一元函数的导数及其应用函数单调性与导数复习课课件高二下学期数学人教A版选择性

高中

二年级

数学一元函数的导数及其应用复习2—函数的单调性与导数目录12知识梳理考点突破3要点总结知识梳理函数的单调性与其导函数符号的关系可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的正负有如下关系：导数函数的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减f′(x)＝0常数函数“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？【概念方法微思考】知识梳理

[化解疑难]在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为单调递增(减)函数的充分不必要条件．导函数y=f′(x)的孤立的不变号零点，不会影响函数f(x)，在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．√√跟踪练习.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是（）A在区间(－2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x＝2时，f(x)取到极小值√解析在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数.分类突破例3、已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是___________________.解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx>0，跟踪训练3.函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是A.(－∞，e) B.(1，e)C.(e，＋∞) D.(e－1，＋∞)解析由f(x)＝x·ex－ex＋1＝ex·（x－e）得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞).√例4.已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0).试讨论f(x)的单调性.解：函数的定义域为R，由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，思想方法SIXIANGFANGFA用分类讨论思想研究函数的单调性1．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要注意定义域对单调区间的影响以及分类讨论的标准．2．对含参数的函数的单调性进行分类讨论时，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①导函数f′(x)是否有变号零点；②若f′(x)有变号零点，令f′(x)=0，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较两根的大小是常见的分类方法.

思维升华因为f(x)在[1,4]上单调递增，所以当x∈[1,4]时，f′(x)≥0恒成立，题

型

四(2)若函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围.所以a>－1.

又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞).

思维升华根据函数单调性求参数范围的一般思路：(1)函数y＝f(x)在(a，b)上单调，通常可转化为不等式恒成立问题即f(x)在(a，b)上为增（减）函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.f′(x)≥a恒成立

f′(x)min≥a

f′(x)≤a恒成立

f′(x)max≤a(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.即f′(x)＞a有解

f′