14.3.1提公因式法（解析版）

提公因式法知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究知识点一：因式分解概念把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型一：判断是否是因式分解【例题1】（2022·山东青岛·八年级期中）下列各式从左到右是分解因式的是（

）A．20=4xy·5 B．+4x－6=(x－1)(x+5)－1C．9－6ab+= D．(a－b)(a+b)=－【答案】C【分析】根据因式分解的定义，把左边的多项式因式分解成几个整式相乘的形式进行判断即可．【详解】A选项，左边是单项式，不符合因式分解的定义，故选项A不符合题意；B选项，右边是个多项式，没有因式分解成几个整式相乘的形式，故选项B不符合题意；C选项，左边是多项式，分解成右边几个整式相乘的形式，故选项C符合题意；D选项，从右往左是分解因式，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查因式分解的概念，熟练理解和掌握因式分解的定义是解决本题的关键．变式训练【变式1-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义进行判断即可．【详解】解：A．a（x﹣y）＝ax﹣ay是单项式乘多项式，故不符合题意；B．是多项式乘多项式，故不符合题意；C．x2+2x+1＝（x+1）2，是因式分解，符合题意；D．，因式分解错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查因式分解的意义，牢固掌握因式分解的定义，能够根据定义对所给的式子进行判断是解题的关键．【变式1-2】（2022·湖南永州·七年级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C.原式左右两边不相等，故本选项不符合题意；D.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．【变式1-3】（2022·福建三明·八年级期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式变成几个整式的乘积的形式叫做因式分解，据此判断即可．【详解】解：A、不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；B、，不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；C、是多项式乘以多项式，不是因式分解，不符合题意；D、是因式分解，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．题型二：利用因式分解求值【例题2】（2022·湖南岳阳·七年级期中）将多项式进行因式分解，得到，则，分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】先利用多项式乘多项式法则计算（x-9）（2x-n），根据乘法与因式分解的关系得到关于m、n的方程，求解即可．【详解】解：∵（x-9）（2x-n）=2x2-18x-nx+9n=2x2-（18+n）x+9n，又∵2x2+mx-18因式分解得到（x-9）（2x-n），∴2x2+mx-18=2x2-（18+n）x+9n，∴m=-（18+n），9n=-18，∴n=-2，m=-16．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的因式分解，掌握乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．变式训练【变式2-1】（2022·四川达州·八年级期中）已知多项式分解因式的结果为，则的值是（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】把根据乘法法则计算后与比较即可．【详解】解：=2(x2+x-2x-2)=2x2+2x-4x-4=2x2-2x-4，∵=2x2-2x-4，∴b=-2，c=-4，故选B．【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键．【变式2-2】（2022·湖南岳阳·七年级期末）多项式可分解为，则a的值是(

)A． B．5 C． D．6【答案】D【分析】根据多项式乘以多项式及因式分解可进行求解．【详解】解：由题意得：，∵多项式可分解为，∴；故选D．【点睛】本题主要考查因式分解及多项式乘多项式，熟练掌握因式分解及多项式乘多项式是解题的关键．【变式2-3】（2022·广东深圳·八年级期末）若多项式可分解为，则的值为（

）A．—2 B．—1 C．1 D．2【答案】D【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x-2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．【详解】解：∵（x-2）（x+b）=x2+bx-2x-2b=x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1，∴b-2=-a，-2b=-1，∴b=0.5，a=1.5，∴a+b=2．故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．知识点二：公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.题型三：公因式【例题3】（2022·广西桂林·七年级期中）与的公因式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据找公因式的方法解答，即可求解．【详解】解∶与的公因式为．故选：C【点睛】本题主要考查公因式的确定，解题的关键在于掌握找公因式的方法：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的是解题的关键．变式训练【变式3-1】（2022·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）多项式中各项的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用公因式的确定方法可得答案，这两项的系数1与3，它们的最大公约数是1；两项的字母部分a2b3与abc都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1，因此公因式为ab．【详解】解：∵a2b3与2abc这两项的系数1与3，∴它们的最大公约数是1；∵两项的字母部分a2b3与abc都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1，∴多项式a2b3+2abc中各项的公因式为ab，故选：A．【点睛】本题考查了公因式，解题的关键是掌握确定多项式中各项的公因式的方法，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【变式3-2】（2021·陕西铜川·八年级期末）使用提公因式法分解时，公因式是（

）A． B． C．2ab D．【答案】C【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．【详解】解：使用提公因式法分解4a2b﹣6ab2+2a3b3时，公因式是2ab．故选：C．【点睛】本题主要考查了公因式的定义，正确理解公因式的概念是解题关键．【变式3-3】（2022·河北沧州·八年级期末）将多项式利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为（）A． B．ab C．a D．b【答案】D【分析】利用提公因式法进行分解即可．【详解】解：a2b-2b=b（a2-2），将多项式a2b-2b利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为：b，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．知识点三：提公因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型四：提公因式【例题4】（2021·海南鑫源高级中学八年级期中）因式分解（1）（2）【答案】（1）；（2）；【分析】（1）提出公因式，提公因式法因式分解即可；（2）提出公因式，提公因式法因式分解即可；【详解】（1）（2）【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．变式训练【变式4-1】（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）因式分解：﹣6m3n+4mn2﹣2mn．【答案】-2mn(3m2-2n+1)．【分析】原式提取-2mn，即可分解．【详解】解：-6m3n+4mn2-2mn=-2mn(3m2-2n+1)．【点睛】本题考查了提公因式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【变式4-2】（2021·全国·八年级课时练习）把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】利用提公因式法即可完成．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，关键是找出公因式，当首项系数为负时，连负号提出，此时括号里的各项都要改变符号．【变式4-3】（2021·全国·八年级课时练习）把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】用提公因式法即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法，当首项系数为负时，提公因式时连负号一同提出来．题型五：提多项式公因式【例题5】（2021·海南鑫源高级中学八年级期中）因式分解【答案】【分析】提出公因式，提公因式法因式分解即可；【详解】【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．变式训练【变式5-1】（2021·江门市第二中学九年级二模）分解因式：______．【答案】【分析】先将提取负号，再提取公因式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是提公因式法因式分解，解题关键是熟练掌握找公因式的方法，以及提负号的方法．【变式5-2】（2021·湖南七年级期中）因式分解（a﹣b）2﹣a+b的结果是_______________．【答案】（a﹣b）（a﹣b﹣1）【分析】先整理，再根据提取公因式法分解因式即可得出答案．【详解】解：（a﹣b）2﹣a+b＝（a﹣b）2﹣（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b﹣1）．故答案为：（a﹣b）（a﹣b﹣1）．【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．【变式5-3】（2021·常州市第二十四中学七年级月考）因式分解：____________．【答案】【分析】将y(1-m)变形为-y（m-1），再提取公因式即可．【详解】∵x（m-1）+y(1-m)=x（m-1）-y（m-1），=（x-y）（m-1），故答案为：（x-y）（m-1）．【点睛】本题考查了因式分解，熟练进行代数式的变形构造公因式是解题的关键．题型六：利用提公因式求值【例题6】（2022·贵州黔西·中考真题）已知，，则的值为_____．【答案】6【分析】将因式分解，然后代入已知条件即可求值．【详解】解：．故答案为：6【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．变式训练【变式6-1】（2021·山东）边长为a，b的长方形，它的周长为10，面积为3，则ab2+a2b的值为__．【答案】15【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出ab，a+b，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为10，面积为3，∴ab＝3，2(a+b)＝10，则，a+b＝5，故ab2+a2b＝ab(a+b)＝3×5＝15，故答案为：15【点睛】此题主要考查了提取公因式法和矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．【变式6-2】（2021·江苏苏州草桥中学七年级期末）若，则________．【答案】15【分析】将原式首先提取公因式xy，进而分解因式，将已知代入求出即可．【详解】解：∵x−2y＝5，xy＝3，∴．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．【变式6-3】（2021·江西吉安市·）若x﹣y＝3，xy＝﹣1，则代数式2x2y﹣2xy2的值为（）A．3 B．-3 C．-6 D．6【答案】C【分析】首先因式分解2x2y﹣2xy2，然后把x﹣y＝3，xy＝﹣1代入，求出算式的值即可．【详解】解：2x2y﹣2xy2＝2xy（x﹣y）当x﹣y＝3，xy＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）×3＝﹣6．故选：C．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，解题关键是熟练运用提取公因式法对多项式进行因式分解，树立整体思想，整体代入求值．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C、符合因式分解的形式，符合题意；D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．【真题2】（2022·青海·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B.选项，原式=，故该选项计算错误，不符合题意；C.选项，原式=，故该选项计算错误，不符合题意；D.选项，原式=，故该选项计算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．【真题3】（2022·广西柳州·中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）【答案】A【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．【详解】故选A【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．【真题4】（2022·广东广州·中考真题）分解因式：________【答案】【分析】直接提取公因式3a即可得到结果．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．【真题5】（2022·江苏常州·中考真题）分解因式：______．【答案】xy(x+y)【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（全国七年级课时练习）若，，则之值为何？（）.A．101 B．－101 C．808 D．－808【答案】D【分析】先提取公因式101，然后利用数的拆分进行简便计算，从而求解.【详解】======【点睛】本题考查提取公因式进行简便计算，准确进行数的拆分使计算简便是解题关键.【拓展2】（2020·全国八年级课时练习）化简：，且当时，求原式的值．【答案】，-1【分析】原式逐步提取公因式，计算即可得到结果．【详解】解：原式……∴当时，原式．【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．【拓展3】（2020·华南师范大学中山附属中学八年级期中）“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，华师中山附中以实施百书计划为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．(1)直接写出：最大的“和平数”是___．(2)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”．设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为：“和平数”值，“相关和平数