21423

20.某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二

班（30人）进入决赛.决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中

有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随

机抽取两题作答，作答后放回原箱.并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王

刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累

计得分，以累计得分的高低决定班级的名次.

（1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数

量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1,方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为

1.5,方差为0.25,求这20人答对题目的均值与方差；

（2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽

取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率.

【答案】（1）样本均值为1.2,样本方差为0.76

6

（2）—

13

【解析】

【分析】（1）首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数

和方差公式，代入求值；

（2）根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.

【小问1详解】

一班抽取竺x20=12人，二班抽取的x2（）=8人，

7575

一班样本平均数为亍=1,样本方差为s；=i；二班样本的平均数为y=1.5,样本方差为“2=025；总

样本的平均数为石=12x1+8x15=]2.

12+8

记总样本的样本方差为$2,

则812X[1+”L2）[+8X[0.25+（L542）[_（）76

20

所以，这20人答对题目的样本均值为1.2,样本方差为0.76.

【小问2详解】

设事件A为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，

事件为为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件当为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，

事件鸟为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则与、与、层，彼此互斥，且与^当口员二。，

「⑻=|U|,尸出）=等。闯=袅得，

P（川4）=“尸（A区）=5,P（A|B3）=-,

oZo

P（A）=P（4）xP（A.J+P但）xP（A忸2）+P（4）XP（A®）

25811313

=-x—Hx—dx—=—

5815215824

所求概率即是A发生的条件下与发生的概率：

25

P⑻仆号上

v"7P（A）P（A）1313

24

3

2i.已知动点p与两定点a（-2,o）,4（2,0）,直线尸4与P4的斜率之积为—1,记动点P的轨迹为曲

线c.

（1）求曲线c的方程；

（2）设£）（a,0）（l<a<2）,E为直线x=2a上一动点，直线OE交曲线C于G,H两点，若|G&、

|"国、|GE|、|他依次为等比数列出｝的第n〃、p、4项，且加+〃=〃+q,求实数a的值.

r2v2

【答案】（1）一+2-=1（XH±2）

43、'

⑵a=6

【解析】

【分析】（1）设点尸坐标，依据题意列出等式，化简可求出轨迹方程；（2）依据等比数列的性质可得

|GZ）HH£|=|G耳,代入弦长公式化简结合韦达定理可求出”的值.

【小问1详解】

设动点尸的坐标为（x,y）,

由题意得，」——匚=—3

x+2x—24

r22

化简得：二+2v-=l（x声±2）,

43、'

22

故所求c的方程为2+匕=l（x/±2）.

43V'

【小问2详解】

设E（2a,7）,