青海省百所名校2024届高三下学期二模考试理科数学试卷（含解析）

高三数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的虚部为（）A.6 B.-6 C.8 D.-83.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.4.若圆M：（）与双曲线C：的渐近线相切，则（）A.1 B.2 C. D.5.2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（）A.2017年至2022年该省年生产总量逐年增加B.2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元C.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低D.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%6.已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（）A. B. C. D.7.如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（）A. B. C. D.8.在等差数列中，，，设，记为数列的前n项和，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.89.已知函数则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（）A.①② B.①③ C.②③④ D.①②④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若x，y满足约束条件则的最大值为_____________.14.青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示.若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为_____________.15.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为____________.16.已知P是正六边形边上任意一点，且，，则__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.17.（12分）某企业近年来的广告费用x（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所示，已知y与x之间具有线性相关关系.年份20182019202020212022广告费用x/百万元1.51.61.71.81.9利润y/千万元1.622.42.53（1）求y关于x的线性回归方程：（2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润.参考公式：，.18.（12分）在中，已知，D为上一点，，，且.（1）求的值；（2）求的面积.19.（12分）如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.（1）证明；⊥平面.（2）若二面角的正弦值20.（12分）已知F是抛物线C：（）的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于.（1）求C的方程；（2）若l的斜率大于0，A在第一象限，过F与l垂直的直线和过A与x轴垂直的直线交于点D，且，求l的方程。21.（12分）已知函数，曲线在处的切线的斜率为.（1）求a的值：（2）证明：当时，.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（t为参数）.（1）写出及的普通方程；（2）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标.23.［选修4-5；不等式选讲］（10分）已知a，b，c均为正实数，且，证明：（1）；（2）若，则.高三数学试卷参考答案（理科）1.B当时，满足；当时，满足；当时，不满足.所以.2.C，所以复数z的虚部为8.3.B因为为锐角，，所以，.4.A双曲线C的渐近线方程为，不妨取，点到直线的距离为.因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以.5.C2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确.2017年至2022年该省年生产总量的极差为亿元，B正确.2021年该省年生产总量的增长速度比2020年高，C错误.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%，D正确.6.D结合二次函数的性质可得解得.7.A由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，.8.B设的公差为d.因为，所以，，则，，.因为，所以，解得.9.A函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在定义域上单调递减.因为，所以，解得.10.D当时，.由题意可得，解得.11.D取的中点为F.因为，面积为，所以梯形的高为，则，连接，所以为等边三角形，点F为梯形外接圆的圆心.连接，在中，根据余弦定理得，所以.因为，，所以，所以.因为，所以平面.过的中点F作交于点O，则平面，且O为的中点，所以点O为外接圆圆心，所以O为四棱锥外接球球心，所以外接球半径为，故表面积.12.D令，得，所以.令，得，所以为奇函数，故①正确.令，得，所以，，故③错误.因为，所以，…，，所以，所以，故②正确.当时，，所以在上单调递减，故④正确.13.2由题意，作出可行域（图略），数形结合可得当直线过点时，z取得最大值，最大值为2.14.豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻，则芝麻馅的青团不能放在中间，其概率为.15.设，则直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为.令，得，即.设O为坐标原点，因为|，所以，解得.16.以正六边形的中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，分别交y轴于点G，H，则，，，，，，，.设，则，，.根据正六边形的对称性，不妨只研究点P位于y轴的左半部分的情况，分以下四种情形：①当点P在上时，则，，则，不满足.②当点P在上时，则，，则，不满足.③当点P在上时，直线的方程为，则，.因为，所以，解得或（舍去），.④当点P在上时，直线的方程为，则，不满足.所以当时，，，，，，.17.解：（1），. 2分， 4分， 6分， 7分. 8分故所求的线性回归方程为. 9分（2）由题可知，到2025年时广告费用为2.2百万元，故可预测该公司所获得的利润约为（千万元）. 12分18.解：（1）在中，，所以. 3分在中，，，所以. 6分故. 8分（2）在中，由余弦定理可得，解得， 10分则. 11分故的面积为. 12分19.（1）证明：设D为的中点，连接，，.在中，因为，，所以四边形是正方形.因为，所以是等腰直角三角形，.因为，所以平面. 4分因为平面，所以.在中，，O为的中点，所以.因为，所以平面. 6分（2）解：设三棱柱的棱长为，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.，，. 7分设平面的法向量为，则可取. 8分设平面的法向量为，则可取.因为平面平面，所以平面的一个法向量为. 10分，，故二面角的正弦值为. 12分20.解：（1）由题意得C的焦点为，准线为直线， 1分则A，B到准线的距离之和等于. 2分因为，所以，且，得.故C的方程为. 4分（2）设l：（），（），，由得，则 6分所以. 7分设，由，得，即， 9分所以. 10分由，得，代入，得，即.故l的方程为. 12分21.（1）解：，，解得. 4分（2）证明：结合（1）可得，即证. 6分设函数，.当时，，在上单调递增，. 8分设函数，.当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，. 11分所以，得证. 12分22.解：（1），即.，所以，所以的普通方程为（）. 2分，即.因为，所以，所以的普通方程为（）. 5分（2）联立解得或或 8分与交点的