初中几何添加辅助线规律 模型 经典题型

初中几何添加辅助线规律+模型大全+经典题型

几何辅助线规得

规律1

如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么

每两点画一条直线，一共可以画出∏(n-1)条。

规律2

平面上的n条直线最多可把平面分成(n(n+l)∕2+l)个部分。

规律3

如果一条直线上有n个点,那么在这个图形中共有线段的条数为n(n

-1)条。

规律4

线段(或延长线)上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离

等于线段长的一半。

规律5

有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n-1)个。

规律6

如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有

2n(n-1)个。

规律7

如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n(n-l)对对顶

角。

规律8

平面上若有n(nN3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三

点作三角形一共可作出n(n-l)(n-2)个。

规律9

互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90。。

规律10

平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n-1)个。

规律11

互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。

规律12

当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互

相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。

规律13

在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：

⑴当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,

再证明所作半径与这条直线垂直即可。

⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再

证明垂线段的长度等于半径的长即可。

02

规律14

成"8"字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两

个内角和的一半。

规律15

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可

连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个

三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把

求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再

证题。

规律16

三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第

三个内角的一半。

规律17

三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角

的一半。

规律18

三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角

的一半。

规律19

从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另

外两个角差（的绝对值）的一半。

注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从

而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的

能力。

规律20

在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系

时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求

证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利

用外角定理证题。

规律21

有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。

规律22

有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。

规律23

在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。

规律24

截长补短作辅助线的方法

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等。

这两种方法统称截长补短法。

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、Cl有下列情况之一时用此种方

法：

①a>b(5)a±b=c(3)a±b=c±d

规律25

证明两条线段相等的步骤：

①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形

全等。

②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换,

再证它们所在的三角形全等。

③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形。

规律26

在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角(等角)的余角相等来

证明两个角相等。

规律27

三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等。

规律28

条件不足时延长已知边构造三角形。

规律29

连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题。

规律30

有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分

垂等腰归”。

规律31

当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造

全等三角形。

规律32

当证题缺少线段相等的条件时,可取某条线段中点,为证题提供条件。

规律33

有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线

上的点到角两边距离相等证题。

规律34

有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

⑵有底边中点时，常作底边中线

（3）将腰延长一倍，构造直角三角形解题

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形……等边三角形

规律35

有二倍角时常用的辅助线

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

⑵平分二倍角

G）加倍小角

规律36

有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来。

规律37

有垂直时常构造垂直平分线。

规律38

有中点时常构造垂直平分线。

规律39

当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题。

规律40

条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中。

03

规律41

平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半。

规律42

平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长之差等

于邻边之差。

规律43

有平行线时常作平行线构造平行四边形。

规律44

有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段。

规律45

平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等。

规律46

平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端

点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

规律47

平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不

相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半。

规律48

任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平

方和相等。

规律49

平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形。

规律50

有垂直时可作垂线构造矩形或平行线。

规律51

直角三角形常用辅助线方法：

⑴作斜边上的高

⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：

①有斜边中点时

②有和斜边倍分关系的线段时

规律52

正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等。

规律53

有正方形一边中点时常取另一边中点。

规律54

利用正方形进行旋转变换。旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特

征时,可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的

引辅助线方法。旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，

从而为证题创造必要的条件。旋转变换经常用于等腰三角形、等边三

角形及正方形中。

规律55

有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等

三角形。

规律56

从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一

个三角形。

规律57

从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩

形和两个三角形。

规律58

从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形

和三角形。

规律59

延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形。

规律60

有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平

行四边形。

规律61

有梯形一腰中点时,也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的

延长线相交，把梯形转换成三角形。

规律62

梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线。

规律63

任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一

半。

规律64

有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论

证题。

规律65

有下列情况时常作三角形中位线。

⑴有一边中点；

⑵有线段倍分关系；

G）有两边（或两边以上）中点。

规律66

有下列情况时常构造梯形中位线

⑴有一腰中点

⑵有两腰中点

⑶涉及梯形上、下底和

规律67

连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。

规律68

连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形。

规律69

连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形。

规律70

连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方

形。

规律71

连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四

边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形。

规律72

等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位

线的长）。

规律73

等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形。

规律74

如果矩形对角线相交所成的钝角为120o,则矩形较短边是对角线长

的一半。

规律75

梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积。

规律76

若菱形有一内角为120°,则菱形的周长是较短对角线长的4倍。

04

规律77

当图形中有叉线（基本图形如下）时，常作平行线。

规律78

有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形。

规律79

当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形。

⑴有特殊角时,如有30。、45。、60。、120°、135°角时。

⑵涉及有关锐角三角函数值时。

构造直角三角形经常通过作垂线来实现。

05

规律80

当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证

题。

规律81

两圆相交时，常连结两圆的公共弦。

规律82

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它

的余角的正弦值。

规律83

任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它

的余角的正切值。

规律84

三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半。

规律85

等腰直角三角形斜边的长等于直角边的V2倍。

规律86

在含有30。角的直角三角形中，60。角所对的直角边是30。角所对的

直角边的V3倍。

规律87

直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍，则斜边是较短

直角边的V5倍。

规律88

圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心

距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直

角三角形，利用勾股定理解题。

规律89

有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角。

规律90

有弦中点时常连弦心距。

规律91

证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。

规律92

有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：

⑴连结过弧中点的半径

⑵连结等弧所对的弦

⑶连结等弧所对的圆心角

规律93

圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一

半。

规律94

圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半。

规律95

有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证

题。

规律96

有垂直弦时也常作直径所对的圆周角。

规律97

有等弧时常作辅助线有以下几种：

⑴作等弧所对的弦

⑵作等弧所对的圆心角

⑶作等弧所对的圆周角

规律98

有弦中点时，常构造三角形中位线。

规律99

圆上有四点时，常构造圆内接四边形。

町中数学几何模型大全+经典题型（含答案

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

称全等模

角分线模型

过的施某点作的

嫡岫作i错ttftΛ≡≡

I

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成

对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做

为轴进行对称全等。

时称半角模

说明：上图依次是45。、30。、22.5。、15。及有一个角是30。直角三

角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角

形、对称全等。

转全等模

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

转半角模

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过

旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模

构造方法:

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

旋转模

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的

内容。通过“8"字模型可以证明。

型变形

D

D.

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,

另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角

形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形

证全等。

中点旋转:

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直

角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成

图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一

直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形

（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的

大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中点模型

倍长中线连中点内造中位找信长一边构造中位线Hjai三线台一构造斜边中线

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

MffWfl

WAMR

小：步:

NiHU

NSIM

同侧、异侧两线段之和最短模型同侧、异网两线段之差最小模型

轴对称模型八足■

>*3MN

,三

MN------------1-----------

*f*4

三线段之和过桥模型四边形周长三角形周长

最短模型最小模型最小模型

称最值（点到直线垂线段最短）

说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值（共线有最值）

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的

和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模

三角形T四边形

X1

四边形T四边形

Ell

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

形一正方形

图13

L

说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改

变

方形+等腰直角三角形一正方形

转相似模:

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的

直角三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所

成夹角符合旋转"8"字的规律。

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到

通过等量代换来构造相似三角形的作用。

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、

60度形式出现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同

之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幕定理）

之间的比值可以转换成乘积,通过等线段、等比值、等乘积进行代换，

进行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结

论的比值来做相应的平行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

A条件：A6M8,AOCA均为等边三角形

A结论：①ΔO∕fC・hOBD:②LAEB=60",③OE平分LAED.

<2）等腰KrA

A条件：A"，从AOC/）均为等艘直角三角形

A结论：①AQ4C・AOBD,②LAEB-90°,

A③OE平分乙4£7）.

<3）任jS等腰三角形

A耐：AcM8∙A"6均为等股三角形

A结论：①A04C■AOBD；②LAEB-LAoB.

A③（龙平分乙（£〃

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

⑴TSig况

A条件：CC/38,将AoCQ旋转至右图位W

A结论：

A右图中①Aa"AO48=AQ<CAOBDS

A②延长XC交8。于点E,必有LBEC-LBOA

（2）特殊懦况

A条件：CO"18,乙408・90。，将AOCD旅转至右图

位度

A结论：右图中①AOcDSAa48=ACMCAoBD,②

延长AC交BD于点Er必有ABEC-LBOA；

tanLOCD

f@BDIAC

⑤⅛接AD.BC,必有AD：+βc■乂炉+CD'⑥Sm-Qβn

（对角线互相垂直的四边形）

A模型三:对角互补模型

(J)±WM0

条件：①LAOB-LDCE-900J②0C平分LAOB

结论：①CD=CE.②。D+OE-√2OC,③

SooCLSiaut+SwL2戊"

IilW示：

(IX乍垂直，如图，证明ACD”・ACEV,

②£1点C作CF1oc,如上图〈右)，证明AoM■江EJ

A当乙CCE的一边交X。的延长线于点D时：

ιX±ΞzNS^:(DCD=CE(不变))

©OE-OD-AocJ③SE_SMm-ɪoc

侬论证明方法与前T帽况T,可自彳造试•

<2>全等型Iw

A条件：①乙〃)8-2Z∙0CE・120°J

A②OC

A结论：①

CO-CEf@ODOE-(KfH

⑶全等继任意角ɑ

AφLAOB-2a.ΔDCE-∖S0-2a.0CD-C£；

A结论：①仇秘AACB；®()D^OE∙2(K∙CoSa,

s-1

A(3)αχχSS+StIXLOC∙sinci∙cosα

A当LDCE的一⅛交AO的延长线于点。时(如右上图〉：

B

原结论变成：①J

②»

③J

可参考上述第②抑方法进行证明。请里考初始条件并度化对模型於屏响・

A对龟互型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点、：四点共圆及直角三角形斜边中线，

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两种常见的铀牌知乍法，

④注意()C平分UO8时，LCDE-Z.CED-LCOA-ZCO樵如可推导？

~A模型四：角含半角模型90°

+________________________

（1）甬含半角模型90*-1

A条件：①正方形八BCD，②LEAF-45°J

A结论：①EF-DF+BE,②XCEF的周长为正方形,48Co周长的一半；

也可以这样：

A条件：①正方形ABCD,DF+BE

A结论：LE.AF-450

（2）龟含半角模型90°-2

＞条件：①正方形ABCD,②LEAF-45°；

A结论：EF~DF-BE

Aq∣IBh≡ΓF^i⅛:吗

<3）角含半角模型90--3

条件：①RTtLtBCf②LDAE-45°,

结论：BD-^CE-~DE2CBD

若旋举锄Z8C外部时，结论BI）^CE-0尸仍然成立.

泛叫：AC《方注不唯一》

VZzWC∙""∙4S,・・・4UH∙43E

VZ.I/V/-4Kr-45.ΛΛ1∕W^Λt（E

器嚏∙∙∙AW3∙

A条件：①正方形ABCD.②LEAF-45°；

A牯论：&〃贬为等腰直角三角形。

A模型五二倍长中线类模型

<1)

A条件：①形CDJ②Af>∙HE.G)QF∙E∕∖

A结论：AFLCF

模型提取：①有平行线MO"BE，②平行线间线段有中点DF-EFs

可以构造“8”字全等MDF>MEF.

(2>

A条件：Q>ψ行四边形ΛBCDi©BC-IAB,③AM-DM,®CE±AD.

A特论：乙EMD■3乙MEA

Hι⅛<t:W+H∙AB"CD.有中点.，“■/，；”

总长EM.蜘遣.VUΛV>Λ∕Λ.i⅛MCM构

it，・ΛΔΛΛ'.WKF

i4汉种造8字全等NjtH量显ɑɪ*乐.用的大

小”他

A模型六：相似三角形360°旋转模型

《1》才目以三角升多3βo∙成传镇更看长中线法t⅜Mf⅝:κ,itw>ι.<o.<eÆO-W.遑

4∙CXi、»Ci∙BDiXFΛMXG⅜<WJLA

A条件ɪ①=DE、A48U均

为等眼国角三角形，②

EF∙CF

0A:⅛⅛∙XΛt-tZ>"^≤J9tXr

A结论:①DF-BF9②

nrɪBF

<1>4Bftk≡mJH《等B½m>3βo∙

A条件≡ΦMDE、AdSU均为等股直角三角形,②七尸・CΛ

A结论:ΦD尸-BF§②DFɪBF

“I功人：蜘9\《∙JL所AYEQ、/‰√Λ∕<~∙

HlQe.W玷：4%DF与Hf-f匕ajC'C3与EH

<2〉任意楣焦影3βθ,族转模型Tb^法4⅜J⅛⅜⅜;⅛⅜BAXdG.俊..<JFTB.总更

A条件:OAOAj(g)Δ,OAB-Z-OZXT-90°,<7>«ʌ//低∕V∕-<7>."*vx∕Λ

0BE.CE。OC〃，速金”稹刀.”足/£?号QB*<OG

A结论：①<£-DE,②NED-2。Bo

H长CEɪAf.低ΛΛ'-ZJft-.杵小

A条件：①&C人8S4。DC,②JLOAB≡乙。DT-900-③检S-外般小♦♦也为Y"I.此

BE-CE。

⅛Φ.«.,杆A・人”>^∙a.■万，MI玲♦♦化•勺证明

A结论:φAE-DE,②Z-AEO-NjBQ

∖4∕TΛDA*CΛ.岭M—◎4比JL会Hk¥

*触。a证呐ABZ-S)

A模型七二最短路程模型

用体：以上B田为常JLSR时体臭暴稣珞乜同尊,

*后«5“化时：-幽&之M,愎R<t⅜rMa

HA：①助总"A愎上:②H⅛l¾⅜

<2)Sfe⅛程他二(点多1^⅛D

MJ⅛⅛:杵作0天于OCM谆A0.⅜⅛

∕V-∕χ>.HJkM作Λff∕ɪ().1

小线以切如O0MH.∖fi,*p.4∙∖f∕∙*ι∖r^∖aι(∙f8)

A条件：①OC平分乙1。8,②M为(印上一定点I③〃为X上TJ点,④。为08上一动点I

A求：MP力。最「对，0•°的位置？

<3)最短路程模型二《,朝直赛2)

A条件：4(04).8(-20)/(0.〃)

PB+-PA

A府：”为何值时，5最小

_.sinZ.OAC≡--

求解方法：①'轴上取C(一°n),使§j②过8作8dC,交)'轴于点E,即为所求,

tanLEBO«tanLOAC

2,即"°」).

（4〉则程馍型三（遍孩最值模型）

HC，"、

∕~、“以大旗位TT

・人\\，c/∕f>√∖

小值漏

H、一，

AOIi=

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*

初中数学经典几何题（附答案）

经典难题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，UE是圆上的两点，CD±AB,

EF±AB,EG±CO.

求证：CD=GF.（初二）

C

A

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，/PAD=zPDA=15θ.

求证：^PBC是正三角形.（初二）

3、如图，已知四边形ABCD、AIBIGDl都是正方形fA2.B2.C2.

Dz分别是AAi、BBuCCuDDI的中点.

求证：四边形A2B2C2D2是正方形.（初二）

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、

CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.

求证：NDEN=NF.ʌ

NJC

经典难题（二）

1、已知：^ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且

OM_LBC于M.

（1）求证:AH=2OM;

（2）若NBAC=60°,求证：AH=Ao.（初二）

MDZC

2、设MN是圆O外一直线，过O作OAJ_MN于A,自A引圆的

两条直线，交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于

巴Q.

求证：AP=AQ.（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE,

设CD、EB分别交MN于巴Q.

求证：AP=AQ.（初二）

D

4、如图，分别以2BC的AC和BC为一边，在SBC的外侧作正

方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.（初二）

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形,DElIAC,AE=AC,AE⅛CD

相交于F.

求证：CE=CF.（初二）

2、如图，四边形ABCD为正方形，DEHAC,且CE=CA,直线EC

交DA延长线于F.

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF_LAP,CF平分N

DCE.

求证：PA=PF.（初二）

4、如图，PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线，AE.

AF与直线PO相交于B、D.求证：AB=DC,BC=AD.（初三）

经典难题（四）

1、已知：ΔABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,

PC=5.

求：NAPB的度数.（初二）

2,设P是平行四边形ABCD内部的一点，且NPBA

求证：NPAB=NPCB.（初二）BC

3.设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB∙CD+AD∙BC=

AC-BD.（初三）

BC

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE

与CF相交于P,且

AE=CF.求证:zDPA=zDPC.（初二）

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：

≤L<2.

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC

的最小值.

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PBɪɔa,PC=3a

求正方形的边长.

4、如图,AABC中,zABC=ZACB=800,D、E分别是AB.AC

上的点,ZDCA=30°,ZEBA=20°,求NBED的度数.

经典难题（一）

1.如下图做GHJ_AB,连接EO0由于GOFE四点共圆，所以NGFH

=zOEG,

即《HFiOGE,可得以=空二空,又CO=EO,所以CD=GF

GFGHCD

得证。

2.如下图做^DGC使与AADP全等，可得4PDG为等边△,从而可

得

△DGCaaAPD2^CGR得出PC=AD=DC,和NDCG=NPCG=15°

所以NDCP=30。，从而得出APBC是正三角形

3.如下图连接BG和ABl分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长

相交于Q点，

连接EB2并延长交CzQ于H点连接FB2并延长交AzQ于G点，

由A2E=ɪAiBi=ɪBiCi=FB2,EB2=7AB=ɪBC=FCi,又N

GFQ+NQ=90。和

0

ZGEB2+ZQ=90,^IUZGEB2=ZGFQXZB2FC2=ZA2EB2,

可得z^B2FC22A2EB2,所以A2B2=B2C2,

又NGFQ+NHB2F=90。和NGFQ=NEB2A2,

从而可得NA2B2C2=90°,

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q连接QN和QM所以可得NQMF=

zFfzQNM=zDEN和NQMN=NQNM,从而得出NDEN=NF。

经典难题（二）

1.(1)延长AD到F连BF,做OG±AF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,从而可得HD=DF,

RAH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OBfOC,既得NBoC=I20。,

从而可得NBoM=60。，

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF±CD,OG±BE,连接OP,OAfOFfAF,OG,AG,

OQo

由干A£)_AC_CD_2FD_FD

~~AB~~AE~~BE~2BG~~BG'

由此可得AADF24ABG,从而可得NAFC=NAGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得NAFC=NAOP和NAGE=

zAOQ,

zAOP=zAOQ,从而可得AP=AQ。

4.过EfCfF点分别作AB所在直线的高EGfCI,FHo可得PQ=

EG+FH

2°

由4G睦4AIC,可得EG=AI,由4FH2CBI,可得FH=BIo

从而可得PQ=笥旦=等，从而得证。

经典难题（三）

1.顺时针旋转^ADE,到AABG,连接CG.

由于NABG=NADE=900+45°=135°

从而可得B,G,D在一条直线上，可得AAGB当CGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得^AGC为等边三角形。

o0

zAGB=3O,既得NEAC=30。,从而可得NAEC=75o

又NEFC=NDFA=450+30。=75。.

可证：CE=CFo

2.连接BD作CH±DEf可得四边形CGDH是正方形。

AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=30°,所以NCAE=NCEA=NAED=15。，

又NFAE=90。+45。+15。=150。,

从而可知道NF=I5。,从而得出AE=AFo

3.作FG±CDfFE±BEf可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-Xo

tanzBAP=tanzEPF=ɪ=—--,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出^ABP孚PEF,

得到PA=PF,得证。

经典难题（四）

1.顺时针旋转^ABP60θ,连接PQ,则^PBQ是正三角形。

可得APQC是直角三角形。

所以NAPB=I50°o

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AEHDC,BEHPC.

可以得出NABP=NADP=NAEP,可得:

AEBP共圆（一边所对两角相等1

可得NBAP=NBEP=NBCP,得证。

3.在BD取一点E,使NBCE=NACD,既得^BECs^ADC,可得：

Il=倏gpAD.Bc=BE∙Ac,①

BCACf

XZACB=ZDCE,可得^ABCs^DEC,既得

,BPAB-CD=DE-AC,(2)

ACDC

由①+②可得：AB∙CD+AD∙BC=AC(BE+DE)=AC-BD,得证。

4.过D作AQ_LAE,AG±CF,由SmE=号"=S，可得：

丝丝=空丝，由AE=FC。一

22

可得DQ=DG,可得NDPA=ZDPC(角平分线逆定理\

经典难题(五)

1.(1)顺时针旋转^BPC60θ,可得^PBE为等边三角形。

既得要使最小只要

PA+PB+PC=AP++PE+EFAP,PEl

EF在一条直线上，

即如下图：可得最小L=;

过点作的平行线交与点。

(2)PBCABfACD,F

由于NAPD>NATP=NADP,

推出AD>AP①

又BP+DP>BP②

和PF+FC>PC③

又DF=AF④

由①②③④可得：最大L<2;

由（1）和（2）既得：≤L<2o

2.顺时针旋转^BPC60。，可得^PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要APfPE,EF在一

条直线上，

即如下图：可得最小PA+PB+PC=AFo

3.顺时针旋转^ABP90θ,可得如下图：

既得正方形边长L="2+与+（争∙α=F后,a0

4.在AB上找一点F,使NBCF=60。f

连接EF,DG,既得WGC为等边三角形，

可得NDCF=I0°,NFCE=20°,推出AABEM^ACF,

得到BE=CF,FG=GE0

推出：4GE为等边三角形，可得NAFE=80。,

既得：NDFG=400

①

又BD=BC=BG,既得NBGD=80。,既得NDGF=40。

②

推得：DF=DG,得到：△DFE孚DGE,

从而推得：NFED=NBED=30。。

致家长：

赞赏和激励是促使孩子进步的最有效的方法之一。

每个孩子都有希望受到家长和老师的重视的心理，而赞赏其优点

和成绩，正是满足了孩子的这种心理，使他们的心中产生一种荣誉感

和骄傲感。