2023-2024学年辽宁省沈阳市高一年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省沈阳市高一上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合厶=卜卜-1|>2},集合8={屮択+1<0},若=则〃，的取值范围是（）

A.-1,0B.-|jC.[0,1]D.一；,0）（0,1]

【正确答案】B

【分析】将集合A化简，根据条件可得B±A,然后分机=0,相<0,加>0讨论，化简集

合B,列出不等式求解，即可得到结果.

【详解】因为|x—1|>2=m一1>2或工一1<一2,解得x>3或x<-l

即A={屮>3或x<-1},

因为Au8=A,所以8=A

当利=0时，B=0,满足要求.

当机>0时，则"优+1<0=>x<,由BgA,

m

可得,即0<加W1

m

当〃2Vo时，则mx+l<0=x>,由3fA,

in

可得一-->3=>/n>--,B|J--<m<0

m33

综上所述，，-1,1

故选:B.

2.使得不等式“卜+1|-％-1>0”成立的一个必要不充分条件是（）

A.x+2<0B.--—<0C.x<0D.x2-4>0

x+l

【正确答案】C

【分析】求出|x+l|-x-l>0成立的充要条件为：x<-l,再由必要不充分条件的定义逐一

判断即可.

【详解】解：由+—X—1>（）,可得|x+l]>x+l,

所以x+lvO,解得％<—1,

即k+l|-x-1>0成立的充要条件为：X<-1,

对于A,由x+2<0,得x<—2,是“|x+l|-x—1>0”成立的充分不必要条件；

对于B,由匕<0,得x<-1,是“|x+l|r-l>0”成立的充要条件；

对于C,x<0是“|x+l|-x-1>0”成立的必要不充分条件；

对于D,*-4>0,得x<—2或x>2,是“|x+l|—x—1>0”成立的既不充分也不必要条件

故选：C.

3.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1,2,3,4,5,6）,

并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中

位数为3,众数为5；②中位数为3,极差为3；③中位数为1,平均数为2；④平均数为3,

方差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有（）

A.1人B.2人C.3AD.4人

【正确答案】B

【分析】根据数据的特征，写出满足要求的数据集判断①②③；写出一个含6的数据集判断

是否存在满足的情况判断④.

【详解】①5出现两次，又中位数为3,则数据从小到大为｛〃?,〃,3,5,5｝,一定没有6；

②中位数为3,极差为3,则数据从小到大为｛1,肛3,〃,4｝、｛2,冽,3,〃,5｝、｛3,3,3,肛6｝,故可能

出现6；

③中位数为1,平均数为2,则数据从小到大为｛1,1,1,/»,〃｝,即“+〃=7,故可能出现6；

④平均数为3,方差为2,则满足要求且含6的数据从小到大为｛“厶c〃6｝,故a+"c+4=9

且（a-3）2+（6-3-+（c-3/+（d-3）2=1、a<i）<c<d,显然不能同时满足，故一定没有6.

综上，①④一定没有6.

故选：B

4.曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的

青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调.其初始四音为宫、徵、商、

羽.我国古代定音采用律管进行“三分损益法”.将一支律管所发的音定为一个基音，然后将

律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音.若

以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管

长度与宫音律管长度之比是（）

【正确答案】C

【分析】根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音的律管长度，作比即可.

【详解】设以宫音为基音的律管长度为X,则徵音的律管长度为卜，

商音的律管长度为卜卜，羽音的律管长度为

所以,羽音律管长度与宫音律管长度之比是16.

X27

故选：C.

5.已知"=log°.2056=0.5°2,c=log|0.4,贝汁。，从c的大小关系为()

2

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

【正确答案】A

【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可

【详解】因为a=log020.5=log02x/0.25<log024^2=；,

丄

而6=0.5。2=（9>［且0.5。2<1，

所以a<b.

又c=log।0.4=log,|>log,2>1,

22

所以"匕<c,

故选：A.

6.如图所示，位于信江河畔的上饶大桥形如船帆，寓意扬帆起航，建成的上饶大桥对上饶

市实施“大品牌、大产业、大发展”的战略产生深远影响.上饶大桥的桥型为自锚式独塔空间

主缆悬索桥，其主缆在重力作用下自然形成的曲线称为悬链线.一般地，悬链线的函数解析

XX

式为〃切=更”三（“>（）），则下列关于/（x）的说法正确的是（）

A.3a>0,f(x)为奇函数

B.V«>(),/(x)有最小值1

C.3a>0,.f(x)在(—8,0)上单调递增

D.Va>(),/(x)在(0,+e)上单调递增

【正确答案】D

【分析】运用奇偶函数的定义易知，f(x)为偶函数，运用基本不等式可求得最小值；单调

性可以从符合函数的角度进行验证.

-X-XXX

【详解】V«>0,"三=巴贮=/(力，A错误；

4a

x_x

A_/+-2Ve；xe。B错误；.

八刃―2a…2a~a

u

令人,//⑴\=y=废,〃=f+-IJ=e卬,w=—x

当xe(0,48),对每层函数的单调性进行判断后，根据复合函数的单调性判断原则易知:

/(x)在(0,+8)上单调递增，故D对；

函数为偶函数，则在(-e,())为单调递减，故C错;

故选：D

7.函数/(x)=2强的大致图象为()

e-e

Pi

0X

A.B.

yy

【正确答案】A

【分析】本题主要考查函数图象的运用，先根据函数的奇偶性，排除选项BD,在利用特殊

值排除选项C即可求解.

【详解】依题意可知：函数/(犬)=等4的定义域为(3,0)(。，y)，

e-e

定义域关于原点对称，又因为/(_的=二祖丄=-70),

e-e

所以函数/(幻为偶函数，故排除BD；

又当戸1时,/(x)>0,故排除C,

故选：A.

-------%«13

8.已知函数/*)=2,则函数/(幻=/[/(切-2/(6-5的零点个数是

|10g,(A--l)|,X>l-

()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】A

令f=/(x),F(x)=O有f⑺结合函数图象知有两个交点的横坐标为4=0小e(l,2),

再由/(x)=厶、/(x)=t2判断F(x)的零点个数即可.

【详解】令，=/(x),F(x)=0,则/⑺—2一1=0,

作出y=/(x)的图象和直线y=2x+|,由图象可得有两个交点，设横坐标为打山，

当/(x)i时，有X=2,即有一解;当/*)=，2时，有三个解,

.•.综上，尸(x)=0共有4个解，即有4个零点.

故选：A

关键点点睛：由，=/(x),F(x)=O得/,⑺=2-],利用函数图象确定交点横坐标名厶，再由

分段函数的性质当fM=t,、f\x)=t2时确定F(x)的零点个数.

二、多选题

9.某校高二年级有男生600人，女生400人，小华按男生、女生进行分层，通过分层抽样

的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm

和160cm,方差分别为15和30,则下列说法正确的有()

A.若小华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；

B.若小华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；

C.若小华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166,此时可用样本平

均数估计总体的平均数；

D.若小华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为厶.

【正确答案】AC

【分析】根据分层抽样、方差、平均数、古典概型等知识对选项进行分析，从而确定正确答

案.

【详解】A选项，男生抽取3^^=6。，女生抽取*60=40人，A选项正确.

C选项，样本平均数为黑X170+黑xl60=166,可以用样本平均数估计总体的平均数，C

10010()

选项正确.

B选项，样本方差为嗚［15+(170-166)1+豈［30+(160-166)1

=y+—=45,所以B选项错误.

D选项，男生中被抽到的概率为黑=厶，D选项错误.

60012

故选：AC

10.中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再

发生，科技专业人才就成了决胜的关键.为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构

对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和

“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中正确的是()

“80前”

5%

90后从事芯片，软件行业岗位分布芯片，软件行业从业年龄分布

A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过60%

B.芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%

C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多

D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多

【正确答案】BD

【分析】根据给定的雷达图和饼形图，整合数据，逐项判断计算作答.

【详解】对于A,由饼形图知，芯片、软件行业从业者中，”90后”占总人数的比例为55%,

没超过60%,A不正确；

对于B,由雷达图和饼形图知，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占总人

数的(37%+12.6%)x55%=27.28%,B正确；

对于C,芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”占总人数的37%*55%=20.35%,

而“80后”占总人数的40%,从事技术岗位的人数比例不知，无法确定两者间的大小关系，C

不正确；

对于D,芯片、软件行业中，从事市场岗位的“90后”人数占总人数的14.4%x55%=7.92%,

而“80前”总数占总人数的5%,D正确.

故选：BD

11.在，A8C中，P,。分别为边AC,8c上一点，BP,AQ交于点。，且满足AP=fPC，

BQ=AQC,BD—DP,AD=mDQ,则下列结论正确的为()

1?

A.若，=一且4=3时，则”=—,〃=9

23

B.若〃=2且加=1时，则几=；,/=(

C.若!-2=1时，则丄-2=1

_Am

D。(l+/z)(l+r)-(l+/n)(l+A)

【正确答案】AD

【分析】根据向量共线定理的推论，得到/7•巴•/)+丄•亠=1，

—V勺丄上7+=l，代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB选项,

对上式变形得到于彳+丄=1+丄，假设4-2=1成立，推导出＜=0,得到矛盾，故c

M4-Xl+t〃2t2

错误，根据向量共线定理的推论得到匕•竺丄/彳+---幺以=1,

14-714"2+11+tn〃

〃机+1t1机+11〜力九

币？丁,市+47丁'变形得到(1+初1+。=(1+.。+勾・

【详解】由题意得：AC=-AP,AQ=—AD,BQ=AQC,

tm

AQ-AB^A（AC-AQ）,即4Q=工-AC+丄AB

14-A1+X

7724-1A,/+1...1._

即nn----AD=-------------AP+------AB,

t?i14-At1+A

AC4E+ltn.1tn._

所RC：以HIAD=---------------------APn+---------------AB,

1+Atm+\1+4加+1

因为民。。三点共线，

％'+1m1

所以LT------------;+;—r------=1

1+At77z+11+A

、〃1[「--rL3Q-?--1m1m

当/=一且几=3时，------：--------1---------------

21+3丄m+l1+3m+1

2

2

解得：机=§，

BP=—BD,BC=-Bg,

卩2

AP=tPC，所以BP_BA=f（BC_BP）,

即BP=—BC+丄BA

1+f1+r

^^-BD=—-^-BQ+—BA,

卜I14-fA1+f

所以BD=—^―•〃BQ+-------BA,

1+，A//+11+f〃+l

因为AD。三点共线，

所以丄.生1.亠+丄.亠=1,

11+r2〃+11+r〃+1

1

23+1〃1〃

当,竹且人3时'---------------------------------1-----------------------=1

1+丄3〃+11+1〃+1

22

解得：4=9,

故A正确；

4t+\1t2+113

若4=2且机=1时,2,------------+-----=—

1+At14-A1+，A1+r2

解得：2==B错误;

t2+1u1〃.亠，tA+t1I1

T77T77T+币,声T=i'变形为:------r+——=1+一,①

"+21+r"

1?11

若二厂时，则T2"代入①式得：不帀=]

假设丄-2=1成立，则「L=2,解得：r=_2,

此时!=0,显然无解，故假设不成立，故c错误；

A

—,2z/4-lm1//4-1um+\t1wt+1

同理可得：-------------+--------=1,------------------+---------------=1,

1+2"tn+\\+m〃1+//m/+11+〃tn

所以」L._L="一丄=一臂一1..2亠=4_丄=..〃屮T.

+〃r+lm+11+〃(胆+1)(1+〃[1+2加+1〃+11+W(加+1)(1+〃)，

.t/d_Am

所以(l+〃)(+f)-(l+w)(]+/)

D正确.

故选：AD

利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中

进行适当变形，然后找到等量关系

12.已知函数/(x)=e'+x-4和g(x)=hw+x-4的零点分别是a和A，则下列结论正确的

有()

A.a+£=4B,ft-a<2

C.a/?<eD.a\n(3+p\na<4ln2

【正确答案】ABD

【分析】根据函数的零点、函数图象的对称性化简已知条件，结合图象、零点存在性定理、

不等式的性质等知识求得正确答案.

【详解】由/(x)=e'+x—4=0得/=—x+4；

由g(x)=lnx+x-4=0得lnx=-x+4,

)，=6，和、=111%的图象关于直线丫=*对称，

直线y=-x+4和直线y=x垂直，也即直线y=-x+4的图象关于y=x对称.

[v=—x+4(x=2/、

由=x解得|y=2,设C(2,2).

设直线丫=一》+4与\=1的图象交于点4伍,巧，e"=-a+4①，

设直线y=r+4与y=1nx的图象交于点3(⑸In/?),ln£=一夕+4②，

则a+/?=2x2=4,A选项正确.

e。+In,=4,而①-②得/7-a=ea-ln/?=(4-ln/?)-ln/7=4-21n/7,

对于函数g(x)=lnx+x-4,g(x)在(0,+oo)上递增，

g(e)=lne+e-4=e-3<0,g(3)=ln3-l>O,e<>0<3,

所以I<ln£<ln3,2<21n£<21n3,所以£-a=4-21n/?<2,B选项正确.

对于函数/(x)=e'+x-4,f(x)在(0,+e)上递增，

/(l)-e-3<0,/(2)=e2-2>0,所以l<a<2,

所以a/?>e,C选项错误.

/(1.3)=e'-3+1.3-4=el3-2.7>0,

则

所以aIn/<1.3xIn3=In，

对于平5和6,两者分别平方得(33『=33=27,6=36,所以In3,3<山6.

而尸Ina<3xIn1.3=InI.33=In2.197,

a\nf3+p\na<\n6+\n2.197=ln(6x2.197)<lnl6=41n2,D选项正确.

故选：ABD

本题解题的突破口在于数形结合的思想方法，首先要注意观察题目所给已知条件间的联系,

转化后画出相应函数的图象，结合图象分析对称性、零点等，从而达到解题的目标.

三、填空题

ln3

13.计算：+e+loglV2-log,4-log23=-----------------■

【正确答案】3

【分析】利用指数累及对数的运算性质化简求值即可.

【详解】原式t+3-12=3.

故3

14.已知函数〃"=一2*"'+〃（，〃>-2,〃>0）所过的定点在一次函数y=2x+1的图像上，则

^-2+-的4最小值为_________.

77?+2n

【正确答案】y

【分析】由指数函数性质与基本不等式求解，

【详解】令x+m=0得x=-m,

由题意得了（x）过的定点为（一加，〃-2）,则〃一2=-2〃?+1,2（利+2）+〃=7

（二一+3）[2（利+2）+〃]=8+3-+则理28+2标=16,

m+2nfn+2n

当且仅当义=邈8即巾=-]〃=1时等号成立，

m+2n42

故——r+—的最小值为年，

/W+2n7

丄，16

故了

15.已知函数/（"=6一2,g（H=iog2与匕，若对任意的王4—25，总存在

使得./•&）<g5）成立，则实数。的取值范围为.

【正确答案】（-2,4）

【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为<g（x）a，利用复合函数单调性

的判断方法可知g（x）在[1,3]上单调递减，由此得至Ug（“a=g6=2；分别|讨论a=0、a<0

和a>0的情况，根据一次函数单调性确定f（x）1rax,由，（力“皿<2可解不等式求得。的范围.

【详解】对任意的不2,1],总存在々目1,3],使得〃芭）<8&）成立，

“(x)a<g(x)a；

(、,2'+2,2'-1+3।L3、

纟⑺+叫目=1。氏亍丁=1呜11+仃丿，

,r=l+—4在［1,3］上单调递减,y=log,t单调递增，

・•.g(x)在卩,3］上单调递减，.“(旦皿=^(l)=log24=2；

当a=0时，/(x)=-2,贝卜2Vg(x)皿，满足题意；

当。<0时，f(x)在上单调递减，.•J(x)a=/(—2)=—2a—2,

:.-2a-2<2,解得：-2<a<0；

当”>0时，f(x)在［―2,1］上单调递增，，/(司2=/(1)="一2,

：.a-2<2,解得：0<a<4；

综上所述：实数”的取值范围为(-2,4).

故答案为.(-2,4)

16.定义函数/(x)=min{/；(x),f2(x)}，表示函数/(x)与&。)较小的函数.设函数<(x)=沙，

力(x)=3・2"l,p为正实数，若关于x的方程〃x)=3恰有三个不同的解，则这三个解的和

是.

【正确答案】P

根据新定义，将函数分类讨论确定解析式形式.对P分类讨论，确定P的取值范围.进而得符合

题意的解析式.根据解析式判断函数/(X)的单调性，结合函数示意图，即可求得方程的三个根,

进而求得三个零点的和.

【详解】因为工(乃=2.启X)=3,5

x<03X2〃Tx<p

则加2,&(%)=«(p>°)

x>03x21Px>p

所以工(x)>0,启x)>0,2。>1

当xWO时，然=春7=3<1,所以此时/*)〃*)

J21"J,，3,厶

贝疗")"。)=2一,

若1<2Y3,当。<x"时,瑞=言7=1x22，-〃VgX2。41,所以止匕时工(x)4人(x),则

，⑺=<3"；当"'时‘瑞=券='4所以此时応)”⑼则

x

fM=fl(x)=2

综上可知，/(幻=工(幻=泄

此时/(x)=2忖=3在R上只有两个根，与题意〃力=3恰有三个不同的解矛盾，所以不成立

因而1<2Y3不成立，所以3<2〃

瑞=击="？由总f可解得ge*

若3<2。,当时,

0<尤4注1叱

、T2

所以止匕时〃X)=33-

P^21<X<p

2

当时，豐=^^==>1,此时fW>6(x),所以/(x)=&(x)=3.2T，

厶(X)J,23

因为3<2",即log23Vp

2Ko

2',0<x«出亜

综上可知，此时"x)=,(2

3.2-^^<x<p

2

3-27x>p

所以〃x)在(9,0］上单调递减，此时〃x)£［l,”)

〃月在［

小)在(

“X)在(p,w)上单调递增，此时“X)«3,y)

函数图像示意图如下图所示:

当/(x)=3时，即2T=3,2'=3,X=P

解得x=-log23,x=log23,x=p

所以三个零点的和为Tog23+k>g23+p=p

故答案为:P

本题考查了函数在新定义中的应用，分类讨论确定函数解析式，函数零点的意义及求法，综合

性强，属于难题.

四、解答题

17.平面内给定三个向量4=(3,2),k(-l,2),c=(4,l).

⑴若(a+kc)〃(2b_a),求实数0

⑵若d满足(4-c)〃(a+力)，且|d-c卜石，求"的坐标.

【正确答案】=

(2)(3,-1)或(5,3)

【分析】(1)易得a+Zc=(3+4Z,2+Z),28-a=(-5,2),再根据(a+h)〃。匕-a),利用共线

向量定理求解；

(2)设d=(x,y),得至ljd-3=(x-4,y-l),a+方=(2,4),再根据(d-c)〃(“+〃)，•一c]=右

求解.

【详解】(1)解:因为。=(3,2),/?=(-1,2),c=(4,l),

所以a+Zc=(3+4k2+左),2/?-々=(一5,2),

因为(Q+%C)〃(2/7-Q),

所以2x(3+4Z)-(-5)x(2+%)=。，

解得女=一存

(2)设d=(x,y),

则d_c=(x_4,y_l),a+6=(2,4),

因为(4一°)〃(0+。)，|j-c|=A/5,

E、j4(I)-2(yT=0

,|(x-4)2+(y-l)2=5'

解得[I或『:，

[y=-i[y=3

所以d=(3,T)或d=(5,3).

18.已知/(x)=2/+法+c,不等式f(x)<-12的解集是(2,3).

(1)求f(x)的解析式;

倉+力〈。的正整数解仅有2个，求实数女取值范围;

(2)不等式组

⑶若对于任意xe[-l,1],不等式八/。),,2恒成立，求，的取值范围.

【正确答案】(Df(x)=2x2-10x

(2)[-3,-2)

⑶”!小

【分析】(1)结合根与系数关系求得。；

/(%)>0

(2)根据不等式组的正整数解仅有2个，可得到7<5-太,8,即可求解;

f(x+k)<0

(3)对/进行分类讨论，结合函数的单调性求得，的取值范围.

【详解】(1)因为〃幻=2/+法+*不等式/(幻<一12的解集是(2,3),

所以2,3是一元二次方程2V+法+c+12=0的两个实数根,

2+3=~2伍=-10,

可得二，解得八，所以/(》)=2X2-10》；

c々c+12\c=0

2x3=-------i

/U)>012X2-10X>0

(2)不等式

f(x+k)<0'[2(》+Q2-10*+6<0'

解得,u,,因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6、7,

［-k<x<5-k

可得到7<5-&,8,解得-3,,A<-2,则实数々取值范围是J3,-2)；

(3)因为对于任意xeJl,”,不等式厶/(x),,2恒成立，所以a2_5択-140,

当t=0时,-1<0恒成立;

当/>0时，函数尸比2-5a-1在1］上单调递减，所以只需满足

/(-l)=r(-l)2-5r(-l)-l<0,解得0〈厶，丄；

6

当t<0时，函数y=f--5优-1在1］上单调递增，所以只需满足/(1)

=/12-5/1-1<0.解得一丄,,f<0,

4

综上，r的取值范围是

46

19.某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩

作为样本，得到以[80,90),[90,100),[100Q10),[110,120)/120,130),[130,140),[140,150]分组的

样本频率分布直方图如图.

频率

0.028

(1)求直方图中x的值;

(2)请估计本次联考该校语文成绩的众数、中位数；

⑶样本内语文分数在［130,140),［140,150］的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，

再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在［130,140)中的概率.

【正确答案】(1)0.01

(2)105；105.7

(3)1

【分析】(1)利用频率之和为1可求X;

(2)众数取出现分数频率最多的分数段，取横坐标中间值即可，当频率值和累计•到0.5时的

横坐标值可求中位数；

(3)结合古典概型概率公式即可求解.

【详解】(1)由频率分布直方图可知(0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+0.002)xl0=l,

解得x=0.01

(2)由图可知，语文成绩的众数为若以2=105；

语文成绩在［80,90)的频率为4=0.12,在［90,1(劝的频率为握=0.22,在100,110)的频率为

0.28,+巴=0.34/+鼻+号=0.62,故语文成绩的中位数落在［100110),设为，〃，则满足

().5-0.34=(/«-l(X))x0.028,解得机=105.7,故语文成绩的中位数为105.7；

(3)由图可知，按分层抽样法，5名学生中分数在［130,140)的学生应抽4名，设为

在［140,150］的学生应抽1名，设为e,则所有抽取情况有45,AC,4),Ae,BCBRBe.CZ),Ce,ZV

共10种，符合题意的有Ae,&,Ce,a共4种，则这5名学生中随机选出2人，恰有一人成绩

4?

在r［130,140)中的概率为P=-

20.设函数/(司=(01)优+/3>0且"1)是定义域为R的偶函数，

(1)求〃的值并用定义法证明/(力在(0,+8)上的单调性；

(2)若/(加+2)—/(/〃—4)>0,求实数机的取值范围；

⑶若8(制=協+#2，_(2/+1)〃力在卩,内)上的最小值为-3,求〃?的值.

【正确答案】（1）4=2或者。=；,证明见解析;

⑵（1,冋；

【分析】（1）根据偶函数的定义，结合函数单调性的定义、指数函数的单调性进行求解即可;

（2）根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可；

（3）利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）・由函数〃6=仏-1）优+优，是定义域为R的偶函数,

满足“X）冋（-X）,

即（"1）优+°T=优+仏,

—\=\,即Z=2,

，/（工）="+优”，

又/⑴=|,即a+G=|,

化简为：2/_5a+2=0,

解得：。=2或者。=；,

.-./（x）=2f+2-\

设与，毛«（）,+<»）且不<马，则

/（內）-/㈤

=2V|+2一*_（2厶+2一丐）

=2X|-2X：+-——-

2匹2期

…个明2与一28

=27+^^

=付-2，）（1一右），

由王<*2，得2%—2*2<0

0<Xj<x2,

即1-士>0，

2演+“22、+"2

・••“W）-5）=（2匸2，[1-羨）<0,

\/（X）在X«0,y）单调递增；

（2）/（%）是R上的偶函数,

\/（1）在X£（0,4<o）单调递增，在X£（f,0）单调递减.

/（m+2）—/（m—4）>0,

即/（机+2）>/（机一4）,

.\|/n+2|>|m—4|,

两边平方得：zn2+4+4m>ni2+16—8/w

解得：m>1,

实数机的取值范围为：（l,+oo）;

（3）由（1）知，g（x）=a2x+a2x-（2m+1）/（x）=22x+T2x-（2m+1）（2'+Tx）

将g（x）变形得：g（x）=22x+2-2X-（2/n+1）（2X+Tx）=（2X+2-r）2-（2zn+1）（2l+Tx）-2

令r=2'+2~*,因为xeR+e）,由对勾函数的性质得

则原函数化为：y=『-（2机+1）"2,d|,

由题知，丫=--（2加+屮-2在1€g,+«>）上的最小值为-3,

函数y=*_（2m+l）f-2的对称轴为：f=-Zi^±l）=*,

①当+即〃?>2时，y词”=（m+g）-（2，〃+1）[?+g]-2=-3,

解得：机=-3=或〃?=I=,均不符合题意，舍去，

22

②当，”+<=[,即，〃=2时，y„„„-f-T-5x--2=--^-3,不符合题意，

③当〃Z+^CQ,即机<2时，>min—（2根+1）Xg—2=—3,

解得：机=若19符合题意，

所以小的值为为19.

关键点睛：利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论是解题的关键.

21.邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，拥有3500余年建城史，是华北历史上第一座城

市，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，现有4区2市12县，总面积1.24万平方公里.至2021

年末，全市常住总人口708.79万人，在全省11个地市中排名第6名，2021年全市GDP总

量2427.1亿元，位列全省第7名.

(1)假设2021年后邢台市GDP的年平均增长率能保持8%,那么按此增长速度，约经过几年

后，邢台市GDP能实现比2021年翻一番？

(2)他在党的二十大报告中指出，到2035年我国要基本实现社会主义现代化，人均国内生产

总值达到中等发达国家水平.对标国家目标，邢台市未来发展任重道远，需立大格局、树进

取心、施非常策、兴落实风，奋力开创高质量超越发展，力争实现2035年GDP比2021年

翻两番.要实现这一宏伟目标，从2021年后GDP的年平均增长率至少要保持在多少以上？

(参考数据：lg2~0.3,1g3«0.48,夜=1.104)

【正确答案】(1)8

(2)10.4%

【分析】(1)由题意解方程2427.1x(1+8%)*=2427.1x2,可得到x=log,0g2,根据换底公

式和对数运算性质，即可求的结果；(2)设增长率为“(〃>()),由已知可得，(1+。)'424,

显然解不等式即可得到结果.

【详解】(1)由题意知，x年以后，邢台市GDP为2427.1x(1+8%),,

解2427.1x(1+8%)x=2427.1x2可得，

_Ig2=怆2=lg2

g|0832

x二°-=1JL08-lg108-lgl00-lg(3x2)-2

=口=0?=75

-31g3+21g2-2~3x0.48+2x0.3-2--

所以，大约经过8年后，邢台市GDP能实现比2021年翻一番.

(2)设从2021年后GDP的年平均增长率至少要保持在。多少以上.(a>0)

则由题意知，2427.1x(1+。)22427.1x2，，BP(l+tz)(4>4.

因为，a>0,所以a+l