2024届河北省承德市腰站中学九年级数学第一学期期末考试试题含解析

2024届河北省承德市腰站中学九年级数学第一学期期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.已知二次函数y=f-4x-3,下列说法正确的是()

A.该函数的图象的开口向下B.该函数图象的顶点坐标是(-2,-7)

C.当x<0时，随X的增大而增大D.该函数的图象与X轴有两个不同的交点

4

2.如图，A、B两点在双曲线y=一上,分别经过点A、B两点向X、y轴作垂线段，已知与影=2,则5]+邑=()

X

C.4D.3

3.如图，在aABC中，DE〃BC交AB于D,交AC于E,错误的结论是().

AD_AEAB_ACAC_ECADDE

A，~DB~~ECB∙茄-TiC茄-丽~DB~~BC

X

4.要使分式一有意义，则X应满足的条件是()

X-I

A.x<2B.x≠2C.x≠0D.x>2

5.如图，已知四边形ABCD内接于。O,AB是。O的直径,EC与。O相切于点C,NECB=35。,则ND的度

数是()

E

B

D1

O

A.145oB.125oC.90oD.80o

x2

6.由二=彳不能推出的比例式是（)

J3

x+y5

x=y_B.

2^^3^

x-y1x+22,.、

C.D.----=一(y工一3)

ɪ-ɜy+33-

7.有一个正方体,6个面上分别标有1〜6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是奇数的概率

为()

11

A.ɪB.-C.一ɪ

2436

8.如图，A3是。的直径，点C、。在OO上.若NBOQ=I30。，则NA8的度数为（）

B.30°C.25°D.20°

9.下列几何体中，同一个几何体的主视图与左视图不同的是()

圆柱

正方体

10.抛物线）=7一21-1的对称轴为直线（)

x=2B.%=—2C.x=lX=-I

二、填空题（每小题3分,共24分）

一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共.Λ∙

12.方程（X-1）（X-3）=0的解为

13.已知抛物线了=一/+法+4经过（—2,〃）和（4,〃）两点，则〃的值为

ahc

14.若一=—=—,且α+b+c=36,贝!∣α-Z>-c的值是_____.

234

15.如图，ABC中，A,B两个顶点在X轴的上方，点C的坐标是（-1,0）.以点C为位似中心，在X轴的下方作ABC

的位似图形，并把AA6C的边长放大到原来的2倍，记所得的像是V4QC'∙设点A的横坐标是则点A对应的点

A'的横坐标是.

16.如图，在正方体的展开图形中，要将-1,-2,-3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两

个面中数字互为相反数的概率是.

17.如图在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度、圆心角为6（）的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O

出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒1个单位长度,

则5秒时，点尸的坐标是；2019秒时，点尸的坐标是.

18.如图，D是AABC的边AC上的一点，连接BD,已知NABD=NC,AB=6,AD=4,求线段CD的长.

三、解答题（共66分）

19.（10分）解方程：

(I)X2+4Λ-1=0

(2)(X-2)2-3Λ(Λ-2)=0

20.（6分）如图，AB为）。的直径，点尸为A3延长线上的一点，过点P作。的切线PE,切点为M，过AB两

点分别作依的垂线AC,80,垂足分别为C,。，连接AM.

求证：（1）AM平分Ne4B；

（2）若AB=4,ZAPE=30°,求的长.

21.（6分）如图，一次函数y=Aιx+5的图象与反比例函数）=与的图象相交于A,B两点,点A的坐标为（-1,3）,

X

点B的坐标为（3,

（1）求这两个函数的表达式；

（2）点尸在线段AB上，且SM/WSABOP=L3,求点尸的坐标.

22.（8分）如图，AB是。。的直径，点C是圆上一点，点。是半圆的中点，连接CO交03于点E,点尸是A5延长

线上一点，CF=EF.

（1）求证：FC是。。的切线；

（2）若CF=5,tanA=L,求。。半径的长.

2

23.（8分）如图，抛物线y=αχ2+5αχ+c（α<0）与X轴负半轴交于A、5两点（点A在点8的左侧），与），轴交于C

点，。是抛物线的顶点，过。作O//_Lx轴于点”，延长。〃交AC于点E,且SSΔΛCΛ=9:16,

（1）求A、5两点的坐标；

（2）若与a8E”相似，试求抛物线的解析式.

24.（8分）如图，正方形ABCD的对角线AC、8。相交于点。，过点8作AC的平行线，过点C作力B的平行线,

它们相交于点E.求证：四边形OBEC是正方形.

25.（10分）定义：如果函数C：y=ax2+bx+c（α≠0）的图象经过点（机，”）、（-机，-〃），那么我们称函数C

为对称点函数，这对点叫做对称点函数的友好点.

例如：函数y=f+2%一1经过点（1,2）、（-1,-2）,则函数）=%2+21-1是对称点函数，点（1,2）、（-1,-2）叫

做对称点函数的友好点.

（1）填空：对称点函数y=v+∕zx+c一个友好点是（3,3）,则b=_,C=；

（2）对称点函数>=/+2云+。一个友好点是⑵，〃），当助≤x≤2时，此函数的最大值为y,最小值为了2,且

M-8=4,求力的值；

（3）对称点函数.y=α√+χ-4α（α≠（））的友好点是M、N（点M在点N的上方），函数图象与y轴交于点A.把

线段AM绕原点。顺时针旋转90。，得到它的对应线段∕ΓΛΓ.若线段/TM与该函数的图象有且只有一个公共点时，结

合函数图象，直接写出α的取值范围.

26.（10分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每

一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个

区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜.如果指针落在分割线上，

则需要重新转动转盘.

1

转琼A

(1)试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率;

(2)请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、D

【分析】根据二次函数的性质解题.

【详解】解：A、由于y=χZ4x-3中的a=l>0,所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意.

B、由y=χ2-4x-3=(x-2)知，该函数图象的顶点坐标是(2,-7),故本选项不符合题意.

C、由y=χ2-4x-3=(x-2)2.7知，该抛物线的对称轴是x=2且抛物线开口方向向上，所以当x>2时，y随X的增大而增

大，故本选项不符合题意.

D、由y=χ2-4x-3知，△=(-4)2-4×l×(-3)=28>0,则该抛物线与X轴有两个不同的交点，故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

考查了抛物线与X轴的交点，二次函数的性质，需要利用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与X轴交点的求

法，配方法的应用等解答，难度不大.

2、C

【解析】欲求S∣+S∣,只要求出过A、B两点向X轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为

4

双曲线y=一的系数k,由此即可求出S1+S1.

X

4

【详解】解：・・,点A、B是双曲线>=—上的点，分别经过A、B两点向X轴、y轴作垂线段，

X

则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于∣k∣=2,

ΛSι+Sι=2+2-l×l=2.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度.

3^D

【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.

【详解】由DE〃BC,∏Γ<ΔADE^∆ABC,并可得:

AD_AEAB_ACAC_EC

故A,B,C正确；D错误;

~DB~~EC'~∖D~~∖E'~AB~~DB

故选D.

【点睛】

考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质.

4、B

【解析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为L

【详解】解：∙.∙χ-2≠l,

.∙.x≠2,

故选B.

【点睛】

本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为1时，分式有意义.

5、B

【解析】试题解析：连接OC

TEC与。相切,NECB=35,

；.NOCB=55，

OB=OC,

ZOBC=ZOCB=55，

ZD=180-ZOBC=180-55=125.

故选B.

点睛：圆内接四边形的对角互补.

6、C

【解析】根据比例的性质依次判断即可.

【详解】设x=2a,y=3a,

A.5=5正确，不符合题意；

%+y2。+3。5”上一

B.-—故该项正确，不符合题意；

y3a3

X-y2a-3a1

c.-—=故该项不正确，符合题意；

y3a3

x+22a+22(a+l)2八

D.--=-~~=W—(=7。z#一3)正确，不符合题意；

y+33a+33(a+1)3

【点睛】

此题考查比例的基本性质，熟记性质并运用解题是解此题的关键.

7、A

【解析】投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有1,

3,5三个奇数，则有3种可能，根据概率公式即可得出答案.

【详解】解：：在1〜6这6个整数中有1,3,5三个奇数，

31

.∙.当投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为奇数的概率是：-=

62

故选：A.

【点睛】

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件

A的概率P(A)=—.

n

8、C

【分析】根据圆周角定理计算即可.

【详解】解：VNBOD=I30°,

Λ?AOD50?,

.∙.ZACD=-ZAOD=25°,

2

故选：C.

【点睛】

此题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

9、A

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左侧面、上面看，得到的图形，根据要求判断每个立体图形对应视

图是否不同即可.

【详解】解：A.圆的主视图是矩形，左视图是圆，故两个视图不同，正确.

B.正方体的主视图与左视图都是正方形，错误.

C.圆锥的主视图和俯视图都是等腰三角形，错误.

D.球的主视图与左视图都是圆，错误.

故选：A

【点睛】

简单几何体的三视图，此类型题主要看清题目要求，判断的是哪种视图即可.

10、C

b

【解析】根据二次函数对称轴公式为直线X=-=,代入求解即可.

2a

【详解】解：抛物线y=f-21-1的对称轴为直线

故答案为C.

【点睛】

本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题的关键.

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、1

【解析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数X（人数-1）=72,把相关数值代入计算即可.

【详解】设这小组有X人.由题意得：

X（X-I）=72

解得：xι=l,Xi=-8（不合题意，舍去）.

即这个小组有1人.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解答本题中互送的含义,

这不同于直线上点与线段的数量关系.

12、xι=3,X2=l

【分析】利用因式分解法求解可得.

【详解】解：(x-1)(x-3)=0,

.*.x-1=0或X-3=0,

解得xι=3,X2=l,

故答案为：xι=3,X2=l.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式

法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

13、-4

【分析】根据(-2,n)和(1,n)可以确定函数的对称轴x=l,再由对称轴的X=-丁即可求出b,于是可求n

2×(-l)

的值.

【详解】解：抛物线＞=一/+加+4经过(-2,∏)和(1,n)两点，可知函数的对称轴x=l,

b

Λ^2^≡1)=1J

.∙.b=2；

Λy=-x2+2x+l,

将点(-2,n)代入函数解析式，可得n=-l；

故答案是：-L

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键.

14、-20；

【分析】由比例的性质得到二==土经，从而求出a和b+c的值，然后代入计算，即可得到答案.

22+3+4

∩bc

【详解】解：•••一=—=上，a+b+c=36,

234

.aa+b+ca+b+c36，

Λ—=-----------=-----------=—=4,

22+3+499

.,.a=S,b+c=36—8=28,

.∙.a-b-c=a-(b+c)=8-28--20；

故答案为：-20.

【点睛】

本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，正确得到α=8,b+c=2S.

15、一3—2a

【分析】aAR,C的边长是aABC的边长的2倍，过A点和A，点作X轴的垂线，垂足分别是D和E,因为点A的横

坐标是a,贝IJDC=-l-a.可求EC=-2-2a,则OE=CE-Co=22a-l=-3-2a

【详解】解：如图，

过A点和A，点作X轴的垂线，垂足分别是D和E,

T点A的横坐标是a,点C的坐标是(-1,0).

ΛDC=-I-a,OC=I

又∙.∙Z^AB,C的边长是AABC的边长的2倍，

.∙.CE=2CD=-2-2a,

.∙.OE=CE-OC=2-2a-l=-3-2a

故答案为：-3-2a

【点睛】

本题主要考查了相似的性质，相似于点的坐标相联系，把点的坐标的问题转化为线段的长的问题.

1

16、-

6

【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数.

二者的比值就是其发生的概率的大小.

【详解】解：将-1、-2、-3分别填入三个空，共有3x2xl=6种情况，其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只

有一种，故其概率为

6

故答案为

6

【点睛】

本题考查概率的求法与运用.一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m

»47

种结果，那么事件A的概率P(A)=一.

n

17、(5,√3)(2019,-G)

【分析】设第n秒时P的位置为P”Ps可直接求出，根据点的运动规律找出规律，每4秒回X轴，P4n(4n,0),由

2019=504×4+3,回到在P3的位置上，过Ps作P3BJ_x轴于B,贝!∣OB=3,P3B=√3.PJ(3,-√3).当t=2019时，

OP2019=OP20i6+OB,此时P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，即可求.

Pn,

【详解】设n秒时P的位置为过Ps作P5A±X轴于A,OP4=OP2+P2P4=%P4(4,0),当t=5时，由扇形知P4P5=2,

OP4=4,在RtAP4P5A中，NP5P4A=6O°,则NP4P5A=9O°-NP5P4A=6O°=3O°,P4A=ɪP4P5=I,

2

由勾股定理得PA=Jgg2_舄4==√3,OA=OP4+AP4=5,由点P在第一象限，P(5,√3),

通过图形中每秒后P的位置发现，每4秒一循环，2019=504×4+3,回到相对在P3的位置上，过P3作PsBLx轴于B,

P3(3,-6P20∣9

则OB=3,P3B=√3,由P3在第四象限，则)，当t=2019时，OP2O∣9=OP2O∣6+OB=4X504+3=2019,

点纵坐标与P3纵坐标相同，此时PM9坐标为(2019,-√3),2019秒时，点P的坐标是(2019,-√3).

故答案为：(5,√3),(2019,-√3).

【点睛】

本题考查规律中点P的坐标问题关键读懂题中的含义，利用点运动的速度，考查直线与弧线的时间，发现都用1秒，

而每4秒就回到X轴上，由此发现规律便可解决问题.

18、1.

【分析】由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB与AD长代入即

可求出CD的长.

【详解】在△ABD和△ACB中，NABD=NC,NA=NA,

Λ∆ABD^∆ACB,

.ABAD

••—,

ACAB

VAB=6,AD=4,

贝!∣CD=AC-AD=9-4=1.

【点睛】

考点：相似三角形的判定与性质.

三、解答题(共66分)

19、(1)%=一2+6，x2=-2-ʌ/ʒ；(2)xι=2，X2=-l.

【分析】(I)方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；

(2)提取公因式化为积的形式，然后利用两因式相乘积为0,两因式中至少有一个为0,转化为两个一元一次方程来

求解.

【详解】解：(1)方程整理得：f+4χ=ι,

配方得：f+4χ+4=5,

即(x+2f=5,

开方得：x+2=±√5»

解得：玉——2+ʌ/ʒ,=-2—yfs;

(2)方程变形得:(x-2)[(x-2)-3xJ=0,

BP(x-2)(-2%-2)=0,

即x-2=0或-2x-2=0,

解得％=2,赴=T.

【点睛】

本题考查解一元二次方程.熟练掌握解一元二次方程的方法，并能结合实际情况选择合适的方法是解决此题的关键.

20、(1)见解析；(2)ɪ

【分析】(1)连接OM,可证OM〃AC,得出NCAM=NAMO,由OA=OM可得NoAM=NAMO,从而可得出结果;

(2)先求出NMoP的度数，OB的长度，则用弧长公式可求出的长.

【详解】解：(1)连接。M,

•：PE为。O的切线，：.OMLPC,

"JACVPC,：.OM//AC,

：.ZCAM=ZAMO,

"：OA=OM,ZOAM=ZAMO,

：.ZCAM=ZOAM,即AM平分NCA5；

(2)'.'NAPE=30°,

：.NMOP=NoMP-NApE=90°-30o=60o,

'.,AB=4,：.OB=2,

60•乃x22π

本题考查了圆的切线的性质，弧长的计算，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运

用这些知识解决问题.

3

21、(1)反比例函数解析式为y=-―；一次函数解析式为y=-x+2;(2)P点坐标为(0,2).

X

【分析】(D)先把点A点坐标代入y=k中求出k2得到反比例函数解析式为y=-2;再把B(3,n)代入y=-』中求

XXX

出n得到得B(3,-1),然后利用待定系数法求一次函数解析式；

(2)设P(X,-x+2),利用三角形面积公式得到AP：PB=I:3,即PB=3PA,根据两点间的距离公式得到(x-3)2+

(-x+2+l)2=9[(x+l)2+(-x+2-3)与然后解方程求出X即可得到P点坐标.

【详解】(1)把点4(-1,3)代入y=人得幻=-1x3=-3,则反比例函数解析式为y=-之；

XX

3

把8(3,U)代入y=--得3〃=-3,解得〃=-1,则B(3,-1),

X

一女+。=3{k=-\

把A(-1,3),8(3,-1)代入y=&ix+方得上],，，解得《'C，

3^l+b=-∖[b=2

.∙.一次函数解析式为y=-x+2;

(2)设尸(X,-x+2),

,∙"S^ΛPO:SABOP=I:3,

ΛAP:PB=I:3,

即P5=3P4,

.∙.(X-3)2+(-x+2+l)2=9[(x+l)2+(-x+2-3)2],

解得Xl=0,X2=-3(舍去)，

,P点坐标为(0,2).

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程

组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数解析式.

22、(1)证明见解析；(2)AO=-.

4

【分析】(1)连接OD,利用点。是半圆的中点得出NAO。与NjBo。是直角，之后通过等量代换进一步得出

N尸CE+N。。=NoC=90。从而证明结论即可；

IRr1

(2)通过tanA=—得出多=一，再证明AACTs2∖c5*从而得出A尸=10,之后进一步求解即可.

2ΛC2

【详解】证明：连接05

Y点却是半圆的中点，

：・NAoD=NB0。=90。・

：・NoDC+NOED=9。。.

•：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD.

又♦:CF=EF,

：./FCE=NFEC

VZFEC=ZOED9

：•ZFCE=ZOED.

：・NFCE+NOCD=N0ED+NODC=90。・

即FCLOC.

J尸C是。。的切线.

(2)VtanA=ɪ,

2

BC1

Λ½Rt∆ABCφ,——=-.

AC2

•：ZACB=NoCF=90。,

：.ZACO=ZBCF=ZA.

：.AACFsACBF,

.BF_CF_BC_I

,''CF~^F~^C~2'

ΛAF=10.

：.CF1=BFAF.

5

：.BF=一

2

AF-BF15

.".A0=

2^4^

【点睛】

本题主要考查了圆的切线证明与综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

23、（1）c=44;⑵见解析.

【分析】（1）根据顶点公式求出D坐标（利用a,b,c表示），得到OC,DH（利用a,b,c表示）值，因为SMBD:

SΔΛCB=9:16,所以得到DH:OC=9:16,得到c=4a,利用交点式得出A,B即可.

（2）由题意可以得到整=*,求出DH,EH（利用a表示）,因为ADB"与ABE//相似，得到瞿=瞿，即可求

OCAOBHEH

出a（注意舍弃正值），得到解析式.

【详解】解：(1)y=a(x2+5x+-)--6z+c=tz(x+-)2--a+cΛ£>f—+c

4424V24

.25

VC(0,c)・・OC=-c,DH=------0+CVS^AHDZSAACB=9.16

4

a+c)∖(-c)=9:16

OC4

.∙.y=加+5αx+44=α(x+l)(x+4).*.A(-4,0),8(-1,0)

.EHAH

(2)①'JEH∕∕OCΛ∆AEH(^∆ACO

t9~δc~~λδ

.EH1.5

,.-------------：•EH=-1.5a

一4。4

•：DH=-2.25α≠EHVADBH与ABEH相似

ΛNBDH=NEBH,又TNBHD=NBHE=90。，ADBHsgEH

.DHBH.-225aBH

,''BH~~EHBH~-∖.5a

Λa=±-(舍去正值)

3

√625√64√6

V=------X^-----------X------------

333

【点睛】

此题主要考查了二次函数与相似三角形等知识，熟练运用待定系数法、相似三角形是解题的关键.

24、见解析

【分析】根据已知条件先证明四边形OBEC是平行四边形，再证明NBOC=90。，OC=OB即可判定四边形OBEC是正

方形.

【详解】∙.∙SE〃OC,CEHOB,

.∙.四边形OBEC是平行四边形，

Y四边形ABC。是正方形，

.,.0C=0B,ACA.BD,

：.ZBOC=90，

•••四边形OBEC是矩形，

•：OC=OB,

•••四边形03EC是正方形.

【点睛】

本题考查正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和判定.

25、(1)b=l,c=9；(2)b=0或b=-∙∣■或b=L(3)O<α<或α≤一

3222

【分析】(1)由题可知函数图象过点(3,3),(-3,-3),代入即可求出b,c的值；

(2)代入函数的友好点，求出函数解析式y=χ2+2bx-4b2=(x+b)2-5b2,再根据二次函数的图象及性质分三种情况分

析讨论；

(3)由y=0%2+x-4α推出y-ax1+x-^a=a{x1-^)+x,再根据“友好点”是M(2,2)N(-2,-2)旋转后

M,(2,-2)A，(-4a,0),将(-4a,0)代y=得出4=±注，根据图象即可得出结论.

2

ɔf9+3b+c=3

【详解】解：⑴由题可知函数图象过点(3,3),(-3,-3),代入函数丁=加+%一4。(ɑ≠()),得CC