2023-2024学年江苏省南京高一年级下册期中数学质量检测试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南京高一下册期中数学质量检测试题

一、单选题

1.已知复数Z满足（l-i）z=3-i（i为虚数单位），则复数z的模等于（）

A.1B.2C.石D.4

【正确答案】C

由复数的除法求出复数z,再由模的定义求得模.

【详解】由题意z=言=£if+:=3+3：i2f=2+i,.♦.忖=|2+4=疗了=石.

1-z（1-/）（1+021111

故选：C.

本题考查复数的除法运算和复数的模.属于基础题.

2.已知向量”，匕满足|。|=布，曲|=鳩，｛a-b\b=\,则向量0,。夹角的大小等于（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【正确答案】A

【分析】先由1得到a丿一戸=1，再根据数量积公式得到cos®=巫，进而结合向

2

量夹角的范围进行求解.

【详解】设向量向量”，h的夹角为6,

由（。一1）・"=1,得a.〃-『=1，

即|4|•|力|COS夕一|邸=1,

因为|"=血，

所以2Gcos0-2=1,解得cos6=,

2

又因为0<6?<18O，所以。=30，

即向量a，〃的夹角的大小为30。.

故选：A.

3.已知复数z/=@cosA+isi啥｝Z2=b">isi吟），则Z/Z2的代数形式是（）

A.遥[cosf+isin?]B."（cos^+isin^J

c.6-D.G+G，

【正确答案】D

【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.

TC..乃

【详解】空2=cos—+zsin—

66

=^[cos(-^-+g)+，sin(-^+£)]

12612o

="(cos—+zsin—)

44

=肉"

故选:D.

本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.

4.在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccosB-ccosA,则AABC

的形状为()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【正确答案】D

【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得.

【详解】-〃=ccosB-ccosA,/.sinA—sinB=sinCeosB—sinCeos/A,

sin(B+Q-sin(C+A)=sinCcosB-sinCcosA,

sinSeosC-sinAcosC=0,

jr

/.COSC=0或sinA=sin8,・\C=耳或A=B,

故选：D.

本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断.解题关键是诱导公式的应用.

5.若4sina—3cosa=0,则sin22+283%=()

A48R5684g

A.D.C•一D・-------

252555

【正确答案】B

由4sina-3cosa=0,求得tana=°,再由sin2a+2cos2a=2⑶："+2,即可求岀.

4tana+1

«in3

【详解】由4sin。-3cosa=0,求得tana=-------=—,

cosa4

2sinacoscr+2cos2a_2tana+2

而sin2a+2cos2a-----------------------------

Jsm•2a4-cos2atan2a+1

c3c

2x—+2

.cc2456

所以sn12a+2cos«=y=—

w+,

故选：B.

本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的

数学运算能力，属于基础题.

6.如图，已知等腰AABC中，AB=AC=3,BC=4,点P是边BC上的动点，则APAB+AC

)

B.为定值6

C.最大值为18D.与P的位置有关

【正确答案】A

设5P=2BC(O4/141),根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、

余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可.

【详解】设8P=/l8C(0V241).

AP.(AB+AC)=(AB+BP).(AB+AC)=AB，+A8.AC+23C.(4B+AC),

因为/IBC.(AB+AC)=/1(8A+AC).(AB+AC)=/1(AC2-AB]=0,

“AB2+AC2-BC29+9-161

2ABAC2x3x39

所以AP-(A8+AC)=A/+AB-AC=32+3X3-COSA=10.

故选：A

本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的

加法的几何意义，考查了数学运算能力.

7.化简3——2cos20。所得的结果是()

2tan20°

A.-B.gC.—D.2

422

【正确答案】B

【分析】先切化弦并整理得3—-2cos200=^cos2°-2sin40,再结合

2tan2002sin20

sin40=sin（60-20）展开整理即可得答案.

__2cos20。=^^_一2cos20^os20-4sin20cos20

【详解】解:=

2tan2002sin202sin20

5^cos20-2sin40_A/3COS20-2sin(60-20)

2sin202sin20

V3cos20-2（sin60cos20-cos60sin20）

2sin20

_石cos20-6COS20+sin20_sin20_]_

-2sin20-2sin20-2,

故选：B

本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于

先根据切化弦的方法整理得*-—2cos20°=68s20-2sin40,再根据

2tan20°2sin20

sin40=sin（60-20）化简整理即可求解.

8.己知ABC中，B=C-y,sinA=1,BC=^6,则..ABC的面积为（）

A.述B.2&C.3&D.述

22

【正确答案】C

【分析】由已知判断8为锐角，然后分别求解sinB与sinC的值，再由正弦定理求解6与。的

值，代入三角形面积公式得答案.

【详解】解：由8=(74，得C-B=］可得8为锐角，

又sinA=丄，..sin(B+Q=-,贝ljsin(2B+马=丄，

3323

即cos28=《，2cav*2B3-l=1,解得cosB=如，则sinB=亜.

3333

sinC-sin(B+—)=cosB=—,

23

b_c

由正弦定理，T=

sinBsinC

.R娓乂是.「娓X也

得人竺*=_^=3&,C=竺贬=一^-=6.

sinAJ_sinA丄

33

••SARC=—^csinA=—x3^2x6x丄=3人.

树223

故选：C.

二、多选题

9.在复平面内，下列说法正确的是（）

A.若复数z=N（i为虚数单位），则z=i

1-1

B.若复数z满足z2eR，则zeR

C.若复数z=a+〃（a,beR）,则z为纯虚数的充要条件是。=0

D.若复数z满足恸=1,则复数z对应点的集合是以原点。为圆心，以1为半径的圆

【正确答案】AD

【分析】A：根据复数的除法运算法则计算即可；B：设z=o+〃5/eR）,根据z'eR求

出。、。的值即可判断；C：根据纯虚数的概念即可判断；D：^z=a+bi（a,beR）,求出z

对应的点（“，6）的轨迹方程即可判断.

【详解】对于A,2=^=，^—=?=],故A正确；

1-1（1-1川+1）2

对于B,设z=a+bi,。、b£R,则z?="一82+2〃万，

z2GR=>tzZ?=0;当。=0,厚0时，z=bi/R,故B错误；

对于C,z=a+bi（a/cR）,则z为纯虚数的充要条件是。=0且原0,故C错误；

对于D,iSz=tz+/?i（6Z,Z?GR）,则回=1=。2+从=1,

则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确.

故选：AD.

10.设a,6是两个非零向量，则下列描述正确的有（）

A.若卜+b卜同一忖，则〃，〃的方向相同

B.若a丄B,则,+可=k-q

C.若k+可=冋+忖，则a在〃方向上的投影向量为a

D.若存在实数2使得°=劝，则,+司=同屮|

【正确答案】BC

【分析】将模的关系转化数量积的关系，结合夹角的特征可判断ABD的正误，再根据投影

向量的定义可判断C的正误.

［详解］因为|。+〃|=同_|可，+b2+2a-b=tz2+Z>2-2|a|-|/?|,

故a/=一同個即cos(a,/7)=-l,故”，方共线反向,故A错误.

若d丄6，则=4ab=0,故卜+“=卜-可，故B正确.

若,+司=同+忖，则a2+b2+2a-b=a2+bz+2同個即a*=|a|-|/?|,

故cos(a,6)=l,故a,b共线同向，故6=勲(/1>0)

则a在b方向上的投影向量为冋［=同育=。，故C正确.

由A选项的分析可知：k+6卜同-忖即为。，〃共线反向，且冋2,|，

故当4>0时，a,方共线同向，故,+小同屮|不成立，

故选：BC.

11.已知一A8C,«GR,若tanA,tanB是关于x的方程工2-収+〃+3=()的两个根(含重

根)，贝I43c可能是()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

【正确答案】BCD

【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解.

【详解】因为方程了2-依+。+3=0有两根tanA,tanB,

tanA+tanB=a”，，，八tanA+tanBa

所以,所以tan(4+B)=----------------=---------号--…),

tanA-tanB=a+31-tanA・tan81-(a+3)

且△=。2—4(。+3)之0=>。26或々〈一2.

所以tan（A+B）=--—<0,

-a-2

因为A+4=TT-C,所以tan（A+8）=tan（4-C）=TanC<0,从而可得tanC>0,

所以0<C<1.

2

ITIT

当时，tan4tanB>0,所以0<A<7,0<B<—,此时一ABC锐角三角形.

当〃<-3时，tan/ltanB<0,可知4B中有一个钝角，些时ABC钝角三角形.

若tanA=tan8,贝ljA=8,此时tanA=tanB=],所以]£=4+3,解得”=6或〃=一2（舍）,

当a=6时，是等腰三角形.

因此，"C可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形.

故选：BCD

4।/?

12.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,且满足。-2a+4asin?——=0,

则下列结论正确的是（）

A.角C一■定为锐角B.a2+2b2—c2=0

C.sinB+2sinAcosC=0D.3tanA+tanC=0

【正确答案】BCD

【分析】利用余弦定理与正弦定理的边角互化，对选项逐一判断.

【详解】•."-2a+4asin2"+'=0,b-2a+4acos2—=0,

22

即人一2a+2a(cosC+l)=0,cosC=-y-<0,

又。£（0,4），・・・。一定是钝角，故A错误;

由余弦定理知，cosC="〜"J=々,

2ab2a

化简得，a2+2h2-c2=0,故B正确；

tanA_sinAcosC_sinAcosC_a(/+廿一1

•tanCcosAsinCsinCcosAclab^b1+c2-«2)3从3

3sinAcosC+cos4sinC=0,

sin(/l+C)+2sinAcosC=0=>sinB+2sinAcosC=0,C正确;

/.3tanA+tanC=0,D正确;

故选：BCD

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现

边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理

时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

三、填空题

13.已知平面向量a=(2,—1),b=(m,2),且0丄则卜+。卜

【正确答案】回

【分析】利用alb求出加，再求出“+"的坐标后可求其模长.

【详解】因为〃丄匕，故2〃L2=0,m=\,故a+b=(3,l),

故1+耳=M,

故所

兀好戸山夕=巫，则「+£=

14.已知0＜。＜5＜4＜兀，且cosa=

5/10

【正确答案】苧

4

【分析】先由已知条件求出sina,cos6,然后求出sin(a+y?)的值，从而可求出a+月.

【详解】因为0＜。＜与＜£＜兀，cosa=Y^,sin/=%,

2510

所以sina=V1-cos2a=

c°sH=一五"噜

所以sin（a+尸）=sinacos/?+cosasin°

_26J3加］立乂叵__包

一_io_J+Txlo-_~~r,

因为0＜。＜'|'＜/?＜兀，所以］＜a+/＜,

所以a+尸=3兀,

4

故答案为.苧

4

15.为了测量A、8两岛屿之间的距离，一艘测量船在。处观测，A、B分别在。处的北偏

西15。、北偏东45。方向.再往正东方向行驶16海里至C处，观测8在C处的正北方向，A在

C处的北偏西60。方向，则A、8两岛屿之间的距离为海里.

【正确答案】8瓜

【分析】根据题意画出图形，结合图形在ZiAQC中由正弦定理求得AD的值，在中求

出BD,在04)8中由余弦定理求得A8的值.

【详解】根据题意画出图形，如图所示：

由题意知ZADC=105。，ZACD=30°,8=16,所以NDAC=45°,

16X

在中,由正弦定理得：16AD,解得3玄9=8区R

2

又NBDC=45。，zJ?C£>=90°,所以8C=DC=16,8。=16&，

又ZADB=15°+45°=60°,

在，AD8中，由余弦定理得：

AB?=(160)2+(8&)2_2x16&x80cos60。=384,

解得AB=8后，

所以A、8两岛屿之间的距离为8面海里.

故8G.

四、双空题

16.在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段BC上的动点，且交AB于点

E.W7/AB且交AC于点匕则I2BE+DFI的值为；(£>E+OF)Q的最小值为

【正确答案】

【分析】设8E=x,由(2BE+OF)2=43£?2+48?£>尸+。尸2可求出；将(£>E+DF).ft4化为

关于x的关系式即可求出最值.

【详解】设BE=x,xe(°，；)，一43c为边长为1的等边三角形，DEJ.AB,

ZBDE=30,BD=2x,DE=y/3x,DC=\-2x,

DFIIAB,二一。尸C为边长为l-2x的等边三角形，DE丄DF，

22

..QBE+DF)2=4BE'+4BE•DF+DF~=4x2+4x(1-2x)xcosO+(l-2x)2=b

:.\2BE+DF|=1,

(DE+DF).DA=(DE+DF).(DE+EA)=DE?+DF♦EA

=(>/3x)2+(l-2x)x(l-x)=5x2-3x+l=+/

311

所以当X=W时，(DE+£>F).D4的最小值为77T.

五、解答题

17.已知复数4=。+3仃2=2-3(〃€口一是虚数单位).

(1)若4+云在复平面内对应的点落在第一象限，求实数。的取值范围；

(2)若虚数4是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根，求实数加的值.

【正确答案】(1)。＞-2

(2)/n=18

【分析】(1)写出三，再根据复数的加法运算求出z+云，再根据复数的几何意义结合题意

列出方程组，从而可得出答案；

(2)根据一元二次方程的虚数根互为共枕复数，结合韦达定理即可得出答案.

【详解】(1)解:z2=2+a\,

z,+z2=(a+2)+(3+a)i,

因为4+Z在复平面内对应的点落在第一象限，

fa+2>0

所以。八，解得。>一2；

|3+。>0

(2)解：因为虚数4是实系数一元二次方程x2-6x+,w=0的根，

所以虚数1=a—3i也是一元二次方程*?-6x+m=0的根，

则4+Z[=2。=6,z/4=42+9=M,

所以a=3,m=18.

18.已知角A是一A8C的内角，若a=(gsinA,cosA),Z?=(l,-1).

(1)若。b,求角A的值；

(2)设/(x)=Gb,当取最大值时，求“在人上的投影向量(用坐标表示).

【正确答案】⑴g；⑵(2五，-20).

【分析】(1)由向量平行的坐标表示列方程求A,(2)由数量积的坐标公式求/(x),再求其最

值，并根据投影的定义求a在匕上的投影向量.

【详解】解：(1)；角A是亠ABC的内角，，0<4<兀，

又a=(gsinAcosA),6=(1,-1)且ab,

(fjjA

**-->/3sinA-cosA=0,即2^-sinA+^cosA=0,

$足(厶+看)=0,

••八A•兀4兀7兀

•OvAv乃,••一<AH—<—,

666

则A+3=7t,即A=3；

66

(2)/(x)=«*/?=>/3sinA-cosA=2sin(A一2

・・・一?＜厶一3＜竽，，要使/(“取得最大值，则厶一自=g,即厶=空.

666623

,-xl--x(-l)

・・・a在人上的投影向量为胃2=2__/2&)・

rr

19.在①A二―,a百，b=0；@a=1,b=x/3,A=③a=6,b=,B

62

jr

彳这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2,并加以解答.

问题：在AABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,已知,解三角形.

【正确答案】②；B=\C=j,c=2或B=C=\c=\

【分析】根据三角形的边角关系及正弦定理求解三角形即可.

【详解】(1)选择条件①

a=V3,b=V2,A=—

3

根据正弦定理：咼可得：.„_fesinA_^Sin5_V2

smAsmBsin“-----------------f=--—

ayJ32

.•.3=；兀或3=3?兀，8=3与兀时，A+B＞兀，不符合题意.

444

所以选择条件①时，8=：,此时，C=7t-A-B=7t-^-^=y|

计算得：c=囲哼=史上12=变学

s】nA至4

3

此时三角形的解只有一个，不符合题意.

(2)选择条件②.

。=1,b=百,A=—

6

根据正弦定理：三=亠可得:sinB=U=^l=立

sinAsin8

a12

••.B=或5弓

8=工时，C=兀-A—B=兀一二一四p此时计算得：c=2

363

B普时，C*A-等糸此时计算得一…I

选择条件②，解三角形可得结果为:

c兀八.兀cic兀「兀i

B=—,C=—,c=2或3=—,C=—,c=1

3236

(3)选择条件③

a=&,b丄BJ

23

伝in巴

,，一亠，•“«sinB

根据正弦定理得：亚必=工—r^-=l

A/6

T

A=—,此时C=兀_A_B=兀_二_二=二，计算得：c=^-

23262

此时三角形只有一个解，不符合题意.

所以选择条件②，解三角形结果为：8=1，C=T，c=2或B=1,C=g

323o

20.在。ABC中，角A,8,C所对的边分别为“力,c,且4cos8=(2c-/?)cosA.

(1)求角A；

21,求|加-2〃|的取值范围.

20

【分析】(1)由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简后可求得A；

(2)由模的坐标表示求出向量的模，并利用公式，两角和的余弦公式化简后，由(1)求得

C角范围，结合余弦函数性质可得结论.

【详解】解：(1)在ABC中，6(COSB=(2C-Z?)COSA

由正弦定理：sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,

sinAcos8+sin8cosA=2sinCcosA,

sinC=2sinCcosA,因为Cw(O,不)，故sinC>0,

从而8sA=g,又厶£(0,万)，所以A=《.

(2)m=(cosB,1)=(0,sin2-y)

m-2n=(cosB,1-2sin2—)=(cosB,cosC)

2

I3卩l+cos2Bl+cos2C

2n|=cos~B+cos~C=-----------+------------=1+—(cos2B+cos2C)

=l+；[cos2(gp-C)+cos2C]=l+g[cos(gp-2C)+cos2CJ

ii巧ii巧

=1+-[--cos2C--sin2C+cos2C]=l+-[-cos2C--sin2C]

222222

1冗

—1H—cos(2CH---)

23

因为0<C<2%,-<2C+-<—,-l<cosf2C+->|<-

3333I3丿2

所以gwi+gcos(2C+q)<；

所以辰2小警多

3

21.如图，在四边形A8C3中，/ABC=-兀AB1AD,AB=4i.

4

(1)若AC=y[i,求AA3C的面积;

jr

(2)若NAOC=：,CQ=4&，求A£)的长.

6

【正确答案】(1)(2)JI+2c.

【分析】(1)由余弦定理求出8C,由此能求出aABC的面积.

x二AB1

(2)设NBAC=。，AC=x,由正弦定理得sin/ABC0由(生-6)从而"sin『-e)'在

A4CZ）中，由正弦定理得x=9,建立关于9的方程，由此利用正弦定理能求出

COS。

sinZCAD.再利用余弦定理可得结果.

【详解】（1）因为NA8C=i万，AB=0，AC=有,

所以AC?=AB2+BC2-2AB-BCcosB，即BC。+28C—3=0,

所以BC=1.

所以SABC=—x1xA/2X.

ABC222

(2)设NBAC=0(0<0<(),AC=x,则NCAO=1-g,

-

在AMC中，由正弦定理得：sinZABCsin^_0p

X

在AAC£>中，~~E

'6

1272

即.(乃力COS。，化简得：tan6=7,

sm——02

14丿

o/c

所以sinZ.CAD=cos0=---,