2021-2022学年贵州省“三新”改革联盟高一下学期校联考（四）数学试题（解析版）

2021-2022学年贵州省“三新”改革联盟高一下学期校联考（四）数学试题一、单选题1．若复数（为虚数单位），则（

）A． B．1 C．5 D．【答案】B【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为，所以.故选：B2．已知向量，，且，则（

）A．-4 B．4 C．-6 D．6【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示，列式计算作答.【详解】因向量，，且，则，得，所以.故选：C3．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为，其中被抽取的男生平均身高为，则被抽取的女生平均身高为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答.【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人，设被抽取到的女生平均身高为，则，解得，所以被抽取的女生平均身高为.故选：A4．如图，正方形是水平放置的四边形的斜二测直观图，，则四边形的面积是（

）A． B． C．18 D．9【答案】A【分析】利用斜二测画法求解.【详解】如图所示：由斜二测画法知，四边形是一个平行四边形.因为，所以，则，，所以.故选：A5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中错误的是（

）A．新农村建设后，养殖收入增加B．新农村建设后，种植收入减少C．新农村建设后，养殖收入与种植收入的总和超过了经济收入的一半D．新农村建设后，其他收入是建设前的4倍【答案】B【分析】设出建设前总收入，根据给定条件，求出建设前后各部分的收入，逐项判断作答.【详解】设建设前总收入为1，则建设后总收入翻一番为2，对于A，建设前养殖收入为，建设后养殖收入为，A正确；对于B，建设前种植收入为，建设后种植收入为，B错误；对于C，养殖收入与种植收入比例总和为，超过经济收入一半，C正确；对于D，建设前其它收入为，建设后其它收入为，D正确.故选：B6．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，则经过，，，四点的球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中点，中点，将三棱锥补形成长方体，求出长方体外接球半径即可计算作答.【详解】在棱长为2的正方体中，设中点为，中点为，如图，则过，，，四点的球即为长方体的外接球，其半径为，所以经过，，，四点的球的表面积为.故选：C7．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】C【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.【详解】设的中点是，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.8．如图，矩形中，，是边的中点，将沿直线翻折成（点不落在底面内），连接，.若为线段的中点，则在的翻折过程中，以下结论正确的个数是（

）（1）平面恒成立（2）线段的长为定值（3）异面直线与所成角为（4）二面角可以为直二面角A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】（1）设中点为，中点为，连接，，，，易得四边形是平行四边形判断；（2）利用线面平行的判定定理判断；（3）利用反证法判断；（4）由，，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断.【详解】如图所示：设中点为，中点为，连接，，，，易证，，则四边形是平行四边形，则，，得线段长度为定值，由线面平行的判定定理，可得平面，故（1）（2）正确.在（3）中，由，得，假设（3）成立，即，根据线面垂直的判定定理易得平面，则，这与题设矛盾，故（3）错误.（4）中，由矩形，易得，已知，当二面角为直二面角时，由线面垂直的性质定理，可得平面，则，再由线面垂直的判定定理平面，从而平面平面，故（4）正确.故选：D二、多选题9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】BC【分析】举例说明判断A，D；利用线面平行的性质、面面垂直的判定推理判断B；利用面面平行的性质判断C作答.【详解】对于A，如图，长方体中，平面为平面，平面为平面，直线为直线，满足，，而，A不正确；对于B，因，则过存在与平面相交的平面，令它们的交线为，由线面平行的性质知，，而，则，又，所以，B正确；对于C，因，，由面面平行的性质可得，C正确；对于D，在选项A的长方体中，平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，，，而，D不正确.故选：BC10．已知复数（，为虚数单位），下列说法正确的有（

）A．当时，复平面内表示复数的点位于第一象限B．当时，为纯虚数C．最大值为D．的共轭复数为【答案】ABC【分析】利用特殊角的三角函数值求出复数判断A，B；求出复数的模，再结合正弦函数性质计算判断C；利用共轭复数的定义判断D作答.【详解】对于A，当时，，其在复平面内对应点为，A正确；对于B，时，，B正确；对于C，，当，时，，C正确；对于D，，D错误.故选：ABC11．在所在的平面内有两点，，，，下列说法正确的有（

）A．B．C．D．的面积为的面积的【答案】BCD【分析】A.根据，判断；B.利用向量的加法运算和基本定理求解判断；C.由与同向判断；D.根据，得到面积关系判断.【详解】如图所示：因为，，所以为中点，为上靠近点的四等分点，故A错误.，故B正确.与同向，夹角为，则，故C正确.，，则，故D正确.故选：BCD12．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（

）A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的母线与下底面所成的角为D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为【答案】BCD【分析】求出轴截面等腰梯形面积判断A；求出圆台体积判断B；求出轴截面等腰梯形底角判断C；利用圆台侧面展开图求出CD长判断D作答.【详解】对于A，该圆台轴截面为等腰梯形，高为，则面积为，A错误；对于B，由选项A知，圆台的高为，则圆台的体积，B正确；对于C，圆台母线与下底面所成角为，，则，C正确；对于D，将该圆台侧面展开，得到如图所示的扇环，再将其补成扇形，则弧长为，半径长为4，即有圆心角，沿着圆台表面点到中点的最短路径即为扇环中的线段长，，D正确.故选：BCD三、填空题13．某学校举行演讲比赛，进入决赛的有20名选手，他们的最终成绩按照从低到高排列如下（单位：分）：8.0

8.1

8.1

8.2

8.3

8.5

8.5

8.5

8.5

8.68.7

8.7

8.8

8.9

9.0

9.0

9.1

9.1

9.1

9.3则这组数据的下四分位数是_________.【答案】8.4【分析】由一组数据的第百分位数定义求解.【详解】解：由一组数据的第百分位数定义，共20名选手，，所以第5项数据为8.3，第6项数据为8.5，则这两项数据取平均数为8.4.故答案为：8.414．设的内角，，的对边分别为，，.若，，，则_________.【答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理直接计算作答.【详解】在中，因，，，由正弦定理得，所以.故答案为：15．如图，在正四棱锥中，所有棱长均相等，点为中点，则直线与平面所成角的正弦值为_________.【答案】【分析】连接交于点，连接，设点为中点，连接，即可得到即为与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】解：如图连接交于点，连接，由四棱锥各条棱相等，则，，根据线面垂直的判定定理，有平面.设点为中点，连接，则，得到平面，连接，则是在平面内的射影，则即为与平面所成角.设四棱锥各棱长为2，则，，在中，，，于是.故答案为：16．我们知道一个多面体的外接球可以定义为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上，则该球叫这个多面体的外接球.现新定义多面体的“外球”为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上或在球内，则称该球为这个多面体的外球.即外球能将多面体包围起来.如图是一个由六个全等的正三角形构成的六面体，若该六面体有一外球A，且该六面体内有一球.则外球A的半径最小值与球的半径最大值的比值为_________.【答案】【分析】分别求得外球A的半径最小值与球的半径最大值，即可求得该比值【详解】如图六面体的顶点A，在球面上时，此时外球A的半径（直径）最小，球直径的长为上下顶点的距离.六面体可以看成两个全等的正四面体组合而成，一个棱长为1正四面体的高为，所以外球最小半径为.当球为六面体的内切球时，半径最大.六面体的体积，设内切球的半径，的中心为，连接，，，，，六面体可分割成6个相同的三棱锥，，所以.所以外球A的半径最小值与球的半径最大值的比值为.故答案为：四、解答题17．已知，，.(1)求向量与的夹角；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，求得，再利用夹角公式求解；（2）由，利用数量积的运算律求解.【详解】(1)解：∵，，∴，又.解得，∴，又∵，∴（或）.(2)∵，，∴.18．如图，在直四棱柱中，平面，四边形为菱形，，，，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接交于点，连接，即可得到，从而得证；（2）根据利用等体积法求出点到平面的距离；【详解】(1)证明：连接交于点，连接.∵四边形是菱形，∴点是的中点，又∵点是的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.(2)解：∵，在直四棱柱中，平面，，，，∵.，，，又为的中点，所以，所以，所以，设点到平面的距离为，∴，∴.∴点到平面的距离为.19．某学校随机抽取了100名学生通过答卷方式进行科学知识普及情况调查，试卷满分为120分.经统计得到成绩的范围是（单位：分），通过整理数据得到如下频率分布直方图：(1)求的值，并求出分数在的人数；(2)估计该校科普知识测试成绩的平均数、中位数和众数.【答案】(1)0.02，30人；(2)平均数为94分，中位数为95分，众数为95分.【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积和为1求出m，再求出的频率即可计算作答.（2）利用频率分布直方图求样本平均数，中位数，众数的方法分别计算作答.【详解】(1)由频率分布直方图得：；分数在对应频率为，，所以分数在的人数为30人.(2)依题意，，所以成绩平均数为94分；因，，则成绩的中位数在90分到100分之间，设成绩的中位数为分，由，解得，所以成绩的中位数为95分；因成绩在的频率最大，而，所以成绩的众数为95分.20．在锐角中，角，，的对边分别为，，，设，，.(1)求角；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据可得，再根据正弦定理和三角变换公式可得，从而可求的值.（2）利用正弦定理和三角变换公式可得，结合的范围可求的范围.【详解】(1)由得到，∴，∴，即，∴，又为三角形内角，故，∴，故，∴.(2)，∵，∴，又∵是锐角三角形，∴且，即且，∴，∴，∴，即.21．在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑（nào）”.如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱上一点.(1)若平面，求；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)3；(2).【分析】（1）根据已知证得平面，再借助等体积法结合同高的锥体体积比转化求解作答.（2）作于E，于O得二面角的平面角，再在直角三角形中求解作答.【详解】(1)因平面，平面，平面，则，，又，即，而，平面，因此平面，于是得，在中，，由平面得，则，即有，在中，，则有，所以（或3）.(2)如图，作于点，过点作垂直于点，连接，由（1）知，平面，平面，则，而，平面，于是得平面，又平面，则，又，平面，，则有平面，有，因此是二面角的平面角，在中，，则，由（1）知，，在中，，则，所以二面角的余弦值是.22．贵阳市黔灵公园熊猫馆平面设计如图所示，其中区域为熊猫生活区，，，区域为熊猫娱乐区，.现为了游客的安全起见，将熊猫娱乐区周围筑起护栏.