辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（含答案解析）

辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年九年级上学期10月月

考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列函数中，是二次函数的是（）

3

A.y=x2B.y=-C.V=xD.y=x-2

X

2.下列图形中，是中心对称图形的是（）

b

A.05^9-O

3.把抛物线y=5/向左平移2个单位，得到的抛物线是（）

A.y=5(x-2)2B.y=5(x+2)2C.y=5x2+2D.y=5x2-2

4.AO8绕点O逆时针旋转65。后得到△（%）£）,若ZAQB=3O。，则NBOC的度数是（）

5.已知二次函数了=狈2+笈+。（4工0）的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是

C.x<—1D.或x>2

6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,3）,点8的坐标为（4,0）,连接A3,

若将ABO绕点B顺时针旋转90。，得到△A80',则点A的坐标为（)

O'____A

A.(6,4)B.(4,3)C.(7,4)D.(8,6)

7.对于二次函数y=-；f+2,当x为4和x?时，对应的函数值分别为片和K.若

芭>%>0,则％和y2的大小关系是()

A.%>当B.必<%C.弘=%D.无法比较

8.如果二次函数y=(x-m)2+%的图像如图所示，那么下列说法中正确的是()

A.m>0,左>()B.m<0,k<0C.in<0,k>0D.m>0,k<0

9.对于抛物线y=-2(x-iy+3,下列判断正确的是()

A.抛物线的开口向上B.抛物线的顶点坐标是(-1,3)

C.对称轴为直线x=lD.当x=3时，y>。

10.如表给出了二次函数y=or2+/?x+c(ax0)中x,y的一些对应值，则可以估计一元

二次方程以2+加+C=0(”#0)的一个近似解玉的范围为()

X1.21.31.41.51.6

y-1.16-0.71-0.240.250.76

A.1.2<x,<1.3B.1.3<%,<1.4C.14<x,<1.5D.1.5<<1.6

二、填空题

11•点4(7,2)关于原点对称的点的坐标是.

12.已知二次函数y=(x-3y+c的图象与x轴的一个交点坐标是(2,0),则它与x轴的

另一个交点坐标是.

试卷第2页，共6页

13.如图，2是正方形ABC。内一点，将P8C绕点C顺时针方向旋转后与重合,

14.是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在/时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水

面2m,水面宽4m.如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是

15.如图，在4BC中，ZBAC=a,将.ABC绕点C逆时针旋转得到DEC,点A8的

对应点分别为2E,连接AO,当点ARE在同一条直线上时，则旋转角NAC。的度

数为.（用含a的式子表示）

16.已知点4（-1,%）］（2,%）,。6,%）在抛物线丫=（＞杼上，且必＜%＜%，则力的

取值范围是

三、解答题

17.如图，ABC绕点A旋转后能与VADE重合.

（1）AC=5,AB=2,求CQ的长；

⑵延长交BC于点M,NBAC=70。，求/CME的度数.

18.在平面直角坐标系中，抛物线、=加+版-5的图象恰好经过42,-9）,以4,-5）两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)通过计算说明点用(-2,7)是否在抛物线上.

19.如图，A3C中，ZC=90°.

B

(1)将ABC绕点8逆时针旋转90。，画出旋转后的三角形；

(2)若BC=3,AC=4,点A旋转后的对应点为O,求AO的长.

20.已知二次函数y=/-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,求:

(2)A5C的面积.

21.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根的喷水管,

如图，以水管与地面的交点为原点，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为

1m处达到最高点8,高度为3m,水柱落地处C离水池中心的距离为3m.

(1)求抛物线对应的函数解析式；

(2)求水管OA的长度.

22.某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且

不高于19元.经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)

之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售单价X/元121314

试卷第4页，共6页

每天销售数量W元…363432...

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？

(3)设销售这种文具每天获利w(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利

润是多少元？

23.在平面直角坐标系中，点44,0),点8(0,4),点。(九0),其中加＞0且点。不与点A

重合.

(1)如图1,过点。作于E,在OE延长线上取点C,使得NOC4=45。，求证

EB=EC；

(2)如图2,将3。绕点8顺时针旋转90。得到5Z7,连接AD交丫轴于点〃求空的

OM

值.(用含机的式子表示，并直接写出山的取值范围)

24.如图，ABC中，AB=5C,点。是平面内一点，连接8。并将线段80绕点B旋转

至BE,连接DE交AB于点M,乙钻O+NE3C=180。.

AA

图⑴图(2)

(1)如图I,若点。在AC边上，且AC〃8E,求证4W=8W；

(2)如图2,点。是A3C内一点，连接A。、EC,点”是EC中点，连接Bh,猜想

和3”的数量关系并加以证明.

25.如图1,在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为A(5,5),与直线y=(x交于点

。和点C.

(1)直接写出点8的坐标；AO8的形状为；

(2)求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；

(3)如图2,点T(f,O)是线段上的一个动点，过点7作V轴的平行线交直线y=于

点。，交抛物线于点E,以为一边，在的右侧作矩形。EFG,且。0=2.

①当矩形DEFG的面积随着r的增大而增大时，求f的取值范围；

②当矩形OEFG与&AO3有重叠且重叠部分为轴对称图形时，直接写出，的取值范围.

试卷第6页，共6页

参考答案:

I.A

【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可.

【详解】A项，y=/是二次函数，故本项符合题意；

B项，＞=士不是二次函数，故本项不符合题意；

x

c项，＞=x不是二次函数，故本项不符合题意；

D项，y=x-2不是二次函数，故本项不符合题意；

故选：A.

【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键.二次

函数的一般式是y=o^+6x+c,其中awO.

2.B

【分析】根据中心对称图形的定义即可作答.

【详解】A项，不是中心对称图形，故本项不符合题意；

B项，是中心对称图形，故本项符合题意；

C项，不是中心对称图形，故本项不符合题意；

D项，不是中心对称图形，故本项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握相应的定义是解答本题的关键.在平面内，

把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫

做中心对称图形.

3.B

【分析】根据抛物线顶点的变化得到抛物线.

【详解】解：抛物线y=5x2的顶点为(0,0),

向左平移2个单位，顶点为(-2,0),

故得到的抛物线是y=5。+2＞,

故选B.

【点睛】本题主要考查抛物线的平移变化，熟练掌握抛物线的平移是解题的关键.

4.C

答案第1页，共19页

【分析】根据旋转的性质可得NAOC=N38=65。，结合4403=30。，即可求/80C的度

数.

【详解】解：：A0B绕点。逆时针旋转65。得到△<%>£),

ZAOC=ZBOD^65°,

"：ZAOB=30°,

/.ZBOC=ZAOC-ZAOB=35°,

故选C.

【点睛】本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键.

5.A

【分析】根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是(7,0),(2,0),又y<0时，图象在x轴

下方，由此可以求出x的取值范围.

【详解】解：由图象可知，

当y<0时，x的取值范围是

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由

图象找出当y<o时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用.

6.C

【分析】过4作轴于点C,由旋转的性质可得BC=A'O'=O4=3,

A'C=O'B=OB=4,进而求解.

【详解】解：过A作A'CLx轴于点C,

由旋转可得NO'=90。，O3_Lx轴，

.••四边形O'8C4'为矩形，

，8C=A'(7=(M=3,A!C=O'B=OB=4,

：.OC=OB+BC=1,

二点4坐标为(7,4).

答案第2页，共19页

故选：c.

【点睛】本题考查了平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题的关键是掌握求点的坐标的常

用方法.

7.B

【分析】根据y=-；V+2中，a=-；<0且对称轴为直线x=0知，x>0时，y随x的增大

而减小，据此解答可得.

【详解】解：：y=-；V+2中，。=-g<0且对称轴为直线*=0,

.•.当x>0时，y随x的增大而减小，

Vxi>X2>0,

；・yi<y2，

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.解题的关键是熟练掌握二次函数的图象

和性质.

8.D

【分析】观察函数图像抛物线顶点坐标为（〃?，左）在第四象限解题即可.

【详解】由图可知二次函数y=（x-m）2+Z的顶点坐标（加氏）在第四象限，

/.m>O,k<0,

故选D.

【点睛】本题考查了依据二次函数图像分析函数解析式中各个系数的取值范围，注意此类问

题一般通过开口方向、对称轴、顶点坐标等方面进行分析.

9.C

【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论.

【详解】解：A、...-ZVO,...抛物线的开口向下，本选项错误，

B、抛物线的顶点为（1,3）,本选项错误，

C、抛物线的对称轴为：x=],本选项正确，

D、把x=3代入y=-2（x-l）2+3,解得：y=-5V0,本选项错误，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论.

答案第3页，共19页

10.c

【分析】根据表格中的数据可得出“当X=1.4时，y=-0.24；当X=1.5时,y=0.25.”由此

即可得出结论.

【详解】解：当x=L4时,y=-0.24；当x=1.5时，y=0.25.

・^.一元二次方程ar2+法+c=O（arO）的一个近似解X1的范围为1.4<•X]<1.5.

故选：C.

【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的

近似根的方法是解题的关键.

11.（1,-2）

【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x,y），关于原点的对称点是即关于原

点的对称点，横、纵坐标都变成相反数.

【详解】解：•••点A（-l,2）,

关于原点对称的点的坐标为（1,-2）,

故答案为：（L-2）.

【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关

键.

12.（4,0）

【分析】根据二次函数y=（x-3）,+c,得出图象对称轴为x=3,根据两个交点是对称点，

求出（2,0）关于对称轴的对称点即可.

【详解】二•二次函数y=（x-3>+c,

二图象对称轴为x=3,

与x轴的一个交点坐标是（2,0）,

，3*2-2=4,

...与x轴的另一个交点坐标是（4,0）.

故答案为：（4,0）.

答案第4页，共19页

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握根据二次函数的对称轴求对称点

是解题的关键.

13.2五

【分析】根据正方形的性质得到NABC=90。，再根据旋转的性质得NP，CP=90,

PC=PC=2,然后根据勾股定理求解.

【详解】解：由题可知：P'CD^PCB,

PC=PC=2,NPCD=ZPCB,

•••四边形ABC。是正方形，

二ZBC3=90。，

AzrCP=90,

PP=4PC1+PC1=^22+22=2y[2，

故答案为：2及.

【点睛】此题旋转的性质和正方形的性质，得到N"CP=90,是解答此题的关键.

【分析】设抛物线的关系式为y="2（ax0）,代入坐标求出。的值，即可得到答案.

【详解】解：设抛物线的关系式为丫;⑪乂。*。），

由题意可知，抛物线过点（2,-2）,

二.-2=4。，

解得：〃=彳，

••・抛物线的关系式为y=-gx2,

故答案为：y=-^.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键.

15.2a-180°

【分析】根据旋转的性质可知NEQC,AC=CD,进而得出N47C,再根据等腰三角形的

性质得出答案.

【详解】根据旋转的性质得/配1=/应IC=e,AC=CD.

♦.•点4,D,E共线，

答案第5页，共19页

，ZADC^l80°-ZEDC^i80°-a,

：.ZACD=\80°-2（180°-a）=2a-180°.

故答案为：2a-180。.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等，理解旋转的性质是解题的关

键.即旋转前后的对应角相等，对应边相等，对应点和旋转中心的连线所形成的夹角是旋转

角.

“1,5

16.—<h<—

22

【分析】首先根据抛物线的开口方向以及图象上点的坐标和%<%<%,将各点代入，进而

得出〃的取值范围.

【详解】分别将点4（-1,凶）,42,%）,。（6,%）代入尸。一出2得：

乂=（一1一.）2，%=（2—♦）?，％=（6-*））

因为，%<%<为

所以，

解之〃的取值范围是：3<九<|，

故答案为：

22

【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，根据已知得出不等式组进而得出取值范

围是解题关键.

17.（1）3

（2）70°

【分析】（1）根据旋转得△ABCgZVIOE,得4E>=AB=2,计算CO=AC—AD即可；

（2）根据ZX/WC之△/!£>£,得NE4Z）=N3AC=70。，ZC=Z£,再根据三角形外角的性

质得NE+NE4£>=NAZW,ZC+ZCME=ZADM,推出NCME=NE4Z）=70。即可.

【详解】（1）解：...旋转，

，AABC与AADE,

：.AD=AB=2,

二8=AC-4)=5-2=3；

答案第6页，共19页

(2)解：V/\ABC^/\ADE,

：.ZEAD=ABAC=70°,NC=NE,

,:ZE+NEAD=ZADM，

NC+NCME=ZADM,

・•・ZCME=ZEAD=70°.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、三角形外

角的性质是解题的关键.

18.(l)y=x2-4x-5；

(2)在，计算见解析.

【分析】(1)将点坐标代入解析式，求解参数得解析式；

(2)将横坐标值代入解析式，验证函数值是否与纵坐标相等；

【详解】(1)(1)过A(2,-9),5(4,-5)

.1-9=4。+2力一5

'[-5=\6a+4b-5

.•『二1

[b=-4

y=x2-4x-5

(2)当x=-2时

y=4+8-5=7

(-2,7)在抛物线上

【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，方程与函数的关系；理解方程和函数的关系

是解题的关键.

19.(1)见解析

(2)55/2

【分析】(1)将A、C绕点8逆时针旋转90。，得到。、E,连接OE、DB、BE,即

为所求；

(2)连接A。，根据“NC=90。，BC=3,AC=4"、勾股定理，计算A8,根据旋转，AB=BD,

答案第7页，共19页

1ABD90?,勾股定理计算4D即可.

【详解】（1）如下图，将A、C绕点8逆时针旋转90。，得到。、E,连接。E、08、BE,

（2）如下图，连接AD,

VZC=90°,8C=3,AC=4,

,,AB=VBC2+AC2=5/3?+4。=5，

绕点8逆时针旋转90。得到

AABC^DBE,?ABD90?,

，AB=30=5,

,AD=-^AB'+BDr=45。+5?=5夜■

【点睛】本题考查了旋转作图、勾股定理，熟练作图、运用勾股定理计算是解题的关键.

20.⑴A（-1,0）：3（3,0）；C（0,-3）

（2）6

【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；

（2）根据A,B,C的坐标求出AB,CO长，即可求出的值.

【详解】（1）解：令尸0,则y=-3,

:.C（0,-3）；

答案第8页，共19页

令)=0,则/一2彳一3=0,

解得：士=-1,々=3,

/.A(-l,0)；B(3,0).

(2)解：•••A(—l,0),3(3,0),C(0,-3)

/.ABH,OC=3,

S=—AB*OC=—x4x3=6.

AKBC22

【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键

熟练进行计算.

3c39

21.(l)j^=——+—x+—(0^x<3)；

9

(2)水管OA的长度为:加.

4

【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x-iy+3,将(3,0)代入求得。值，即可写出解析式；

(2)x=0时得的y值即为水管的长.

【详解】(1)解：设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-iy+3,

把(3,0)代入得：4a+3=(),

解得。=-巳3

4

；•y=q(xT『+3；

39

(2)当x=0时，y=—+3=—,

44

9

・•・水管。4的长度为:m.

4

【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建

立平面直角坐标系是解题的关键.

22.(l)y=-2x+60

(2)18元

(3)19元，198元

答案第9页，共19页

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，结合x的取值范围求解即可；

（3）根据题意可列出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为了=履+可%70）,由所给表格可知：

[36=\2k+b,伙=-2

{"解得：|,乙,，

136=132+/?=60

故y与x的函数关系式为y=-2x+60；

（2）解：根据题意得：（x-10）（-2x+60）=192,

解得：占=18.x,=22.

又：104x419,

x=18,

答：销售单价应为18元.

（3）解：W=（X-10）（-2X+60）=-2（X-20）2+200,

Va=-2<0,

二抛物线开口向下.

：对称轴为直线x=20,

.,.当104x419时，卬随x的增大而增大，

...当x=19时，w有最大值，叱1m=198.

答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元.

【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用.理解题意,

找出等量关系，列出等式是解题关键.

23.⑴见解析;

⑵H

4-772

【分析】（1）过A作AHLOC,根据直角三角形的性质可证出N1=N3,根据A,B两点坐

标，可知。4=08,进而证出ABOE当△Q4",BE=OH,OE=AH,根据等腰三角形的判

定可得A”=C〃，从而可证得结论；

（2）根据点。在线段。4上和点。在线段。4的延长线上分两种情况讨论，利用旋转的性质

答案第10页，共19页

可证得△DMN且△AOM,根据点。的坐标，用含加的代数式分别表示出3M和0M的长,

从而得到结果.

【详解】（1）如图：

，ZBEO=ZAHD=90°

又Zl+Z2=Z2+Z3=90°

・•・Z1=Z3

点44,0),点5(0,4),

OA=OB

ZXBOE乌4OAH

BE=OH,OE=AH

又ZC=Z«4C=45°

・•.AH=CH

/.EC=OH

•.BE=EC

(2)①当0<m<4时，过。作。N_LBO,

答案第11页，共19页

BD=BD',ZDBD'=90。,

，ZDBO+ZiyBN=90o

17N±BO,OBVOD

・••/BOD=/DN'B=90°,/UBN+ZNC/B=90°,

•.ZBDfN=ZOBD

・•・△8Z7N经△BDO

/.DN=BO,BN=OD

0（-4,4-m）,N（0,4-机）.

又/\DMNgZXAOM

NM=OM

・•.M（0,宁）

A4-mm+44-m

BM=4--------=-------,OM=-------

222

.BM"2+4

OM4-nt

m+4"7—4

②当加〉4时，同理8M=——,0M=——，

22

.BM__/n+4

OMm-4

【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定与性质，学会添加辅助

线，构造全等三角形解决问题是解本题的关键.

24.(1)见解析

(2)AD=2BH,证明见解析

【分析】(1)设NA5C=c,根据等边对等角以及三角形内角和求出NA=NC=9(T-；a,

进一步得到44=//血＞,根据旋转的性质得到=利用三线合一即可证明结论；

答案第12页，共19页

(2)延长3,至点M,使BH=HM,证明&HBE怂△HMC(SAS),得到

CM=BE=BD,NBEH=NMCB,再证明△CMB四△BD4(SAS),得出45=8历，相结合即

可得出结论.

【详解】(1)解：证明：设立钻C=cz,

BA=BC,

.­.ZA=ZC=^(180°-ZABC)=90°-^a,

又.AC//BE,

AZEBM=ZA=90°--a,ZBED=ZADE,

2

：。-)。

.ZABD=180NEBC=180°-(NEBM+NA8C=180°-(90-ga+a=90°--a,

2

：.ZA=ZABD.

：.DA=DBABAD为等腰三角形,

又由旋转可得：BD=BE,

NBDE=ABED=ZADE,

平分NADB,

AM=BM.

(2)延长8〃至点M,使=

•点”是EC中点，

EH=CH,又NEHB=NCHM,

△//BE丝△HMC(SAS),

/.CM=BE=BD,NBEH=NMCH,

，BE//CM,

：.ZMCB+NEBC=180°,

VZEBC+ZAB£>=180°,

答案第13页，共19页

，AMCB=ZABD,

又；BC=BA,

ACMB^ABZM(SAS),

：.AD=BM,

，AD=2BH.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解

题的关键是在图形中找到合适的全等三角形，证明全等，得到有用的结论.

25.(1)(10,0),等腰直角三角形

(2)y=-1x2+2x,0卜

⑶①当或9</10时，矩形。EFG的面积随着，的增大而增大；②[=9一严或4

或2手04/25时，矩形OEFG与二A08有重叠且重叠部分为轴对称图形

【分析】(1)作交。8于点。，则。(5,0),得到。£>=5,由二次函数的性质可得

BD=OD=5,即可得出点B的坐标，由勾股定理计算出。A=AB=5五，再由勾股定理逆

定理得出NQ4B=90。，从而推出AQ8的形状；

(2)设抛物线的解析式为y=”(x-5y+5,将8(10,0)代入抛物线得：ax(10-5)2+5=0,

y—-X2+2X

I，,即可求出点C的坐标;

求出。的值，即可得出抛物线解析式，联立

y=—x

.5

(3)①根据题意得E\t,-^t2+2t\,分两种情况：当点。在点C的左侧时；当

点。在点C的右侧时，分别计算即可得到答案；②分三种情况：当矩形DEFG为正方形时,

当矩形DEFG关于抛物线对称轴对称时，当点G在A8上时，分别进行求解即可得到答案.

【详解】(1)解：如图，作交08于点。，

答案第14页，共19页

4(5,5),

/.0(5,0),

:.OD=5,

。、8为二次函数与x轴的交点，

0、B关于直线对称，

..OD=BD=5,

OB=OD+BD=5+5=10,

.,.8(10,0),

OA=^52+52=5A/2，A5=^(5—10)+5-=5^2，

：.OA=AB,

OA2+AB2=(5