2023届山西省晋中市祁县一中高三第二次适应性考试数学试题试卷

2023届山西省晋中市祁县一中高三第二次适应性考试数学试题试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数y=2cos2（1+|^-1的图像向左平移相（相＞0）个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则机的

最小值为（）

71H71

A.—B.—C.—D.兀

342

2.已知/（幻是定义在［一2,2］上的奇函数，当xe（O,2］时，/（x）=2-l,贝||/（一2）+〃0）=（）

A.-3B.2C.3D.-2

3.已知函数/（幻=45却2%一口,8€0,：兀，若函数尸（x）=/（x）—3的所有零点依次记为X—…,当，且

X]<莅<工3<…<X"，则X+2尤2+2刍+…+2x“_1+x“=()

50万…100万s

A.——B.2171C.-------D.42万

33

4.AABC的内角AB,C的对边分别为a,4c,已知a+2c=2Z?cosA,则角3的大小为（）

2乃c万

A.一B.-C.2D.2

3366

5.已知向量。=（1,2）出=（2,4-2）,且4,人，则4等于（）

A.4B.3C.2D.1

6.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

则球的体积为（）

7.若()<"A<1,则b"，log/,bg屹的大小关系为（)

a

Aah>ba>log〃Q>logjZ?Bba>ab>logib>log)。

Clog/>ah>ba>logj/?log/>ba>ab>log]b

8.函数/（X）=——1——的图象大致是（）

x-lnx-1

9.用L2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数

字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（）

A.48B.60C.72D.120

r22

10.已知双曲线j一v二=1（。>〃>0）的右焦点为F,过下的直线/交双曲线的渐近线于A、B两点,且直线/的倾

a~tr

斜角是渐近线。4倾斜角的2倍，若AF=2FB，则该双曲线的离心率为（）

A3逝273「同V5

A.------RB.------C.------nD.

4352

/\x2+10x+LX＜0/\\\

11.设函数/(力=174八若关于X的方程/(力=。(。£火)有四个实数解x,(i=l，234),其中

玉＜々＜刍，贝4(玉+£)(%3一%4)的取值范围是()

A.(0,101]B.(0,99]C.(0,100]D.(0,+oo)

12.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面

积为()

rviir;l丁:：1

A.且B.2百C.8D.8百

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设函数则/(—2)+/(噫3)=.

14.已知函数/(x)=cos2x+a(sinx-cosx)+3x+2019在[0,n\上单调递增，贝！]实数a值范围为.

15.如图，直线/，平面a,垂足为。，三棱锥A-BCD的底面边长和侧棱长都为4,C在平面a内，3是直线/上

的动点，则点8到平面ACD的距离为，点。到直线AD的距离的最大值为.

16.在△ABC中，a=3,b=2指，B=2A,则cosA=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4—x

17.(12分)已知函数f(x)=ln——+(2-a)(x-l).

x

(1)当a=l时.

①求函数/(x)在(2,7(2))处的切线方程；

I?4/?-1

②定义S,=/(—)+/(—)+,+/(•——•)其中〃GN*，求Szg：

nnn

(2)当ah2时，设«x)=/(x)-ln(4x—x2),g(x)=xe1(e为自然对数的底数)，若对任意给定的/e(O,e],在

(0,e]上总存在两个不同的内。=1,2),使得"x,)=g(x0)成立，求。的取值范围.

TT

18.(12分)如图，三棱柱ABC-A131G中，侧面BCG©是菱形，AC=BC=2,ZCBBx=-,点A在平面8CGB1上的

投影为棱8凡的中点E.

(1)求证：四边形ACG小为矩形；

(2)求二面角E-8C-A1的平面角的余弦值.

19.(12分)已知函数/(x)=lnx-，nx-/W(/〃R).

(1)讨论函数/(x)的极值；

(2)记关于x的方程/(%)+加2%2=()的两根分别为〃应(〃<4),求证：inp+ln<7>2.

x—2cosa

20.(12分)在平面直角坐标系中，曲线'(a为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为

y=sina

极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=-2sina

(1)求曲线G的普通方程和曲线G的普通方程；

(2)若P,Q分别为曲线G，G上的动点，求IPQI的最大值.

111「10

21.(12分)已知矩阵4=,，二阶矩阵8满足AB=,.

0—10n1

(1)求矩阵B；

(2)求矩阵B的特征值.

22.(10分)在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为｛cca为参数)，以坐标原点。为极点，X轴的

y=3-2t

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0=4sin9.

(1)求直线/的普通方程和曲线。的直角坐标方程;

(2)若直线/与曲线C交于A、8两点，求AOUS的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

f7T\JTTT

由余弦的二倍角公式化简函数为y=cosx+丁，要想在括号内构造上变为正弦函数，至少需要向左平移上个单位

长度，即为答案.

【详解】

X71X兀兀

由题可知，y=2cos，=cos对其向左平移二个单位长度后,

y=cosX,其图像关于坐标原点对称

故，〃的最小值为7:7

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.

【解析】

由奇函数定义求出/(0)和/(一2).

【详解】

因为/(x)是定义在［-2,2］上的奇函数，二/(0)=0.又当xw(0,2］时,

/(X)==_〃2)=-Q2-1)=-3,.-./(-2)+/(0)=-3.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键.

3、C

【解析】

rrrr]]

令2x—二=二+版■仪eZ）,求出在0,—it的对称轴，由三角函数的对称性可得

623

7125兀

/+/=—x2,x+x=——x2,...,x_+x=-----x2,将式子相加并整理即可求得*+2/+2M+…+2怎_1+x〃的

3236w1w6

值.

【详解】

令2x—工=三+左万（々£Z）,得尢=，&71+乃（左GZ）,即对称轴为X=，&九+2（左€Z）.

622323

][3]3

函数周期丁="，令一左兀+四=，兀，可得攵=8.则函数在xe0,-71上有8条对称轴.

2333

JI5兀237c

根据正弦函数的性质可知X+工2=-X2X+X3=---X2,+x〃=-----x2,

39266

将以上各式相加得…+2—.+2…管+**...+等卜2=x包萼号

故选:C.

【点睛】

本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为

%+/+/+%3+W+%+…+Z-I+X„的形式.

4、A

【解析】

先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解R

【详解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sinBcosA,即sinA+2sin（A+B）=2sinBcosA,即有sinA（l+2cos5）=0,

12万

因为sinA>0,贝!Jcos8=——,而3w（0,万），所以8=2.

23

故选：A

【点睛】

此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.

5、D

【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】

因为a=(1,2),方=(2,4-2),且a_LA，

2+2(4—2)=0,

则2=1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

6、A

【解析】

设球心为一，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为二，该圆与边--切于点根据球的几何性质可得---

为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

【详解】

如图，设三棱柱为二二二一二三二，且二二二.；二二二=一；,二二|=:9^ZZ；=4-

所以底面-------为斜边是--的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆-,圆-与边--切于点

—T」1-2-1/U

则圆-的半径为

所以

即球的半径为

所以球-的体积为

xax（2^3）J=^5

1

故选A.

【点睛】

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：

(1)构造以球半径二、球心到小圆圆心的距离二和小圆半径二为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径,

这是解决与球有关的问题时常用的方法.

(2)若直角三角形的两直角边为-斜边为则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提

高解题的效率.

7、D

【解析】

因为所以1>6">废>/'>0,

因为log的>log/>1,0<a<l,所以,>1

aa

综上10gW>/>a">10gB；故选口

a

8、B

【解析】

根据函数表达式，把分母设为新函数，首先计算函数定义域，然后求导，根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像

得到答案.

【详解】

设g(x)=x-lnx—1,g⑴=0,则/'(%)=——1——的定义域为xw(0,l)U(l,”).g，(x)=l—L,当xe(l,田),

x-lnx-1x

g'(x)>0,g(x)单增，当X€(O,1),g'(x)<0,g(x)单减，则g(x)2g⑴=0.则f(x)在xe(0,l)上单增，—)

上单减，/0)>0.选氐

【点睛】

本题考查了函数图像的判断，用到了换元的思想，简化了运算，同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.

9,A

【解析】

对数字2分类讨论，结合数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论

【详解】

数字2出现在第2位时，数字1,3,5中相邻的数字出现在第34位或者4,5位,

共有&尺=12个

数字2出现在第4位时，同理也有12个

数字2出现在第3位时，数字1,3,5中相邻的数字出现在第1,2位或者4,5位，

共有个

故满足条件的不同的五位数的个数是48个

故选A

【点睛】

本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

10、B

【解析】

Q11

先求出直线，的方程为y=(x-c),与y=±-X联立，可得A,8的纵坐标，利用AF=2EB，求出。，万的

a-b'a

关系，即可求出该双曲线的离心率.

【详解】

221

双曲线二―[=1(a>%>0)的渐近线方程为¥=士一x,

a~b-a

V直线I的倾斜角是渐近线04倾斜角的2倍,

.,2ab

・山=瓦定'

...直线,的方程加斗(…)

与丫=±2工联立，可得y=-2abc2abc

或》=

a3cr-b2a2+〃

,:AF=2FB，

.2abc2abc

•・/+b23a2-b2

：・a—b.

:.c=2b,

.c273

..e----

a3

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题.

11、B

【解析】

画出函数图像，根据图像知：玉+々=-10,X3X4=1,^<x3<l,计算得到答案.

【详解】

“、fx2+10x+Lx<0

/(x)=〈hlc,画出函数图像，如图所示：

|lgx|,x>0

根据图像知：%+々=-10，lgx3=-lgX4»故*%4=1，且

()、

故(玉+々)(工3一七)=一1°七一-7€(0,99].

\&J

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.

12>B

【解析】

根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积.

【详解】

解：分析题意可知，如下图所示，

该几何体为一个正方体中的三棱锥A-BCD，

最大面的表面边长为2起的等边三角形ABC,

故其面积为电(20)2=26，

4

故选B.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9

13、一

2

【解析】

由自变量所在定义域范围，代入对应解析式，再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加，即为答案.

【详解】

因为函数=<X),A<1,贝!|/(—2)=i+iog2[2-(-2)]=l+log24=3

，<>g

因为log23>log22=l,则/(log,3)=2Mg=2^=-

9

3

故〃-2)+/(1崛3)=3+万2-

9

故答案为：一

2

【点睛】

本题考查分段函数求值，属于简单题.

14、f-^,3]

2

【解析】

由f\x)20在[0,71]上恒成立可求解.

【详解】

ff(x)=-2sin2x4-«(cosx+sinx)+3,

4*t=cosx+sinx=>/2sin(x+—),Vxe[0,^],/.[-1,721,

4

又产=l+sin2x，sin2%=1—产,从而/'(x)=-2广+R+5,令gQ)=—2厂+。1+5,

g(-1)=-2-〃+5>0

问题等价于g⑺20在fe[-1,利时恒成立,MW--<«<3.

g(扬=-4+缶+5202

故答案为：[_匕,3].

【点睛】

本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为了'(%)之0恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解.

15、—\/620+2

【解析】

三棱锥A-BCD的底面边长和侧棱长都为4,所以8在平面ACD的投影为A4CZ)的重心，利用解直角三角形，即可

求出点8到平面ACD的距离；OBLOC,可得点。是以8C为直径的球面上的点，所以0到直线AD的距离为以

8。为直径的球面上的点到AD的距离，

最大距离为分别过和AO的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.

【详解】

AACD边长为4,则中线长为4x且，

2

点3到平面ACO的距离为，16-4x2x也=上网,

\[32)3

点。是以8C为直径的球面上的点，

所以。到直线AD的距离为以8C为直径的球面上的点到AD的距离,

最大距离为分别过BC和AD的两个平行平面间距离加半径.

又三棱锥4-BCD的底面边长和侧棱长都为4,

以下求过8C和AD的两个平行平面间距离，

分别取中点£/，连BF,CF,EF,

则BE=CE,.・.EF_L5C,同理£F_LA£),

分别过E,尸做EM//AD,FN//BC,

直线BC,EM确定平面a,直线AD,FN确定平面/3,

则EFLFN,FNAD=F,:.EF工0,同理石尸_£&,

:.a//J3,EF为所求,。尸=J16-4=26,

EF=V12-4=2加，

所以。到直线AD最大距离为2起+2.

4I-

故答案为：§#；2^2+2-

【点睛】

本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.

76

1(05>----

3

【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解.

【详解】

解：・：a=3,b=2瓜,B=2A,

a_b_b

，由正弦定理可得:

sinAsinBIsinAcosA

•.•cos,A=-b--=--2-瓜--=瓜----.

2a2x33

故答案为诬.

3

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17>(1)①y=l；②8079；(2)-oo,2-

【解析】

4—xf-4x+4

(1)①々=1时，/(x)=In-----+x-lfM,利用导数的几何意义能求出函数在（2,/（2））处的切

xx2-4x

线方程.

4一丫12«070

②由小）=/〃丁+~,得小）+八一）=2,由此能求出S?廿八痢）+〃砺）+（痢）的值.

（2）根据若对任意给定的x°e（0,e］,在区间（0,e］上总存在两个不同的看（i=1,2）,使得/*,）=g（x。）成立，得到

函数«x）在区间（0,e］上不单调，从而求得。的取值范围.

【详解】

4—x

(1)①/(x)=In-----+x-l

x

:.f(x)=ln(4-x)-lnx+x-l,(0<x<4)

•••/'(x)=—4一1+1，•••/'⑵=o,•••”2)=1,

4XX

所以切线方程为y=l.

4—xx

(2)/(x)=In----+x-l,/(4-x)=ln-----+4-X-1

x4-x

A/(x)+/(4-x)=2,(0<x<4).

令x=2,则/(1)+/(4--)=2,(z=l,2,,4/7-1).

nnn

因为S,=/(-)+/(-)++/(4--)+/(4-i)①，

nnnn

1?21

所以s“=/(4——)+/(4——)++/(-)+/(-)②，

nnnn

由①+②得2S„=2(4〃-1),所以S“=4〃-1,(〃eN*).

所以邑02。=8079.

(2)g\x)=e'-x-xe'-x=(\-x)e'-x,当xe(0,1)时，g'(x)〉0,函数g(x)单调递增；

当xe(l,e］时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减•."(())=0,g⑴=1,g(e)=e2T>0

所以,函数g(x)在(0,e］上的值域为(0』.

2

因为a#2,.2=0一公(=竟),xe(0,e］

XX

22

故0<----<ea<2——,①

2-a9e

此时，当X变化时「（X）、4X）的变化情况如下:

22

X(0,--)

2-a2-Q12-4J

r（x）—0+

f(x)单调减最小值单调增

Vx-^0,Z(X)->-HX)

2\2

——\=a-2\n------

2—a)2—。

•••对任意给定的毛e（O,e］，在区间（0,e］上总存在两个不同的毛0=1,2）,

使得"x,）=ga＞）成立，当且仅当。满足下列条件

r(-^-)<0

a-21n2«。②

<2-a即《2-ci

^)>1

2

令/z(a)=Q—21n----,a€-oo,2—

2-a

〃'(a)=1-2fln2-ln(2-a)]'=1-----='一,

2-cia—2

2

当ae(H。,。)时，/(a)>0,函数〃(a)单调递增，当ae(0,2——)时，//(a)<0,函数〃(a)单调递减所以，对任意

e

27

ae(-oo,2--),有力(a)4/z(0)=0,即②对任意a€(-oo,2)恒成立.

ee

3

由③式解得：a<2一一一.④

e-1

综合①④可知，当时，对任意给定的/e(O,e],

在[0,e)上总存在两个不同的%,.(z=1,2),使"%)=g(x0)成立.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性,

会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件.不等式恒成立常转化为函数最值

问题解决.

18、(1)见解析(2)-卫

7

【解析】

(1)通过勾股定理得出CEL8g,又进而可得，平面A£C,则可得到A41，AC,问题得证；

(2)如图，以E为原点，EC,EB-£4所在直线分别为x轴，)，轴，二轴，求出平面EgC的法向量和平面A&C

的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.

【详解】

(1)因为平面68CC，所以AELBg,

1n

又因为86=584=1,BC=2,ZEBC=~,所以CE=6，

因此BE2+CE2=BC2.所以CE，BB1,

因此8片，平面A£C,所以881_LAC,

从而A41，AC,又四边形ACGA为平行四边形，

则四边形ACG4为矩形；

(2)如图，以E为原点，EC,EB[t£4所在直线分别为x轴，),轴，z轴，所以

A(O,O,1),A(0,2,1),4(0,l,0),C(V3,0,0),

平面EB}C的法向量m=(0,0,1),设平面的法向量n=(X,乂Z)，

由胃_LC8j=(x,y,z)•(—1,0)=0=>y=V3x,

由〃_L44=(x,y,z)・(0,1,1)=0=y+z=0,

令尤=]=y=6,z=->/3,即〃=(1,A/3,—>/3),

ffiunV2I

所以，cos<m,n>=-----产=------,

lxV77

所以，所求二面角的余弦值是一叵.

7

【点睛】

本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.

19、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)对函数求导，对参数〃?讨论，得函数单调区间，进而求出极值；

(2)，，4是方程/(力+〃72%2=0的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.

【详解】

加斯音c'/、1C2l-mx-lnrx1(1+如)(1-2如)

(1)依题意，f(%)=——fn-2mx=--------------=----------------；

xxx

若加=0,则八x)=!>0,则函数。(％)在(0,+8)上单调递增,

X

此时函数/(X)既无极大值，也无极小值；

若机>0,贝！ll+/nx>0,令/'(x)=0,解得x=」一

2m

故当xe(O,，一)时，f'M>Q,/(x)单调递增；

2m

当xe(，一,+oo)时，r(x)<0,/(x)单调递减，

2m

此时函数/(工)有极大值/(二;一)=In----m'~---加2(不一)~=In-------,无极小值；

2m2m2m2m2m4

若，n<0,则1一23:>0,令/"(九)=0,解得x=-->

m

故当X£(0,—‘)时，r(x)>0,/(幻单调递增；

m

当XG(-',+8)时，r(X)<0,7@)单调递减，

m

此时函数/(X)有极大值J(---|=ln(---)-加•()一加2(---)2=ln(---),无极小值；

/mJmmmm

(2)依题意，Inx—初x=0,贝!jln〃=mp,lnq=mq,

故lnq-lnp=m(q—p),Inp+lnq=w(〃+q)；

要证：lnp+lng>2,即证相(〃+q)>2,

In-Inp、八,q2(q-p)

即证：———乙(zp+g)>2,即证一二>〜，

q-ppp+q

设攵只需证：in/>也二D(f>l),

pt+l

设g(f)=hu—贝！|g’")=4^>0，

故g(f)在(i,yo)上单调递增，故gQ)>g(l)=0,

即In」」"”,故ln〃+lnq>2.

r+1

【点睛】

本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.

证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式/(%)>g(x)的基本

方法：

⑴若fiX)与g(X)的最值易求出，可直接转化为证明/(X)min>g(X)a;

⑵若"X)与g(x)的最值不易求出，可构造函数〃(幻=/(x)-g(x),然后根据函数〃(X)的单调性或最值，证明

/z(x)>0

2

20、(1)—+y=l,炉+(1)2=］；(2)拽+1

43

【解析】

试题分析：(1)由sin2a+cos2<z=l消去参数a,可得G的普通方程，由/+；/=夕2,ysin。可得C2的普通

方程；

(2)设P(2cosa,sina)为曲线G上一点，点P到曲线G的圆心(0,-1)的距离d=,结合

sinae［—1,1］可得最值，|PQ|的最大值为d+r,从而得解.

试题解析：

2

(1)G的普通方程为亍r+丁=1.

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