2023-2024学年河北省邯郸市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年河北省邯郸市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知数列｛。“｝的前〃项和邑=工，则用=()

n

1111

A.—■B.——C.——D.—

31262

【正确答案】C

a,,n=\

'c、c，可得答案.

｛S.-SQ,«>2

fa.,n=l111

【详解】因勺=、„〃eN,，贝33=邑一52=三一;=一二

区-Si，n>2326

故选：C

2.已知直线/的方向向量为片，平面a的法向量为；，则“,；：工0”是“〃/a”的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.

【详解】若,;：；10,则〃/a或/ua,故充分性不成立，

若〃/a,则,必要性成立，

故是“〃/a”的必要不充分条件，

故选：C

3.双曲线C：，-《=l(a>0,b>0)的离心率为手，则C的一条渐近线方程为()

A.y[lx-y=0B.x-\[2y=0

C.y/6x-y=0D.x-43y=0

【正确答案】B

【分析】根据离心率计算公式，即可容易求得结果.

【详解】因为c的离心率为e=J+(2]=乎，所以,=4，

所以渐近线方程为》±岛=0.

故选：B.

4.在正四面体N8C。中，F是ZC的中点，E是。尸的中点,若DA=ci,DB=byDC=c，则

BE=（）

[XX])!XX)>1XX1>

-a-h+—cC.—a+b+—cD.-a-b+—c

44224422

【正确答案】A

【分析】利用空间向量加减法的运算法则即可得解.

【详解】依题意，结合图形可得,

▼▼八▼▼A▼▼八▼▼八11•T\▼▼八]1▼▼八.，入111Xx1>

BE=BD+DE=-DB+—DF=-DB++-(PA+DC)=-DA—DB+—DC=—a-b+—c.

2224444

故选：A.

5.已知等差数列｛%｝满足《+6+。8+即=12,则2a9-知的值为（）

A.-3B.3C.-12D.12

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的性质若加+〃=P+4则a,„+an=ap+aq可得.

【详解】由等差中项的性质可得，%+&+4+%=4。7=12,解得％=3,

：%+a“=2a<),2为一％1=%=3.

故选：B

6.已知椭圆C:马■+£=I（a>b>0）,若长轴长为8,离心率为则此椭圆的标准方程为

a

A.片+片=122C一+『-1

B.二+占=1D+=1

64486416164-T6T2

【正确答案】D

【分析】根据长轴长求出〃，由离心率为;求出％从而求出6,问题得解.

22

【详解】因为椭圆C:>£=l(a>b>0)长轴长为8,所以2a=8,即“=4,

11

又离心率为:，所以£c=解得：c=2,

则从=a2-c2=12,

所以椭圆的标准方程为：—+^=1.

1612

故选D

本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题.

7.在数列｛《,｝中，已知对任意正整数〃，有q+出++%=2"-1,则如+4+等于

()

A.(2"-1/B.(2〃-

C.4"-1D.1(4"-1)

【正确答案】D

【分析】利用作差法及等比数列的通项公式，结合等比数列的求和公式即可求解.

【详解】当“22时，由°]+。2++an=2"—1,得%+%+1,

所以%=2"_1-(2”T_1)=2"T.

当力=1时,q=2i—l=l,也满足合上式.

所以数列仇｝的通项公式为。“=2"一】

所以a；=4"T.

所以数列｛4｝是等比数列，首项为1，公比为4,

所以吊+a；++a：=)=；(4"-1).

故选：D.

8.在平行六面体/8Cr>-/'8'C'£>'中，底面/8C。是边长为a的正方形，侧棱44'的长为6,

且/4/8=//勿。=120°.贝1」()

A.HC的长为yl2a2-2ab+b2

B.直线87)与/C所成角的余弦值0迎+2y

4a2+2/

C.3D'的长为血户+F

D.直线87）与〉C所成角的余弦值

【正确答案】C

【分析】利用空间向量的运算逐项进行计算即可判断.

【详解】对于A,A'C^A'A+A'B'+A'D'<

'.・1・'・・・

=(AfA+H8'+H0)2=H4+2H4・E+AB厂+24'8,'。+24'/"6+47y

=b2+2abcos600+a2+2a2cos900+2tzZjcos600+(72=2a2+b2+2ab>

所以AC=yjla2+b2+2ab,故选项A错误；

对于B,由题意可知：'cj=J？a,B'D=B'C'+B'A'+B'B，

(B'C'+B'A'+B'B)2=B'C'+2B'C9'A'+B'A'~+2B'A'-'B+BB+2B'B・'C'

=a2+0+/+2^cos120°+62+2abcos60。=2/+〃

所以34=j26+62,

AC9'D=(AB+AD)^'C'+B'A'+B'B)

=AB9'C+AB9'A'+AB91B+AD9'C'+AD9'A'+AD^'B

=0—a2+ab+a2+0+ab=2ab，

2ab6_byj4a2+2b2

所以cos<B'D,AC>=

J2a"2x0a41a1+b2~2/+〃

故选项B错误;

▼▼八^7S▼▼八

2

对于C,BD'=BD+BA+BC，=(BD+BA+BC),

▼▼vx▼▼八▼▼讣▼▼VX^7S'•"•7S▼▼人▼▼VX▼▼八'T■*7^▼▼八

=(BB'+BA+BC)2=BB'-+253'.4+284.C+2BB'・C+BA-+BC

=b2+ab+0-ab+a2+a2=2a2+b2,

所以河=42/+从,故选项c正确；

▼▼▼Z\______________,,个

对于D,由选项B的分析可知：@4=，2力+〃,由题意可知：=

B'D9C=(B'A'+B'C+B'B)・C=B'A'9C+B'C'9C+B'BHe

=0+a2+ah=a2+abf

,**^<,**Ka2+ab(a+b)yj2a2+b2

所以cos<B'D、BC>=

ay/la2+b2-2a2+b2

故选项D错误,

故选：C.

二、多选题

9.已知直线/：+2k=0和圆。：x2+y2=9,则()

A.直线/恒过定点(2,0)B.存在《使得直线/与直线％：x-2y+2=0垂

直

C.直线/与圆。相离D.若左=-1,直线/被圆。截得的弦长为

【正确答案】BD

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，

B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1,从而存在％=-2满足题意，

C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；

当上=-1时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线/：履-夕+2k=0,即y=k(x+2),则直线恒过定点(-2,0),故A错误；

当后=—2时，直线/:Ax-y+24=0与直线/0:x-2y+2=0垂直，故B正确；

•.•定点(-2,0)在圆。：/及2=9内部，；.直线/与圆o相交，故C不正确：

当人=-1时，直线/化为-x-y-2=0,BPx+y+2=0,

圆心O到直线的距离d=*=及，

直线/被圆。截得的弦长为2MA=2而，故D正确，

故选：BD.

10.在棱长为1的正方体/BCD-44GA中，E为线段。。的中点，尸为线段的中点，

则()

A.点4到直线8E的距离为；B.直线尸G到直线4E的距离为粤

C.点4到平面48也的距离为也D.直线FG到平面Z18E的距离为:

33

【正确答案】BD

【分析】建立坐标系，求出向量48：在单位向量〃=蒙上的投影，结合勾股定理可得点4

IBXE\

到直线8f的距离，判断A；先证明/E〃尸£,再转化为点尸到直线4E的距离求解，判断B；

求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线尸£到平面/8£的

距离转化为G到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,

所以点4到直线B、E的距离为优产-(7不台==今，故A错误;

因为AE=(-1,O,|),FC,=(-I,。,：),所以N应/FC：,即AEHFC”

所以点尸到直线/E的距离即为直线FG到直线ZE的距离，

4R.,2^_>/5,7*，n1f5T-

—▼▼=二-7

(---->09y)^^=(0,1,AF=-,AFU=

\AE\210

所以直线用到直线ZE的距离为J。正)2=画，故B正确;

V4105

1

设平面力8g的一个法向量为〃=(x,y,z),AB}=(0,1,1),^=(-1,0,y),AA.=(0,0,1).

X…八

n-AB}=y+z=O,

由〈XTi令z=2,则y=-2,x=l,即“=(1,-2,2).

n•AE=-x+—z=0,

2

设点4到平面的距离为d，则"=1|^"=|，即点4到平面48也的距离为g,故c

错误；

因为NE〃尸6,尸GU平面4Eu平面所以/C"/平面/8E，

所以直线FG到平面/8也的距离等于G到平面48避的距离.GR：(1,0,0),

由(3)得平面的一个法向量为；1(1,-2,2),

所以G到平面”色的距离为当，=1,

所以直线FG到平面4BE的距离为:，故D正确.

故选：BD

11.已知等比数列｛%｝的公比为此其前〃项之积为Z,,且满足。<为<1,。2022a2必-1>0,

如二<0,则()

°2023-1

A.q>1B.a2021a2023—1(°

C.凡23的值是。中最小的D.使<1成立的最大正整数〃的值为4043

【正确答案】ABD

【分析】由等比数列的性质得0<。畋2<1<。2。23,再对选项逐一判断，

a—1

【详解】由a2022a2023T>°，—^^<0得0>0,且0</叱<1<%。23，

“2023—1

对于A,9=皿>1,故A正确,

对于B，。202口2023=^2022<1，故B正确,

对于C,当14〃42022时，当"22023时，an>\,

故马。22的值是Z,中最小的，故C错误,

对于D,63=a猥<1，看044=(a2022a2023产2>1,故使刀,<1成立的最大正整数n的值为4043,

故D正确，

故选：ABD

12.已知动点P在圆C（x-2）2+/=4上，直线/过点。（0,3）,则（）

A.当直线/与圆C相切时，/的方程为5x+12y-36=0

B.当直线/过点R（-LO）时，点P到直线/的距离的最大值为亚+2

10

C.当直线/的斜率为-1时，直线/被圆C所截得的弦长为如

D.若圆C上恰有4个点到直线/的距离为1,则直线斜率丘『6；石16+§26

【正确答案】BCD

【分析】分当直线/斜率不存在和存在时两种情况讨论判断A；求得圆心到直线的距离，再

与半径求和判断B；根据几何法求弦长判断C；根据圆心到直线的距离d<l解不等式判断

D.

【详解】由题知，圆C：（x-2『+/=4的圆心为C（2,0）,半径为r=2.

对于A,当直线/斜率不存在时，方程为x=0,此时圆心C（2,0）到x=0的距离为2,等于

半径，故满足；

当直线/斜率存在时，设方程为夕=履+3,则有毕±斗=2,解得女=-3,故方程为

yj\+k212

5x+12y-36=0,

故当直线/与圆C相切时，/的方程为5x+12y-36=o或x=0,故A错误；

对于B,直线/过点砍T0）时，其方程为由+上1即3*7+3=0,

此时圆心到直线/的距离为L,

io

故点P到直线/的距离的最大值为亚+2,故B正确；

10

对于C,当直线/的斜率为的时,其方程为y-3=-x即x+y-3=0,

此时圆心到直线/的距离为二3=巫，故直线/被圆c所截得的弦长为

V1+12

=2xA=，故C正确；

对于D,若圆C上恰有4个点到直线/的距离为1,则圆心到直线的距离

|2%+3|

设直线方程为履-y+3=0则匕T<i,即次2+12%+8<0,解得

>j\+k

.(—6—2>/3—6+2-^^j,&

ke[---,―-~J,故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13.数列｛q｝的前〃项和S“=/+〃+l,则｛对｝的通项公式

3,〃=1

【正确答案】

2n.n>2

【分析】根据邑=〃2+〃+1求得勺=3,当〃22时，利用q,=S“-S“T求得a”的表达式，验

证首项是否适合，即可得答案.

【详解】由题意数列｛".｝的前"项和S.=/+”+l,则％=SI=3,

当“22时，%=5”-5,1=〃2+〃+1-5—1)2—(〃-1)_1=2〃，

q=3不适合上式,

3,H=1

故｛凡｝的通项公式。“=

2nyn>2'

3,〃=1

故

>2

14.抛物线C:『=-I2x的焦点为F,尸为抛物线C上一动点，定点/(-5,2),则仍闻+|尸尸|

的最小值为

【正确答案】8

【分析】根据抛物线的定义，将I尸用转化为P到准线的距离，再结合图形可求出结果.

【详解】由/=-12x,得下(-3,0),准线方程为：x=3,

则⑼+附|=|叼+1914W|=3-(-5)=8,

当且仅当三点共线时，等号成立.

故8

15.已知正三棱柱/8C-44G的所有棱长都相等，M是侧棱CG的中点，则异面直线/耳和

【正确答案】0

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出/心(道,1,2),=(-73,1,1),

计算二者的数量积，即可得答案.

【详解】设/C中点为。，4G中点为。一

由正三棱柱性质知。q，底面/2C,/C,O8U底面42C,

则00、±AC,OO}1OB,

又底面N8C是等边三角形，。是4C中点，

则ZC108.

以。为原点，OB,0C,00,所在直线分别为x轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系，

设正三棱柱ABC-A^Q的棱长都为2,

则/(0,-1,0),(^3,0,2),5(^3,0,0),“(0,1,1),

,一.，、...，、

/4=(6,1,2),=(-73,1,1),则欣:点=一3+1+2=0

二AB11BM,

即异面直线/片和BM成角的余弦值为0,

故0.

16.已知椭圆。：，+，=1(。>6>0)的左，右顶点分别为/,B,且椭圆C的离心率为粤，

点尸是椭圆C上的一点，且tanNPN8=!，则tan//P8=.

4

【正确答案】七##-1.1

【分析】由已知，根据题意画出示意图，分别设出点尸、48坐标，并表示出直线P/、直

r21L21

线PB的斜率，根据已知的离心率得到%再根据结合已知tan/P/8=；

2

得到tan/PR4=§,然后利用正切和差公式

tan乙4PB=tan（兀一ZPAB-NPBA）=-tan（ZPAB+APBA｝可直接求解.

【详解】由己知，椭圆。:0+乌=1（。＞6＞0）的左，右顶点分别为4B,如图所示,

a2h

'Bx

椭圆C的离心率为华，所以?=1一e2=l［半］=:,

设点P在x轴上方，点4（-七0）,8（a,0）,P（x,y）,

222

因为点P在椭圆上，所以「+与=1=/=＞三，

ab2a

所以NPAB为直线PA的倾斜角，NPBA为直线PB的倾斜角，

则％4'=tanZP^B=—,•=tan（兀一Z.PBA）=一tanZPBA,

1，

x+ax-ax2x-a6

所以tanNPB4=-kPR=-*■=-'

k0,3

所以tanZ.APB=tan(兀一Z.PAB-Z.PBA)=-tan(Z.PAB+ZPBA)

12

tanZ.PAB+tanZ.PBA4*311

—1-tanZP^tanZPB^~~~"To,

1—x—

故答案为.-蒋

四、解答题

17.在等差数列｛%｝中,a2+a3=-10,前12项的和凡=-96.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若数列｛%+。｝为以1为首项,3为公比的等比数列,求数列｛£｝前8项的和.

325

【正确答案】(1)%

4o

(2)3332.

【分析】（1）根据已知求出力=-3414=-3，即得解；

o4

（2）求出〃=3~+3"+年，再利用分组求和求解.

4o

【详解】（1）解：设公差为，，因为％+6=-10,前12项的和配=-96,

所以2q+3d=—10』2qd=-96,解得％=-?,d=—7,

284

325

所以=%+（〃-1）d=--w--.

（2）解：由题意得凡+A=3〃T,所以2=3"T+'+=，

4o

所以数列帆｝前8项的和为（30+3i+32++37）+（（1+2+3++8）号XW

1738x925„

=----+------+—x8=3332.

1-3428

18.如图四边形/8CO是边长为3的正方形，OEJ■平面/BCD,AF//DE,DE=3AF.

（1）求证：/C_L平面8CE；

⑵若BE与平面ABCD所成角为60,求二面角F-BE-D的正弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

旭

13

【分析】（1）由已知可得DE1/C且/Cl8。,由线面垂直的判定定理即可得到证明；

（2）以。为原点,D4方向为x轴,。C方向为了轴,OE方向为z轴建立空间直角坐标系，利用

已知条件求出平面8DE的一个法向量和平面3E尸的一个法向量，利用向量的夹角公式计算

即可.

【详解】(1)因为。EJ_平面/8CZ),NCu平面/8CO,所以DE1/C

因为四边形/8C。是正方形，所以4CJ.BD

又因为BDcDE=D,BDu平面8£>E,OEu平面

所以/C_L平面BDE

(2)OEJL底面力88,D4,OCu平面/8CD,

：.DEIDA,DE1DC,

四边形Z88是正方形，..D4_LOC

故D4,DC,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。-邙，

因为8E与平面488所成角为60%,。£，平面48(?。，且垂足为。,

DFr-

故ND8E=60",所以==

DB

又4D=3,DE=34F,所以8。=3及，DE=3瓜AF=痴，

所以/(3,0,0),8(3,3,0),F(3,0,V6),E(0,0,3病,C(0,3,0),

所以B£=(0,-3,痴),EF=(3,0,-2病

设平面8£下的一个法向量，£=",3),

X■■,、

m-BF=-3y+'j6z=0八「

则XE.,令z=«>,则，“=(4,2,太)

用•EF=3x-2j6z=0

因为4C_L平面BDE,

所以C：为平面50E的一个法向量，C4=(3,-3,0).

XF

XT3x4+(-3)x2+0x>/6J13

所以cos〈m,C4〉

喻可"+22+(扃次+(-3)2+()213'

所以sin〈M=》怪.辔，

所以二面角尸的正弦值为噜.

19.已知数列的前〃项和为S“，5=2,5„tI=2S„+2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若b„=log2a„,数列也｝的前n项和为7；.

【正确答案】(1)%=2"

【分析】(1)根据题意构造函数可得S,川+2=2(5“+2),可得⑸+2｝为首项是号+2=4,

公比为2的等比数列，所以S,,=2"'-2,再利用4和S,,之间的关系求知即可；

(2)由",=log2a,,=log"""？，利用等差数列求和即可得解.

【详解】(1)由S,川=2S,,+2可得S,,M+2=2(S.+2),而S1+2=4H(V.S,+2HO,

S+2

所以宅七？=2,所以｛S“+2｝为首项是4,公比为2的等比数列，

%+N

所以5“+2=42"-|=2向，

所以S"=2"M-2,

+,

当〃22时，an=S„-S,i=2"-2"=2",

当枕=1时，q=E=2也满足上式，

所以a“=2”；

u

(2)=log2a„=log22=n,

已知抄“｝为首项为1公差为1的等差数列，

所以7=旦±也=j

"22

20.已知椭圆的中心为坐标原点O,左右焦点分别为耳，F,,短轴长为2,离心率e=旦,

2

过右焦点鸟的直线/交椭圆于尸，。两点.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）当直线/的倾斜角为£时，求△尸耳。的面积.

4

【正确答案】⑴工+且=1.

21

【分析】（1）根据条件列出关于b,。的式子，利用待定系数法求椭圆方程;

（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示三角形的面积.

2h=2

a=y/2

e=±=4-,解得:.“2_1

【详解】（1）b=T

a221

c-1

a2=b2+c2

（2）倾斜角为=6（1,0）,

T谒+同=|处-切=+yJ-4%坨

y=x-1

x22,,得3/+2y-l=0,

T+r=1

2

A=4+4x3xi>o,y+y（）=-->y-y=-

PPQ3

：.S=

933

22）2

21.已知双曲线C：£一为=1（〃>0,6>0）与双曲线卷-5=1的渐近线相同，且经过点

（2,3）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知双曲线C的左、右焦点分别为耳，F2,直线/经过用，倾斜角为彳兀，/与双曲线C交

于48两点，求尸第5的面积.

【正确答案】（1%-上=1

3

⑵60

【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；

（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去》后由韦达定理得

x,+x2,x,x2,从而由弦长公式求得弦长|/8|,再求出片到直线48距离后即可求得耳55的

面积.

【详解】（1）依题意，设所求双曲线c方程为廿-二=义，

62

代入点（2,3）得=即2=4,

所以双曲线C方程为广-工=-L即/-片=1.

6223

（2）由⑴得,2=1+3=4,则C=2,4（-2,0）,鸟（2,0）,

Q47r

又直线/倾斜角为=兀，则左=tan；=-l,故直线的方程为y=-（x-2）,

44

设力（七,必），8（”2），

y=-[x-2)

2

联立,V,消去儿得2X2+4X-7=0,

x2-^-=\

3

7

则A=16-4x2x(-7)>0,Xj+x2=-2,x,x2=——

7

由弦长公式得|/同=-q=J]+(T)2x(-1y-4=y/2X3^2=6，

又点片（-2,0）到直线/8:x+y-2=0的距离d=心卢3=2四,

所以s”=：MM3=；x6x2立=60.

22.已知I：在四棱锥P-/8CQ