2022-2023学年上海市浦东新区民办远翔实验学校九年级上学期期中考试数学试卷含详解

上海浦东新区民办远翔实验学校2022学年度第一学期期中考试

初三年级数学试卷

（时间：100分钟总分：150分）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.抛物线y=/+3x-4的对称轴是（）

33

A直线尤=3；B.直线x=—3；C.直线元=一；D.直线x=---.

22

2.RtZVlBC中，ZC=90°,那么sinNB等于（）

BC

D.

~AC

3.如图，在平行四边形ABC。中，若E为C7）中点，且AE与交于点F,则,.EDF与的周长比为（）

4.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3,若它把物体从地面点4处送到离地面2米高的B处，则物体从A到

3所经过的路程为（）

A.6米B.9米C.2而米D.3标米

5.已知e是一个单位向量，〃是非零向量，那么下列等式正确的是（）

11_1,

A.„=aB.1平=1C-旷e

6.如图，在RtaABC中，ZC=90°,BC=2,ZB=60°,OA的半径为3,那么下列说法正确的是（)

A.点B、点C都在。A内B.点C在。A内，点B在OA外

C.点B在。A内，点C在。A外D.点B、点C都在。A外

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.如果3=P,那么土生的值等于.

53a+b

8.抛物线y=(x-1)2+3的顶点坐标是.

9.计算：tan600-sin450=.

10.计算：a—3(a—.

11.己知点尸是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=2,则AP=.

12.如果两个相似三角形面积比是1:4,那么它们的周长比是.

13.将抛物线y=-(x-l)2+2向左平移2个单位，向下平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为

14.如图，在。。中，渺=为C,NB=70°，则NBAC=

15.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为c,如果测角仪高为1.5米.那么旗杆的高为

米(用含。的三角函数表示).

16.如图，在RtZ\ABC中，NACB=90。，AC=6,点G是AABC的重心，GH±BC,垂足是H,则GH的长为

17.如图，正方形A8CQ中，点E是8C的中点，将正方形ABCD沿AE翻折，点B落在点尸处，延长炉交CO

于点P,若AB=6,则。。的长为

18.已知抛物线y=/—2元一〃与x轴交于A、B两点，抛物线y=f+2x-〃与x轴交于C、。两点，其中〃>0,

若A£>=2BC,则"的值为.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.计算：---------------sin30°-cot45°.

sin600-cos60°

20.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,CD=6,点、E、F分别在两腰上，且所〃A£）,AE：£3=2:1.

（1）求线段CE的长；

（2）设A8="，A£>=b，求作EC在a和方向上分向量.

21.如图，己知在48c中，ZACB=90°,SLAB于点。，AC=2,BD=3,

（1）求A£>的长；

（2）如果。产过AB的中点E,且满足CE=CB,求N尸的正切值.

22.如图，热气球探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60。看这栋高楼底部的俯角为30。热气球与高楼

的水平距离AO为120米，请问：这栋高楼的楼高CB为多少米？（百a1.732,结果精确到01米）

B

23.已知：如图，在△ABC中，AO是边BC上的中线，点E在线段BO上，且过点B作BF〃4C,交线

段AE的延长线于点F.

(1)求证：AC=3BF；

(2)如果榭-近型)，求证：与立，.遍!」疝耳潼.

24.已知抛物线了=/+加+。与彳轴交于4(1,0)、8(3,0)两点，且与),轴的公共点为点C,设该抛物线的顶点为

D.

(1)求抛物线的表达式，并求出顶点。的坐标；

(2)若点户为抛物线上一点，且满足尸3=PC,求点P的横坐标；

DF1

(3)连接CD,8C,点E为线段BC上一点，过点E作砂工CO交CO于点尸，若一=—,求点E的坐标.

CF2

4

25.如图，平行四边形ABC。中，AB=5,BC=7,sin8=不，点尸是边BC上一动点，点Q在射线AD上,

满足NAPQ=NAOC,直线P。与直线8交于点E,射线AP与直线C£)交于点F,

(1)求证：△ABPS^Q州；

(2)当点0在线段AD上时，设8P=x,AQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域;

(3)若CE=5PC,求BP的长.

上海浦东新区民办远翔实验学校2022学年度第一学期期中考试

初三年级数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.抛物线＞=/+3*-4的对称轴是（）

33

A.直线x=3；B.直线％=-3；C.直线x=一；D.直线x=一-.

22

【答案】D

【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案.

【详解】解：...抛物线解析式为y=f+3x—4=（x+m）-年，

3

抛物线对称轴为直线x=—-,

2

故选D.

【点睛】本题主要考查了求二次函数的对称轴，熟知对于二次函数y=。（%—〃）2+女（a力0）的对称轴为直线

x=/i是解题的关键.

2.在RtZ\ABC中，ZC=90°,那么sin/3等于（）

ACBCACBC

A.---B.---C.---D.---

ABABBCAC

【答案】A

【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinB等于/B的对边除以斜边，即可得出答案.

［详解］

根据在△ABC中，ZC=90°,

那么sinB，噌警二生，

斜边AB

故答案选A.

【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义,解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义.

3.如图，在平行四边形ABC。中，若£为CO中点,且AE与3。交于点E则与△钻户的周长比为（）

DEc

A.1:2B.1:4C.1:3D.1:9

【答案】A

【分析】先证明△EOEs&WR，然后根据相似三角形的周长之比等于相似之比进行求解即可.

【详解】解：•••四边形ABCD是平行四边形,

AAB//CD,AB=CD,

：.MDFs^ABF,

为C。中点,

DE=-CD=-AB,

22

CAFDFDE1

=—=T（C表示周长）,

CGABFAB2

故选A.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比等于相似之

比是解题的关键.

4.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3,若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到

8所经过的路程为（）

A.6米B.加米C.2河米D.3V10米

【答案】C

【分析】过点B作3C±AC于点C,构造直角一A8C求出A3的长即可.

【详解】解：过点B作BC±AC于点C,

•.•传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3,

BC_1

AC-3

/.AC=6米,

在Rt^ABC中，NACB=9O。，由勾股定理得AB=dAC?+BC?=,6?+2?=2M米，

故选：C.

【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角

形.

5.已知e是一个单位向量，“、〃是非零向量，那么下列等式正确的是（）

A.麻=0B.\e\b=bc,讣=，D."才

【答案】B

【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量,

注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解.

【详解】A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误：

B.符合向量的长度及方向，正确；

C.得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.

故答案选B.

【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

6.如图，在RtaABC中，ZC=90°,BC=2,NB=60°,OA的半径为3,那么下列说法正确的是（）

A.点B、点C都在OA内B.点C在。A内，点B在OA外

C.点B在。A内，点C在。A外D.点B、点C都在。A外

【答案】D

【分析】先求出AB的长，再求出AC的长，由B、C到A的距离及圆半径的长的关系判断B、C与圆的关系.

【详解】由题意可求出NA=30°,，AB=2BC=4,由勾股定理得AC=1侬_6c2=2后,

AB=4>3,AC=26>3,.••点B、点C都在。A外.

故答案选D.

【点睛】本题考查的知识点是点与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握点与圆的位置关系.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.如果色=2,那么色二匕的值等于.

53a+b

【答案】；

4

【分析】根据比例的性质，可用b表示a,根据分式的性质，可得答案.

【详解】解：由色=匕，得a=生

533

当2=史时，

3

5bL2b

a-b_3____=J_=_L

a+b5b,8b4'

——+b——

33

故答案为一.

4

【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，分式的性质.

8.抛物线y=(x-l)2+3的顶点坐标是.

【答案】(1,3)

【分析】根据顶点式：y=a(x-/?)2+上的顶点坐标为(h,k)即可求出顶点坐标.

【详解】解：由顶点式可知：y=(x-iy+3的顶点坐标为：(1,3).

故答案为(1,3).

【点睛】此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：y=a(x-左的顶点坐标为(h,k)是解决此题的关键.

9.计算：tan600-sin450=.

【答案】V3--

2

【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可.

【详解】解：tan60°-sin450=G-也，

2

故答案为：V3-—,

2

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知60度角的正切值和45度角的正弦值是解题的关键.

io.计算：4—3(4—5/?)=,

【答案】-2a+b

【分析】根据向量的相关计算法则求解即可.

［详解］解："30—1］

111

=a—3a+b

=—2a+b-

故答案为：—2a+b.

【点睛】本题主要考查了向量的计算，熟知向量的相关计算法则是解题的关键.

11.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=2,则4P=.

【答案】V5-l##-l+V5

【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=叵1A8,代入数据即可得出AP的长.

2

【详解】解：由于P为线段A8=2的黄金分割点，且AP是较长线段；

则AP=2x告1=6-1，

故答案为：V5-1.

【点睛】本题考查了黄金分割点即线段上一点把线段分成较长和较短的两条线段，且较长线段的平方等于较短线

段与全线段的积，熟练掌握黄金分割点的公式是解题的关键.

12.如果两个相似三角形的面积比是1:4,那么它们的周长比是.

【答案】1：2

【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成.

【详解】•••相似三角形面积的比等于相似比的平方

•••两个相似三角形的相似比为1：2

:两个相似三角形周长的比等于相似比

两个三角形周长的比等于1：2

故答案为：1：2

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键.

13.将抛物线y=-(x-1『+2向左平移2个单位，向下平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为

【答案】y=—(x+l『+l

【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移方式确定平移后的抛物线的顶点坐标即可得到答案.

【详解】解：•••原抛物线解析式为y=-(x—iy+2,

.•.原抛物线顶点坐标为(1,2),

•••将抛物线丁=—(%—1)2+2向左平移2个单位，向下平移1个单位，所得到的抛物线顶点坐标为

•••平移后的抛物线解析式为y=—(x+l)2+l,

故答案：y=—(x+l7+I.

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，正确根据平移方式求出平移后的抛物线顶点坐标是解题的关键.

14.如图，在中，舫=注。，AB=70°（则NB4C=

【答案】40°##40度

【分析】根据同圆中等弧所对圆周角相等，求出/C的度数，即可利用三角形内角和定理求出/B4c的度数.

【详解】解：•.•在0。中,AB=AC，

,NC=ZB=70。，

ZA4C=180°-ZB-ZC=40°,

故答案为：40°.

【点睛】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，正确求出NC的度数是解题的关键.

15.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为a,如果测角仪高为1.5米.那么旗杆的高为

米（用含a的三角函数表示）.

【答案】1.5+20tana

【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了己知角的邻边求对边，用正切值计算即可.

【详解】根据题意可得：旗杆比仪器高20tana,测角仪高为1.5米，

L5米|]

2睐

故旗杆的高为（1.5+20tana）米.

故答案为1.5+20tana

【点睛】考查解直角三角形的应用，属于仰角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形是解题的关键.

16.如图，在Rt/XABC中，/ACB=90。，AC=6,点G是AABC的重心，GH1BC,垂足是H,则GH的长为

B\

【答案】2

GDiGD1

【分析】如图，连接AG并延长AG交BC于D,由重心的性质可知一=一，可得——=一,由GH±BC,ZACB=90°

AG2AD3

可得GH//BC,根据平行线分线段成比例定理即可得答案.

【详解】如图，连接AG并延长AG交BC于D,

•点G是4ABC重心，

GD1

•AG=2GD,nn即-一,

AG2

GD

•由GH_LBC,ZACB=90°,

.GH//BC,

GD_GH

'AD-AC'

,AC=6,

GD1

♦GH=AC-=6X—=2，

AD3

故答案为：2

【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质，根据平行线分线段成比例定理

列比例式是解决此题的关键.

17.如图，正方形A8C。中，点E是8。的中点，将正方形A8CO沿AE翻折，点B落在点尸处，延长Eb交CO

于点P,若A3=6,则OP的长为.

【答案】2

【分析】如图所示，连接AP,先由折叠和正方形的性质得到A尸=A£>,NAFP=ND=90°,由此证明

RtAADWRtAAEP(HL),则£>p=EP，由E是BC的中点，得到所=3E=CE=3,设DP=EP=x,

则EP=x+3,CP=6-x,在RtAPCE中，由勾股定理得：(x+3)2=32+(6-x)2,据此求解即可.

【详解】解：如图所示，连接AP,

:四边形ABC。正方形，

:.AB=BC=CD=AD=&NB=NC=ND=90。,

由折叠的性质可知4尸=AB,NAFE=NB=90°,FE=BE,

AF=AD,ZAFP=ZD=90°,

又：AP=AP，

RtAADP^RtAAFP(HL),

/.DP=FP，

是BC的中点，

EF=BE=CE、BC=3,

2

设DP=FP=x,则EP=x+3,CP=6-x,

在RtZ\PC£中，由勾股定理得：PE2=CP2+CE2，

，(X+3)2=32+(6—X)2,

解得x=2,

；•DP=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构

造全等三角形是解题的关键.

18.已知抛物线y=x2-2%-〃与x轴交于A、B两点，抛物线y=x?+2x—〃与x轴交于C、。两点，其中〃>0,

若AD=2BC,则〃的值为.

【答案】8

【分析】先求出抛物线y=d+2x—〃与x轴的交点，抛物线y=——2x—〃与x轴的交点，然后根据

AD=2BC,得出A£>2=4BC2,列出关于”的方程，解方程即可.

2

【详解】解：把y=0代入y=/+2x—〃得：x+2x-n=o,

解得：百=2^7^=_]_后,“2+^T^=_]+的

把y=0代入y=f-2》-〃得：X2-2x-n=0<

布红俎2—,4+4"r2+:4+4〃r

解得：%,=-----------=1-Vl+tt-%=--------------=l+Jl+〃，

22

,/AD=2BC,

•••AD2=4BC2，

,抛物线y=Y+2x-〃与抛物线y=J?-2x-〃中的二次项系数相同,

AAB=CD（两个函数可以通过平移得到）,

又：AD=2BC,

如下图所示，点A在点B右侧，点C在点O右侧,

二(玉-xj=4(/一七)，即(一1一J1+〃-1-J1+")=4(-1+J1+〃-1+J1+”),

(-1-J1+〃)=4•1+J1+",

令Jl+〃=m，则(一1—m)-=4(1—a)-,

解得：肛=§,加2=3,

11O

当町=-时，\Jl+n,解得：n=-一，

339

：〃〉0,

Q

••.〃=-1不符合题意舍去；

当m2=3时，J1+及=3，解得：〃=8,

V8＞0,

〃=8符合题意；

综上分析可知，〃的值为8,

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用"表示出4/52=dBO?,列出关于〃的方程是解

题的关键.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.计算：----------------sin30°-cot45°.

sin600-cos60°

【答案】V3+—

2

【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可.

]

【详解】解:-sin30°-cot45°

sin60°-cos60°

1xl

_14

22

24+1)1

(6+1)(6-1)2

V3+1--

2

gg.

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键.

20.如图，梯形ABC£＞中，AD//BC,CD=6,氤E、尸分别在两腰上，且防〃AE：EB=2:1.

（2）设A8=a，AD=b＞求作EC在a和2j方向上的分向量.

【答案】（1）CF=2

（2）见解析

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；

UUUUUU

（2）以A为圆心，以6c的长为半径画弧与AO交于G,连接CG交所于〃，则即为所求;

【小问1详解】

解：VAD//BC,EF//AD,

.AEDF

"EB-FC）

AEtEB=2:1,

•DF2

••=—，

FC1

：.CF=-CD=2；

3

【小问2详解】

UUUUUU

解：如图所示，EH、HC即为所求;

'：AG//BC,AG=BC

四边形ABCG是平行四边形，

CH//BE,

...四边形是平行四边形，

UUUUUU

EH、HC即为所求.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，画向量的分向量等等，熟知相关

知识是解题的关键.

21.如图，已知在中，NACB=90°,COLAB于点。，AC=2,BD=3,

ADEB

（1）求A£>的长；

（2）如果。产过AB的中点E,且满足CE=CB,求N尸的正切值.

【答案】（1）AD=1

⑵2+V3

【分析】（1）先证明△ACDS/SCB。得到CD?=3AO，再由勾股定理得到3AD=4-4£>2,由此求解即可；

（2）如图所示，过点B作BH1CF于H,先解直角三角形求出NA=60。，进而求出CE=2百，再由直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE=CE=5E=2,即可证明△AEC是等边三角形，则

NBEH=NAEC=60。,解直角三角形求出硝、BH,进而求出FH即可得到答案.

【小问1详解】

解：；ZAC8=90°,CD±AB,

：.ZADC=NBDC=90°,ZACD+/BCD=90°,

/.NA+NACD=90。，

ZA=/BCD,

：.AACD（^Z\CBD,

.ADCD

••—，

CDBD

'-CD2=ADBD=3AD>

在RtADC中，由勾股定理得CD2=AC2-AD2，

3AD=4-Ah，

，A£>=1（负值舍去）

【小问2详解】

解：如图所示，过点B作BH上CF于H,

由（1）得AT>=1,

AD1,

..cosAx———=—,Afi=AD+BD=4^

AC2

NA=60°，

•••CF=BC=AC-tanA^2y/3，

是AB的中点，

/.AE=CE=BE=LAB=2,

2

：.△AEC是等边三角形，

NBEH=NAEC=*°,

•••EH=BE-cosZBEH=1,BH=BE-sinZBEH=6，

:.FH=CF-CE-EH=一3，

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角函数综合，直角

三角形斜边上的中线，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

22.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60。看这栋高楼底部的俯角为30。热气球与高楼

的水平距离为120米，请问：这栋高楼的楼高CB为多少米？（/”1.732,结果精确到0.1米）

B

【答案】这栋高楼的楼高CB约为277.1米

【分析】分别解RtZXM。和Rt_A£）C求出BD,8的长即可得到答案.

【详解】解：,••在RtzMBO中，N84Z）=60°,ZADB=90°,

；•BD=AD-tanZBAD=12073米，

•.,在Rt_A£）C中，NOW=30°,NADC=90。,

/•CD=AD•tanZCAD=40>/3米，

•••BC=60+8=160GB277.1米，

这栋高楼的楼高CB约为277.1米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出3D8的长是解题的关键.

23.已知：如图，在AABC中，是边BC上的中线，点E在线段上，JiBE=ED,过点3作8/〃AC,交线

段AE的延长线于点F.

（1）求证：AC=3M

（2）如果/昌•检女求证：筋!:，.泌:~海糜•

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】分析：（1）根据平行线分线段成比例定理由BF〃AC得BF：AC=BE：EC,再利用BD=CD,BE=DE,得

CE=3BE,于是即可得到结论；

（2）由AE=«ED得AE2=3ED2,把CE=3ED代入得AE?=CE・ED,即AE：ED=CE：AE,根据相似三角形的判

定易得△AEDs^CEA,则AD：AC=ED：AE,用EB代替ED即可得到结论.

详解：证明：(1)：BF〃AC,

BF：AC=BE：EC,

又；BD=CD,BE=DE,

；.CE=3BE,

；.AC=3BF；

(2)VAE=^/3ED,

.\AE2=3ED2,

又；CE=3ED,

.".AE2=CE«ED,即AE：ED=CE：AE,

而/AED=/CEA,

.,.△AED^ACEA,

/.AD：AC=ED：AE,

又〈ED=BE,

AAD：AC=BE：AE,

••.AD・AE=AC・BE.

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且这两组对应边所夹的

角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等.也考查了平行线分线段成比例定理.

24.己知抛物线+c与x轴交于A(1,O)、8(3,0)两点，且与y轴的公共点为点C,设该抛物线的顶点为

D.

(1)求抛物线的表达式，并求出顶点。的坐标；

(2)若点尸为抛物线上一点，且满足PB=PC,求点P的横坐标；

DF1

(3)连接8,BC,点E为线段上一点，过点E作跖18交CO于点凡若一=一，求点E的坐标.

CF2

【答案】(1)y=f-4%+3,(2,-1)

5-旧5-V13^5+V135

(2)或

22J2

207

(3)

7’3

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可得到顶点。的坐标;

(2)先求出点C的坐标进而得到O8=OC=3,如图所示，取中点E,作直线0E,则0E是线段的垂

33

直平分线，E,即可推出点P即为直线0E与抛物线的交点，据此求解即可;

2,2

(3)如图所示，连接BD,先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△CDB是直角三角形，即NCBD=90。，证

明△ECF'S^DCB,求出CF=逑，则石。=生旦

39

2

同理可求出直线BC的解析式为y=-x+3,设点E的坐标为(加,—m+3),则加2+(—m+3-3)2=20&、

据此求解即可.

【小问1详解】

l+b+c=O

解：由题意得：\

9+3Z?+c=0'

b=-4

c=3

.•.抛物线解析式为y=f-4x+3=(x-2y一1,

...顶点。的坐标为(2,-1)

【小问2详解】

解：令x=0,则y=3,

。((),3),

：.OB=OC=3,

如图所示，取BC中点E,作直线0E,

33、

•••0E是线段8C的垂直平分线，E

2,2J，

•:PB=PC,

.♦.点P即为直线0E与抛物线的交点,

设直线OE的解析式为y=6,

...k=1,

・,・直线OE的解析式为y=x,

y=x

联立＜得J-5彳+3=0,

y=x2-4x+3

5±V13

解得x=

-2~

5+V135+VB'

.♦.点P的坐标为或

BC^>]OC2+OB2=372>BD=7(2-3)2+(-l)2=72-8=百+(_1-3『=2石,

/•BC2+BD2=CD2，

.•.△CT出是直角三角形，即NC8£>=90。，

EF1CD,

：.NCFE=NCBD=9Q。,

又,：ZECF=NDCB,

：.AECFs丛DCB,

..DF1

•=9

CF2

.245/5

•・Cr=—CD=-----，

33

生q,即比学

DCCBHR

；.EC*

9

同理可求出直线BC的解析式为y=-x+3,

设点E的坐标为（根,-,2+3）,

<2072?

77?"+(—m+3—3)~

20

解得加=豆（负值舍去）,

；•点E的坐标为

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定

理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

4

25.如图，平行四边形ABC。中，AB=5,BC=7,sin8=g，点P是边上一动点，点Q在射线AO上,

满足NAPQ=NAOC,直线尸。与直线CO交于点E,射线AP与直线C£＞交于点F,

(1)求证：△ABPSAQPA；

（2）当点。在线段A。上时，设=AQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域;

(3)若CE=5PC,求BP的长.

【答案】（1）证明见解析

、

（3）BP=—

7

【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AT>〃3C,/B=NADC,则/4QP=NCPQ,再分别证明

ZAPQ=NB,ZBAP=ZPQA,即可证明；

（2）如图所示，过点A作A”_LBC于H,解直角三角形求出AH,BH,进而求出4P?,再由相似三角

AD2

形的性质得到AQ=—即可得到答案；

BP

-尤2+13尤一25

（3）如图3-1所示，当点。在线段AQ（不包括。）上时，求出，DQ=,CP=7—x,

x

—x~+13x—2525

CE=35—5x,Z）E=30—5x,证明△EQDSAEP。，得到30-5x,解得x=—；当点

%=7

7-x35-5x

Q恰好经过点。时，此时点E与点。重合，可得％=6,由（2）得，当。与。重合时，*=13—倔,则此种

2

情形不成立；如图3-2所示，当点Q在延长线上时，求出00=厂.1+25,CP=7-x,

X

-13x+25