2023-2024学年陕西省西安市部分学校九年级上学期开学考试数学试卷含详解

2023-2024学年度第一学期九年级

第一次学科素养测试数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列属于一元二次方程的是（）

A.x2-3x+y=0B.x2+2x=-C.x2+5x=0D.-4x)=3

y

2.正方形具有而菱形不一定具有性质是（）

A.对边相等B.对角线相等C.对角相等D.对角线互相平分

3.将一元二次方程3/=5x—1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）

A.3,5B.3,1C.3x2，-5xD.3,-5

4.根据下列表格的对应值:

X11.11.21.3

229

X2+12X-15=0-2-0.590.54

由此可判断方程必+I2x-15=0必有一个根满足()

A.B.l.l<x<1.2C.1.2<x<1.3D.x>\.3

5.已知在菱形ABC。中，AB=IO,BD=16,则菱形A3CZ）的面积为)

A.160B.80C.40D.96

6.关于x的一元二次方程近2—2x+l=o无实数根，则左可能是（）

2

A.OB.-1C.2D.3

7.如图，将矩形纸片ABC。沿对角线AC对折，使得点3落在点E处，CE交于点F,若C石平分NAC。,

AF=2，则CO的长是（）

G+i

A.1.5B.Gc+1

T2

8.如图，E、F、G、，分别是四边形ABC。边48、BC、CD、AO的中点，若中点四边形£FG”是矩形，则

需要满足的条件正确的是（）

A.AC1BDB.AC=BDC.AC与BD互相平分D.四边形A8CO是矩形

9.关于代数式x2_4x+5的判断，下列正确的是（）

A.有最小值2B.有最大值1C.有最小值1D.有最大值2

10.如图，在正方形ABC。中，M是边BC上一点，E是CO的中点，AE平分NZMM，下列结论：①MELAE，

②"E平分/AMC,③NmE=30°,@AM^AD+CM,正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.一元二次方程x2=3%的根是.

12.若关于x的方程（加一4）J'"T+2x—5=0是一元二次方程，则，〃=.

13.若〃为方程丁―3%一6=0的一个根，则代数式—3/+94-5的值为一.

14.现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植

花草的面积为864m，设小道的宽度应是初，列方程得：.

15.如图，在矩形ABCD中，E是8C边上一点，NA£D=90°,ZEAD=30°,/是AO边中点，EF=2cm,

则BE=cm.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=2.5,AD=14，点E在上且OE=2.点G为AE的中点，点尸为BC

边上的一个动点，尸为石尸的中点，则G尸+E尸的最小值为

三、解答题(共7小题)

17.计算

(1)2(1)2=18

(2)X2-4X-3=0(配方法)

⑶2x2-2y[2x+\=0

(4)x(2x—5)=4x—10

18.尺规作图:

如图，在矩形ABC。中，将矩形纸片折叠，使点8与点。重合，请在图中画出折痕.(不写画法，保留作图痕迹)

D

秋

19.己知：如图，nABCD中，AC=BC,M、N分别是AB和CD的中点，求证：四边形AMCN是矩形.

20.已知关于x的一元二次方程加+2)x+2/〃=0

(1)求证：不论〃?为何值，该方程总有两个实数根;

（2）若方程一个根是1，求"?的值及方程的另一个根.

80相交于点O，AEBD,BE//AC.

（2）若A3=2，OB=3,求的长及四边形,。的面积.

22.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长

36米.

（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为180平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?

（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？

23.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动.

（1）操作判断

操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；

操作二：将三角板AQD沿C4方向平移（两三角板始终接触）至图2位置.

根据以上操作，填空：

①图1中四边形ABCD形状是；

②图2中A4'与CC'的数量关系是；四边形ABCD'的形状是

（2）迁移探究

小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板A3边长为6cm,过程如

下:

将三角板AC。按(1)中的方式操作，如图3,在平移过程中，四边形ABCZ)'的形状能否是菱形，若不能，请

说明理由，若能，请求出CC'的长.

(3)拓展应用

在(2)的探究过程中：

①当BCC'为等腰三角形时，请直接写出CC'的长；

②直接写出BC'+E)'的最小值.

2023-2024学年度第一学期九年级

第一次学科素养测试数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列属于一元二次方程的是（）

A.x2-3x+y=0B.丁+2%=；c.X2+5X=0D.%（x2-4x）=3

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二

次方程.逐个判断即可.

【详解】解：A.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B.方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

D.方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键.

2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.对边相等B,对角线相等C.对角相等D.对角线互相平分

【答案】B

【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论.

【详解】正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；

菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；

因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等.

故选B.

【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键.

3.将一元二次方程3/=5x—l化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）

A.3,5B.3,1C.3x2.-5xD.3,-5

【答案】D

【分析】一元二次方程的一般形式是0?+灰+0=0,先化成一般形式，再求出二次项系数和一次项系数即可.

【详解】解：3/=5x7，

二3X2-5X+1=0.

二次项系数和一次项系数分别为3、-5,

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：系数带着

前面的符号.

4.根据下列表格的对应值：

11

X11.21.3

X2+12X-15=0-2-0.590.542.29

由此可判断方程炉+12》-15=0必有一个根满足（）

A.1<%<1.1B.l.l<x<1.2C.1.2<x<1.3D.x>1.3

【答案】B

【分析】利用表中数据得到x=l.l时，%2+12X-15<0,E.2时，X2+12X-15>0,则可判断

丁+12彳-15=0时，有一个根满足Ll<x<1.2.

【详解】解：.."=1.1时，X2+12X-15=0=-0.59<0,

x=1.2时，x2+12x-15=0.54>0,

时，存在》2+12%-15=0，

即方程—+12X-15=0必有一个解x满足1.1<%<1.2,

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题时注意将方程与函数相结合.

5.已知在菱形ABCD中，A3=10,80=16,则菱形ABCD的面积为（）

A.160B.80C.40D.96

【答案】D

【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得。4的长，从而得到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积.

【详解】解：：四边形ABCD是菱形，80=16,

/.AC±BD,0B=-BD=S,

2

：在Rt_AQ3中，AB=10,

AO=S!AB1-OB1=6'

/.AC=2A0=n,

麦形aABliCDr,=—2ACxBD=96.

故选D.

【点睛】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键.

6.关于x的一元二次方程依2-21+,=0无实数根，则人可能是（）

2

A.0B,-1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式A<0,即可得出关于左的一元一次不等式，解之选择即可.

【详解】解：关于x的一元二次方程依2一以+1=0无实数根，

,I

.•.女00且4=（-2）--4*5&<0,

解得：女>2且左。0,

：.k>2；

选项中只有3符合，

故选：D.

【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当A<0时，方程无实数根”是解题的关键.

7.如图，将矩形纸片ABC。沿对角线AC对折，使得点8落在点E处，CE交AO于点凡若CE平分NACD,

AF=2,则8的长是（）

c.3+1G+1

A.1.5B.6

22

【答案】B

【分析】根据矩形的性质得ND=N8CD=90。，AD//BC，由平行线的性质得NZMC=NACB,由折叠的性

质得NACB=NACE,于是NC4b=NAb,则AF=CF=2,证明NAC6=44。/=/"7)=30°即可.

【详解】解：...四边形ABC。为矩形，

；.ZD=NBCD=90°,AD//BC,

：.ZDAC^ZACB,

由折叠可知，ZACB^ZACE,

：.ZCAF^ZACF,而AF=2，CE平分NACO,

AAF=CF=2,ZACB=ZACF=ZFCD=30°,

1------------

：.DF=-CF=],CD=h-f=5

故选：B.

【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、利用平行线的性质和折叠的性质推

出A/=CF=2是解题关键.

8.如图，E、F、G、〃分别是四边形A8CD边AB、BC、CD、A£＞的中点，若中点四边形EFG”是矩形，则

需要满足的条件正确的是（）

A.AC1BDB.AC=BDC.AC与5。互相平分D.四边形ABC。是矩形

【答案】A

【分析】根据三角形的中位线定理可得HG=EF=L4C,HG//EF//AC,EH=FG=、BD,

22

EH//FG//BD,从而得到四边形瓦G”为平行四边形，再根据矩形的判定，进行判断即可得到答案.

【详解】解：点E、F、G、4分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、AO的中点，

.•.砂是的中位线，用是，AC£）的中位线，是△A8O的中位线，FG是△BCD的中位线，

..HG=EF=-AC,HG//EF//AC,EH=FG=-BD,EH//FG//BD,

22

四边形EFGH为平行四边形，

A、若ACIBD,则石下_LEH，则四边形石以阳矩形，符合题意;

B、若AC=8D,则HG=EH,四边形EPG〃为菱形，不能判定四边形EFG”为矩形，不符合题意；

C、AC与6。互相平分，不能判定四边形EEG"为矩形，不符合题意；

D、四边形ABC。是矩形，得AC=BD,则HG=EH,四边形£FG”为菱形，不能判定四边形EFG”为矩

形，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握三角形中

位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，是解题的关键.

9.关于代数式Y-4x+5的判断，下列正确的是（）

A.有最小值2B.有最大值1C.有最小值1D.有最大值2

【答案】C

【分析】将代数式4x+5配方，根据平方的非负性判断最值，选择正确答案即可.

【详解】解：x2-4x+5=x2-4x+4+l=(x-2)2+1,

(x-2『NO,

二当x=2时，代数式f—4x+5取得最小值i,

故选：C.

【点睛】本题考查了代数式配方法判断最值，掌握配方法是解题的关键.

10.如图，在正方形48CD中，M是边3C上一点，E是CD的中点，AE平分NZMM,下列结论：①MELAE，

②ME平分NAMC，③//%£=30°,®AM=AD+CM,正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由“AAS”可证4ADEQ4NCE,可得AD=NC,AE=EN,可得

AM=MN=NC+MC=AD+MC,故④正确，由等腰三角形的性质可得A£J_£M，ME平分/AMC，故

①②正确，由NZME=30°可得..ABA/g.Aa以，则AB=AE，与AE>4）=A5互相矛盾；故③错误；即可

求解.

【详解】解：如图，延长AE交的延长线于点M

:.AD//BC.

：.NDAE=NCNE.

,/AE平分ND4M，

•••ZDAE=ZMAE.

：.ZCNE=ZMAE.

：.AM=MN.

是CO边的中点，

DE=CE，

'NDAE=NCNE

在VADE和△NCE中，,ZAED=/NEC,

DE=CE

：.AADE咨ANCE,

:•AD=NC,AE=EN,

AM=MN=NC+MC=AD+MC,故④正确，

,:AM=MN,AE=EN,

AAE±EMME平分/AMC,故①②正确，

若//%£=30°,则NM4£=3O°,

ZBAM=30°,

；ZB=ZAEM=90°，AM^AM，

•••.ABM£AEM，

AAB=AE，与AE>AD=AB互相矛盾；故③错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形全等是解

题的关键.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.一元二次方程f=3x的根是.

【答案】占=0,4=3##$=3,马=。

【分析】首先把3x移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案.

【详解】解：f=3x，

移项得：f一3%=0，

/.x(x-3)=0,

%=0或%-3=0,

Xi=0,光2=3.

故答案为：x,=0,x2=3.

【点睛】本题考查一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分

解法，本题运用的是因式分解法.结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

12.若关于x的方程(加—4)J*Z+2x—5=0是一元二次方程，则〃2=.

【答案】0

【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可.

【详解】解：根据题意可得加一4。0,帆-2|=2,

解得722=0,

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

13.若。为方程%2-3%-6=0的一个根，则代数式—3/+9a—5的值为一.

【答案】-23

【分析】先根据一元二次方程的解的定义，再用整体代入即可求解.

【详解】解：为方程3x—6=0的一个根，

；♦a2—3a—6—0>

a2-3a-6<

-2>ci~+9a—5--3(cr-3a)—5-—3x6-5--23.

故答案为：-23.

【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键记住：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元

二次方程的解.

14.现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植

花草的面积为864m2,设小道的宽度应是刈1,列方程得：

【答案】(40—2x)(26—x)=864

【分析】设小道的宽度应为xm,则剩余部分可合成长为(40-2x)m,宽为(26-x)m的矩形，根据矩形的面积计算公

式，结合种植花草的面积为864m,即可得出关于x的一元二次方程.

【详解】设小道的宽度应为xm,则剩余部分可合成长为(40-2x)m,宽为(26-x)m的矩形，

依题意得：(40-2x)(26-x)=864.

故答案为：(40-2x)(26-x)=864.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

15.如图，在矩形ABCD中，£是3C边上一点，NA£D=90°,ZEAD=30°,尸是AO边的中点，EF=2cm,

则BE=cm.

【答案】3

【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AZ)长，再根据矩形的性质得出AZ)〃BC,

?B90?,结合/E4£>=30°,根据含30°角的直角三角形计算出BE即可.

【详解】解：皮>=90°,尸是A。边的中点，EF=2cm,

AD=2EF=12cm,

VZ£A£>=30°,

DE=^AD=2cm,AE=£DE=26cm，

又•••四边形ABC。是矩形，

/.AD//BC,?B90?,

；•ZBEA=AEAD=30°,

AB=-AE=43cm,

2

BE=#,AB=3cm，

故答案为：3.

【点睛】本题考查了矩形的性质直角三角形斜边上的中线以及含30。角的直角三角形的性质，利用直角三角形斜

边上的中线求出AD的长是解题的关键.

16.如图，在矩形A8CD中，AB=2.5,AD=14.点E在AD上且。E=2.点G为AE的中点，点P为BC

边上的一个动点，尸为EP的中点，则GR+防的最小值为.

13

【答案】—

2

【分析】首先证明GF+EF=：(PA+PE),求出PA+PE的最小值即可，作点A关于BC的对称点T，连接ET交

BC于尸'，此时PE+P'A的值最小.

【详解】解：如图，连接R4.

AG=EG,EF=FP，

:.GF=-PA,

2

.-.GF+EF=^(PA+PE),

求出Q4+PE的最小值即可，

作点A关于的对称点T，连接ET交BC于尸'，此时PE+PA的值最小，

四边形A3QD是矩形，

:.ZEAT=90°,

AB=BT=2.5,

：.AT=5,

4)=14,DE=2,

:.AE=AD-DE=\4-2=12,

P'E+P'A=P'E+P'T=ET=y/AE2+AT2=V122+52=13，

113

.•.EG+EF的最小值为—xl3=—,

22

13

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查轴对称一最短问题，三角形中位线定理，矩形的性质

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题.

三、解答题(共7小题)

17.计算

(1)2(1)2=18

(2)X2-4X-3=0(配方法)

⑶2--2&x+l=0

(4)x(2x-5)=4x-10

【答案】（1）X]=4,x?=—2

（2）=2+V7，=2-V7

（3）x=--

2

（4）x=2,x=—

-72

【分析】(1)方程变形后直接利用开平方法求解;

(2)利用配方法求解即可；

(3)利用完全平方公式求解即可；

(4)移项后，利用提取公因式法解方程即可.

【小问1详解】

解：：2(x—1产=18

...（X—1）2=9,

x—1=±3,

解得X]=4,x2=-2；

【小问2详解】

解：f—4》—3=0

移项，得f―4x=3，

方程两边同加上4，得f—4%+4=7,

即（x-2）2=7,

x—2—土币，

解得芭=2+5，^=2-77；

【小问3详解】

解：2X2-2A/2X+1=0>

B|J（V2X-1）2=0,

V2x-l=0>

解得x=立；

2

【小问4详解】

解：x（2x-5）=4x-10,

x（2x—5）—（4x—10）=0,

x（2x-5）-2（2x-5）=0,

・・・（x-2）（2x-5）=0,

*,•工-2=0或2%一5=0,

解得西=2,x2=^.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目中的要求和方程的特点选取适当的方法是解题的关键.

18.尺规作图：

如图，在矩形A3C3中，将矩形纸片折叠，使点3与点。重合，请在图中画出折痕.（不写画法，保留作图痕迹）

朴

【答案】见解析

【分析】利用直尺和圆规作出3。的垂直平分线即为折痕.

【详解】如下图，连接8。，作8。的垂直平分线/，点B与点。关于直线/对称，则直线/即为折痕.

【点睛】本题考查了作图，解决本题关键是结合儿何图形的性质，作出

图形.

19.已知1：如图，nABCD中，AC=BC,M、N分别是AB和CD的中点，求证：四边形AMCN是矩形.

【答案】见解析

【详解】试卷分析：由平行四边形的性质得出AB〃CD,AB=CD,由已知条件得出AM〃CN,AM=CN,证出四边

形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出NCMA=90。，即可得出四边形AMCN是矩形.

证明：：四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AB=CD,

•••M、N分别是AB和CD的中点，

，AM=BM,AM〃CN,AM=CN,

四边形AMCN是平行四边形，

又：AC=BC,AM=BM,

ACM±AB,

.".ZCMA=90°,

四边形AMCN是矩形.

考点：矩形的判定；平行四边形的性质.

20.己知关于x的一元二次方程9—（加+2）x+2w=0

（1）求证：不论〃?为何值，该方程总有两个实数根；

（2）若方程的一个根是1，求加的值及方程的另一个根.

【答案】（1）见解析（2）m=1；2

【分析】（1）证明A="2_4ac上0，即可得到结论；

（2）先把x=l代入原方程求解，小再利用根与系数的关系内・々=£,求解另一个根即可.

a

【小问1详解】

证明：=b=-（m+2）,c=2m,

△=82-4ac=[—（m+2）丁一4x1x2m=m2+4m+4-8m-nr—4m+4=（m-2）'>0,

.•.不论加为何值，该方程总有两个实数根；

【小问2详解】

解：将x=l代入原方程得：1一（根+2）+2加=0,

m=1,

...原方程为/一3》+2=0，

x,-x--=2,

-2a

：2+1=2，

方程的另一个根为2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运用一元二次方程根的判

别式、根与系数的关系是解题的关键.

21.如图，在矩形A8CO中，AC,80相交于点。，AEBD,BE//AC.

（1）求证：四边形。是菱形；

（2）若AB=2，OB=3,求A£>的长及四边形他B。的面积.

【答案】（1）见解析（2）AD=4C，S菱形A£BO=4及

【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可；

（2）在Rt.84。中，由勾股定理即可求AO的长，连接£0交AB与M，先求即可求出面积.

【小问1详解】

证明：BD,BE//AC,

四边形AEB0是平行四边形，

：四边形ABC。是矩形，

AO=CO,BO=DO，AC=BD，

OA=OB，

四边形是菱形；

【小问2详解】

解：；四边形ABC。矩形，

ZZMB=90°,BO=DO,

VOB=3,AB=2，

BD=6，

由勾股定理得：AD=^BD2-AB2=>/62-22=4>/2，

连接E。交AB与A/，如图所示，

由（1）知四边形A£B。是菱形，

AOE±AB,AM=BM，EM=OM,

由勾股定理得：OM=y/OB2-BM2=A/32-12=2V2>

，0E=4万

S菱形AEB0=gE°xAB=gx4逝X2=472.

【点睛】本题考查简单几何问题，涉及到矩形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理等，灵活运用所学知识是关键.

22.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长

36米.

18m

(1)若墙长为18米，要围成鸡场面积为180平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？

(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？

【答案】(1)宽是10米，长为18米

(2)不能达到，见解析

【分析】(1)先设养鸡场的宽为x米，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符

合题意；

(2)设养鸡场的宽为x米，根据题意得：x(36—2x+2)=200,整理得：,19^+100=0-根据方程的判别

式的符号判断方程解的情况，即可作答.

【小问1详解】

设养鸡场的宽为x米，根据题意得：

x(36-2x+2)=180,

解得：%〕=10，/=9，

当x=10时，36-2x+2=18,

当x=9时，36-2x+2=20>18,(不符合题意，舍去)，

则养鸡场的宽是10米，长为18米.

【小问2详解】

设养鸡场的宽为x米，根据题意得：

x(36一2x+2)=200,

整理得：X2-19%+100=0.

即△=(-⑼)-4x2x200=361-400=-39<0,

因为方程没有实数根，

所以围成养鸡场的面积不能达到200m2.

答：围成养鸡场的面积不能达到200mL

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出

方程是解题的关键，注意宽的取值范围.

23.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动.

图1图2图3

（1）操作判断

操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；

操作二：将三角板AC。沿C4方向平移（两三角板始终接触）至图2位置.

根据以上操作，填空：

①图1中四边形ABCD的形状是；

②图2中A4'与CC'的数量关系是；四边形ABCD'的形状是.

（2）迁移探究

小航将一副等腰直角三角板换成一副含30。角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm,过程如

下：

将三角板ACO按（1）中的方式操作，如图3,在平移过程中，四边形A5C'。'的形状能否是菱形，若不能，请

说明理由，若能，请求出CC的长.

（3）拓展应用

在（2）的探究过程中：

①当为等腰三角形时，请直接写出CC'的长：

②直接写出BC'+BD'的最小值.

【答案】（1）①正方形；②AA'=CC',