专题探究课一高考中导数问题热点题型

热点一利用导数解决函数的单调性热点二利用导数求解函数的极（最）值热点三利用导数研究函数的零点或曲线交点问题热点四利用导数解决不等式问题热点突破热点一利用导数研究函数的单调性、

极值与最值热点突破热点一利用导数研究函数的单调性问题解(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.从而y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e.(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.①当a＝0时，若x＜0，则f′(x)＜0，若x＞0，则f′(x)＞0.所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．热点突破热点一利用导数研究函数的单调性问题热点突破热点一利用导数研究函数的单调性问题综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；热点突破热点一利用导数研究函数的单调性问题【训练1】已知函数f(x)＝exlnx－aex(a≠0)．(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ey－1＝0垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．f′(1)＝(1－a)e，若f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，则f′(x)≤0，在(0，＋∞)上恒成立．热点突破热点一利用导数研究函数的单调性问题【训练1】已知函数f(x)＝exlnx－aex(a≠0)．(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．由g′(x)＞0得x＞1，故g(x)在(0，1]上为单调递减函数，在[1，＋∞)上为单调递增函数，此时g(x)有最小值为g(1)＝1，但g(x)无最大值．故f(x)不可能是单调递减函数．若f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，由上述推理可知此时a≤1.故a的取值范围是(－∞，1]．热点突破热点一利用导数研究函数的单调性问题热点突破热点二利用导数研究函数的极(最)值求解极(最)值问题，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念．该类问题命题的主要方式有：(1)求解函数的极(最)值；(2)利用函数的极(最)值求参数的取值范围．热点突破热点二利用导数研究函数的极(最)值[考查角度一]

运用导数求函数的极(最)值解(1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，所以a＝1.热点突破热点二利用导数研究函数的极(最)值[考查角度一]

运用导数求函数的极(最)值(2)由(1)知f(x)＝(x＋1)lnx，当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根．当x∈(0，1]时，h(x)＜0.热点突破热点二利用导数研究函数的极(最)值[考查角度一]

运用导数求函数的极(最)值所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0，所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增，所以k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0.且x∈(0，x0)时，f(x)＜g(x)，x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞g(x)，热点突破热点二利用导数研究函数的极(最)值[考查角度一]

运用导数求函数的极(最)值当x∈(0，x0)时，若x∈(0，1]，m(x)≤0；可知0＜m(x)≤m(x0)；故m(x)≤m(x0)．可得x∈(x0，2)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增；x∈(2，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减；热点突破[考查角度二]

根据函数的极(最)值求参数的范围(1)证明

f′(x)＝m(emx－1)＋2x，若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0.若m＜0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1＜0，f′(x)＞0.所以，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．热点二利用导数研究函数的极(最)值热点突破[考查角度二]

根据函数的极(最)值求参数的范围(2)解由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[－1，1]，热点二利用导数研究函数的极(最)值热点突破[考查角度二]

根据函数的极(最)值求参数的范围设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1.当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0.当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；当m＞1时，由g(t)的单调性，g(m)＞0，即em－m＞e－1；当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.综上，m的取值范围是[－1，1]．热点二利用导数研究函数的极(最)值热点突破

(1)求函数的极值时，首先确定函数的定义域，对函数求导并求出极值点，讨论函数的单调性以便进一步确定函数的极值，同时需要注意极值点两端的导函数值的符号．(2)研究函数的最值，要将函数的极值与函数在相应区间端点函数值进行比较，并重视分类讨论思想与化归思想方法的活用．热点二利用导数研究函数的极(最)值热点突破解(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．热点二利用导数研究函数的极(最)值由k≤0可得ex－kx＞0，所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为[2，＋∞)．热点突破(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k＞0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．因为g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，当0＜k≤1时，当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)单调递增．故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈(0，lnk)时，g′(x)＜0，函数y＝g(x)单调递减．x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)＞0，函数y＝g(x)单调递增．所以函数y＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk)．热点二利用导数研究函数的极(最)值由k≤0可得ex－kx＞0，所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为[2，＋∞)．热点突破函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点当且仅当热点二利用导数研究函数的极(最)值综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，热点突破热点三利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质是研究函数的极值的正负，求解的关键是抓住函数的单调性，灵活利用等价转化和数形结合思想方法，其主要考查方式有两种：(1)确定函数的零点或图象交点的个数；(2)根据函数的零点(曲线交点)的情况求参数的取值范围．热点突破热点三利用导数研究函数的零点或曲线交点问题解

(1)设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)＝0，f′(x0)＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－lnx<0，从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)无零点．热点突破h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；故x＝1不是h(x)的零点．当x∈(0，1)时，g(x)＝－lnx>0.所以只需考虑f(x)在(0，1)的零点个数．(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0，1)无零点，故f(x)在(0，1)单调．所以当a≤－3时，f(x)在(0，1)有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0，1)没有零点．热点三利用导数研究函数的零点或曲线交点问题热点突破热点三利用导数研究函数的零点或曲线交点问题热点突破热点三利用导数研究函数的零点或曲线交点问题热点突破利用导数讨论方程的根(函数零点)主要有两种方法：一是运用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将函数零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．热点三

利用导数研究方程的解或图象的交点问题热点突破热点三

利用导数研究方程的解或图象的交点问题由f′(x)＝0，得x＝e.∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)的极小值为2.热点突破热点三

利用导数研究方程的解或图象的交点问题则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．热点突破热点三

利用导数研究方程的解或图象的交点问题又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知热点突破热点四利用导数解决不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)“存在性”问题的探求；(3)不等式恒成立问题．热点突破热点四利用导数解决不等式问题(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)f′(b)＜0(讨论a≥1或a＜1来检验)，故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点．(6分)热点突破热点四利用导数解决不等式问题(2)证明由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x