第02讲一元二次方程的解法（5个知识点8类题型18道强化训练）-八年级数学下册学与练（浙教版）

第02讲一元二次方程的解法（5个知识点+8类题型+18道强化训练）课程标准学习目标1.用开平方法解一元二次方程；2.用配方法解一元二次方程；3.用公式法解一元二次方程；4、用因式分解法解一元二次方程；5、根的判别式的应用；1.掌握用开平方法解一元二次方程；2.掌握用配方法解一元二次方程；3掌握.用公式法解一元二次方程；4、掌握用因式分解法解一元二次方程；5、掌握根的判别式的应用；知识点一：一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．体会不同解法的相互的联系；4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如的方程的解法：当时，;当时，;当时，方程无实数根。【即学即练1】1．（2023下·浙江温州·九年级统考阶段练习）若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用解一元二次方程——直接开平方法，进行计算即可解答．【详解】解：，，方程有实数根，，，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程——直接开平方法是解题关键．（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。【即学即练2】2．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程配方法，把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解．【详解】解：方程，移项得：，配方得：，即，故选：D．（3）公式法：一元二次方程的根当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；当时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【即学即练3】3．（2023下·浙江丽水·八年级统考期末）已知关于x的方程，当时，方程的解为（

）A．， B．，C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式得出方程有两个相等的实数根，然后根据求根公式即可得出答案．【详解】解：∵，∴方程有两个相等的实数根，∵，∴方程的解为，故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；②因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。【即学即练4】4．（2023下·浙江·八年级专题练习）方程的解是（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：∵，∴，则，∴或，解得，，故选：A．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．知识点二：根的判别式的应用了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）①当方程有实数根；（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）②当方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2．常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况①先计算出判别式（关键步骤）；②用配方法将判别式恒等变形；③判断判别式的符号；④总结出结论.（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题【即学即练5】5．（2023下·浙江温州·九年级校联考阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：．【点睛】此题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．题型01解一元二次方程——直接开方法1．（2024上·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根是（

）A． B．2 C．或 D．2或【答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后根据直接开平方解一元二次方程即可求解．【详解】解：即解得：，故选：D．2．（2024上·云南昭通·九年级统考期末）方程的根是（

）A． B． C． D．无实数根【答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法即可，根据求一个数的平方根，这个数得是非负数，据此可得该方程无实数根，掌握概念是解题的关键．【详解】解：，移项得：，∵，∴方程无实数根，故选：D．3．（2024上·北京海淀·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了直接开平方法解方程，答案不唯一，【详解】一元二次方程有整数根，则整数，故答案为：1（答案不唯一）．4．（2024上·贵州贵阳·九年级统考期末）一元二次方程的根是．【答案】【分析】本题主要考查利用直接开方法解一元二次方程，将方程移项利用直接开方法求解即可．【详解】解：移项得，，开方得，．故答案为：．5．（2023上·广西柳州·九年级统考期中）解方程：．【答案】，【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．利用直接开平方法求解即可．【详解】解：或∴，．题型02解一元二次方程——配方法1．（2023上·湖南衡阳·九年级校考期中）用配方法解方程．下列配方结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可．【详解】解：∵，∴，即：，∴，故选：C．2．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程配方法，把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解．【详解】解：方程，移项得：，配方得：，即，故选：D．3．（2024上·河北邯郸·九年级统考期末）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为．【答案】【分析】本题考查了配方法，代数式求值，先对方程配方得，再跟方程对照得到，，得到，，代入算式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键．【详解】解：方程移项得，，配方得，，即，∵一元二次方程配方后得到方程，∴，，∴，∴，故答案为：．4、（2022上·陕西咸阳·九年级统考期中）将方程用配方法化为，则．【答案】22【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值．把化成一般式，然后根据题意即可得到和的值，从而可以求得的值．【详解】解：，，，，，，故答案为：22．5、（2024上·河南商丘·九年级统考期末）用适当的方法解下列一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，．【分析】（）方程整理得，再利用直接开平方法解答即可求解；（）移项，利用配方法解答即可求解；本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【详解】（1）解：去括号得，，移项、合并同类项得，，∴，∴，∴，；（2）解：移项得，，配方得，，即，∴∴，．题型03配方法的应用1．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）不论x为何值，的值总是（

）A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数【答案】A【分析】本题考查配方法的应用，把式子化成判断值的情况是解题的关键．【详解】解：，∴不论x为何值，的值总是正数，故选A．2．（2023上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A．1 B． C．4 D．【答案】A【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项再配成完全平方式，结合，得的值，即可作答．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，则，故选：A3．（2024下·全国·七年级假期作业）代数式的最小值是，当取得最小值时，x的值是．【答案】71【解析】略4．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例如：求代数式的最小值？解答过程如下：解：．，当时，的值最小，最小值是0，，当时，的值最小，最小值是1，的最小值为1．根据上述方法，可求代数式当时有最（填“大”或“小”）值，为．【答案】3小3【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：，∵，∴，∴当时，代数式的最小值是3．故答案为：3，小，3．5．（2024上·山西吕梁·九年级统考期末）阅读与思考【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．【知识运用】周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．（1）求代数式的最小值；（2）求代数式的最值．【答案】（1）1；（2）5．【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键．（1）将变形为即可解决；（2）将变形为即可．【详解】解：（1），的最小值是1；（2），的最大值是5.题型04根据判别式判断一元二次方程根的情况1．（2024上·湖南株洲·九年级统考期末）一元二次方程根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】B【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．【详解】解：由方程，得：，∴方程有两个不相等的实数根，故选：．2．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式；把，，代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：，，，，方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．（2024上·陕西宝鸡·九年级统考期末）一元二次方程根的判别式的值是．【答案】33【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为．根据根的判别式的定义，计算的值即可．【详解】解：由得，，，，．故答案为：334．（2023上·河南驻马店·九年级统考阶段练习）一元二次方程的根的判别式．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，进行计算即可求解．【详解】解：一元二次方程的根的判别式，故答案为：．5．（2024上·福建泉州·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若，且该方程的两个实数根的积为12，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键．（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）利用因式分解法可得，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得，计算即可求出m的值．【详解】（1）证明：，，无论取何值时，，即，原方程总有两个实数根；（2）解：，即：，，该方程的两个实数根的积为12，，，．题型05根据一元二次方程根的情况求参数1．（2024上·河南鹤壁·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．【详解】∵的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：，故选：．2．（2023·安徽·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本题考查了根的判别式．根的判别式建立关于m的等式，即可求解．【详解】解：原方程可化为，由题意知，解得．故选：B．3．（2024上·江苏常州·九年级统考期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义；根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：．4．（2024·全国·九年级竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有个．【答案】3【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根，∴且，解得且，∴方程的根为，根据根与系数的关系可得，，且为正整数，∴，∵为完全平方数且为正整数，∴或或，解得或6或13，即满足条件的共有3个，故答案为：3．5．（2024上·山东济南·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根(1)求m的取值范围：(2)当m取最大整数时，求方程的两个根【答案】(1)(2)【分析】（1）根据方程的根的判别式即可．（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，解答即可，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】（1）∵方程，，∴，∴，解得．（2）∵且取最大整数，∴，∴，解得．题型06公式法解一元二次方程1．（2024·全国·九年级竞赛）若关于的方程恰有三个根，则的值为（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】先化简绝对值方程为两个一元二次方程①和②，再分三种情况讨论：（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案．【详解】，或，整理得①或②，设方程①的判别式为，方程②的判别式为，若原方程恰有三个根，则有三种可能：（1），，，此时，，或，解得，或，满足题意的t的值是；（2），，，当时，，或，解得，或，，，但，不满足题意，舍去；（3），且两方程恰有一个相同的根，，，设相同的根为，则，解得，，当时，，解得或或，符合题意；当时，，解得或或，但此时，三个解均不合题意，舍去；综上所述，的值为或．故选B．【点睛】本题考查了解绝对值方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解方程恰有三个根的含义是解答本题的关键．2．（2024上·河南开封·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程若有解，则其解为．【详解】解：由题意得：，，，∴该方程为，故选：．3．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）在实数范围内分解因式：．【答案】【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解．【详解】解：时，，，故答案为：．4．（2023上·青海果洛·九年级统考期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是．【答案】【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键．根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案．【详解】解：根据题意及求根公式，得，，，该一元二次方程为，故答案为：．5．（2023·安徽·九年级专题练习）解方程：．【答案】，．【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．【详解】解：，，，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，．题型07因式分解法解一元二次方程1．（2024上·山东聊城·九年级统考期末）方程的解是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．先移项，再根据因式分解法求解即可．【详解】解：，，，，解得：．故选C．2．（2024上·江苏宿迁·九年级统考期末）若代数式的值与的值相等，则的值是（

）A． B． C．或1 D．或【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据题意列方程得，解出这个一元二次方程即可．【详解】解：由题意得，，整理得，，解得，故选：D．3．（2024·全国·九年级竞赛）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为．【答案】【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．将看作整体解方程得或（舍），从而得出，即可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，解得：或（舍），则，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．4．（2024·全国·九年级竞赛）若关于的一元二次方程有一个根是0，则．【答案】【分析】把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数．本题考查的是一元二次方程解的定义和一元二次方程的解法．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的定义．【详解】解：把代入方程中，得，解得或，当时，，舍去，故答案为：．5．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键．（1）先移项、然后再运用因式分解法求解即可；（2）直接运用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，，，，．（2）解：，，所以，所以．题型08换元法解一元二次方程1．（2024下·全国·七年级假期作业）若实数，满足，则的值为（

）A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或【答案】A【解析】略2．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级内蒙古师大附中校考期中）关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可．【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），∴在方程中，或，解得，故选：C．3．（2023上·全国·九年级专题练习）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为．【答案】2【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，此题实际上求的值．设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可．【详解】解：设，则由原方程，得，整理，得，解得或（舍去）．则，∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，∴这个直角三角形的斜边长为．故答案为：2．4．（2023上·江苏镇江·九年级校考阶段练习）若，则的值为．【答案】4【分析】本题考查了因式分解法求值，一元二次方程的解法，正确分解，把握非负数的属性是解题的关键．【详解】∵，∴，∴，∴（舍去），故答案为：4．5．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）请阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则所以．把代入已知方程，得化简，得故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）利用换根法，将所求新方程的根换元为原方程根的相反数，代入原方程化简即求出新方程；（2）利用换根法，将所求新方程的根换元为原方程根的倒数，代入原方程化简即求出新方程；根据一元二次方程根的特点，可以求出系数a、c的取值范围．【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则所以．把代入已知方程，得化简，得故所求方程为．（2）设所求方程的非零实根为y，则所以．把代入已知方程，得化简，得故所求方程为；因为新方程和原方程分别有两个非零实数根，根据一元二次方程一般性质和特点，则有，．【点睛】本题主要考查了有理数的有关概念及一元二次方程的一般性质和特点，理解掌握一元二次方程的特点是解本题的关键．A夯实基础1．（2024上·吉林·九年级校考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解．【详解】解：，或，解得，故选D．2．（2022·安徽·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值可以是（

）A． B． C．0 D．4【答案】A【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键．【详解】解：由题意得，，一元二次方程有两个相等的实数根，，即：，解得：；故选：A．3．（2024上·北京密云·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为．【答案】【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案．【详解】解：，配方得：，整理得：，∵即为形式，∴，故答案为：．4．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．根据根的判别式来求m的取值范围；【详解】解：．因为方程有两个不相等的实数根，所以，所以．故答案为：．5．（2024上·江苏连云港·九年级统考期末）（1）

（2）【答案】（1），；（2），【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法求解；（2）利用因式分解法求解．【详解】解：（1），，或，解得，；（2），，或，解得，．6．（2024上·云南昭通·九年级统考期末）用适当的方法解方程．(1)；(2)．【答案】(1)，．(2)，．【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用配方法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；【详解】（1）解：移项，得：，配方，得：，开方，得：，解得：，．（2）解：移项，得：，因式分解，得：，即：或，解得：，．B能力提升1．（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用配方法对变形即可得到答案，熟记配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．【详解】解：用配方法解一元二次方程时，得到，则，即，故选：A．2．（2024上·四川泸州·九年级统考期末）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解分式方程的步骤，将原分式方程可化为：，方程两边同时乘以即可求解．【详解】解：∵，∴，原分式方程可化为：，方程两边同时乘以得：，即：故选：C3．（2024上·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法．熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．根据负数没有平方根，求解作答即可．【详解】解：由题意知，，∵关于的方程没有实数根，∴，即，故答案为：．4．（2024上·重庆潼南·九年级统考期末）方程是关于的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，原方程可变为，先求解，再求解．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若，则．【答案】2【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．设，原方程可变形为，运用因式分解法解得，，再根据，即可得出．【详解】解：设，原方程可变形为，整理得，即，，，，，故答案为：2．5．（2024上·江苏南京·九年级统考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键．（1）用公式法解方程即可；（2）先对因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可【详解】（1）解：∵，∴，则，即，；（2）解：，，．6．（2024上·河南鹤壁·九年级统考期末）已知关于的方程．(1)若此方程的一个根为，则的值为______；(2)求证：对于任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）把代入原方程求得m的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）只要证明即可；【详解】（1）解：把代入得，，解得，，故答案为：．（2）证明：．因为对于任何实数，总有，所以方程总有两个不相等的实数根．C综合素养1．（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）如果