14.1.4整式的乘法（二）（解析版）

整式的乘法（二）知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究知识点一：多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.题型一：多项式乘以多项式计算【例题1】（2022·湖南常德·七年级期中）计算：．【答案】【分析】把一个多项式中的每一项分别乘以另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，从而可得答案．【详解】解：原式=【点睛】本题考查的是多项式的乘法，掌握“多项式的乘法法则进行运算”是解本题的关键．变式训练【变式1-1】（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）计算：．【答案】【分析】先根据整式的乘法和乘法公式进行计算，再合并同类项即可．【详解】解：原式【点睛】本题考查了整式的混合运算知识点，能正确根据知识点进行计算是解此题的关键．【变式1-2】（2022·山东济南·七年级期中）计算：（3x﹣2）（2x﹣3）．【答案】【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了多项式乘法计算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式1-3】（2022·四川乐山·八年级期末）计算：．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式的即可求出答案．【详解】解：原式＝6x3+9x2﹣12x﹣2x2﹣3x+4＝6x3+7x2﹣15x+4【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．题型二：(x+a)(x+b)型多项式相乘【例题2】（2021·福建省宁化县教师进修学校七年级月考）（Ⅰ）计算，将结果直接填在横线上：______．______．______．______．（Ⅱ）认真观察（Ⅰ）中的算式与计算结果的特征，总结其中运算规律，用公式来表示这种运算规律（用a，b表示常数，）．【答案】（1）x2＋3x＋2，x2−3x＋2，x2＋x−2，x2−x−2；（2）（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab【分析】（1）根据多项式乘法的法则逐一计算即可，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）根据（1）计算的结果，式子的一般形式是（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．【详解】解：（1）（x＋1）（x＋2）＝x2＋3x＋2，（x−1）（x−2）＝x2−3x＋2，（x−1）（x＋2）＝x2＋x−2，（x＋1）（x−2）＝x2−x−2．故答案是：x2＋3x＋2，x2−3x＋2，x2＋x−2，x2−x−2；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab结构．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．变式训练【变式2-1】（2022·全国七年级单元测试）若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，求a＋b的值．【答案】－21.【分析】先根据多项式乘多项式法则把多项式的左边展开，合并同类项后再根据多项式两边相同字母的系数相等，列出方程，求出a，b的值即可．【详解】解：则解得则【点睛】考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.【变式2-2】（2022·福建）阅读理解：（1）计算，____________________，_______________，___________________，_____________；（2）应用已知a、b、m均为整数，且，则m的可能取值有_____________个．【答案】（1），，；，；（2）6【分析】（1）根据多项式乘法的法则逐一计算即可，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）根据（1）计算的结果，式子的一般形式是，，故的取值6个．【详解】解：（1），，，；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合结构，因为12可以分解以下6组数，，，，，，所以应有6个值．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2-3】（2022·厦门外国语学校海沧附属学校八年级期中）已知(x+a)(x+b)x2+mx+n（1）若a=1，b=2，则m=______，n=_______（2）若a=6，b=-3，求2m+2n的值【答案】（1）m=3，n=2；（2）-28【分析】把已知式子展开，得出m，n和a，b的关系式，带入求解即可；【详解】∵，∴，，（1）∵a1，b2，∴，，故答案是：3，2．（2）∵a6，b-3，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确利用整式乘法展开计算是解题的关键．题型三：多项式乘以多项式化简求值【例题3】（2022·广西梧州·七年级期末）先化简，再求值：，其中．【答案】；4【分析】根据整式的乘法运算化简，然后代入字母的值即可求解．【详解】解：原式＝；当时，原式．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式化简求值，正确的计算是解题的关键．变式训练【变式3-1】（2021·河南洛阳·八年级期中）先化简再求值：5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5），其中y＝﹣2．【答案】；【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】原式＝5y2﹣（3y2+y﹣6y﹣2）﹣2（y2﹣5y+y﹣5）＝5y2﹣3y2﹣y+6y+2﹣2y2+10y﹣2y+10＝13y+12，当y＝﹣2时，原式＝13×（﹣2）+12＝﹣14．【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．【变式3-2】（2022·广西梧州·七年级期中）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：原式；当时，原式．【点睛】本题考查了多项式的乘法的化简求值，正确的去括号是解题的关键．【变式3-3】（2022·山东菏泽·七年级期中）先化简，再求值：，其中x=2．【答案】；15【分析】根据单项式乘多项式，多项式乘多项式法则运算，再合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：原式===；当x=2时，原式==．【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键．题型四：已知多项式乘积不含某项求字母的值【例题4】（2022·山东聊城·七年级期中）已知的乘积中不含和项，求的值．【答案】2【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出，即可求出答案．【详解】解：原式，∵其结果中不含和项，∴，解得：，∴．答：的值为2．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．变式训练【变式4-1】（2022·山东济南·期末）若代数式的计算结果中不含有x的一次项，求m的值．【答案】【分析】根据多项式乘多项式将代数式进行变形得，再根据题意进行求值即可；【详解】解：，因为计算结果中不含一次项，所以，则．【点睛】本题主要考查整式的乘除中多项式乘多项式，正确将代数式变形是解题的关键．【变式4-2】（2021·江苏无锡·七年级期中）若的计算结果中不含x2与x项．(1)求m、n的值；(2)求代数式（3m－n）2＋m2020·n2021的值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，并按未知数x合并同类项，再根据结果中不含x2与x项，即x2与x项的系数为0，求出m、n的值即可；（2）把（1）中的m、n值代入，再逆用幂的乘方与积的乘方公式计算即可．（1）解：，∵不含和x项，∴且，∴，；（2）解：当时【点睛】本题考查整式混合运算，代数式求值，掌握结果中不含x2与x项，即x2与x项的系数为0，求出m、n的值是解题的关键．【变式4-3】（2022·湖南张家界·七年级期中）已知（x2＋px＋1）（x－2）的结果中不含x的二次项，求的值．【答案】【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则将（x2＋px＋1）（x－2）展开，然后根据不含二次项求出p的值，即可得到答案．【详解】解：，∵（x2＋px＋1）（x－2）的结果中不含x的二次项，∴p－2＝0，∴p＝2．∴．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，熟知相关计算法则是解题的关键．题型五：多项式乘以多项式面积问题【例题5】（2022·山东泰安·期中）分别计算下图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2）4a2+2ab+3b2【分析】（1）长为（3a+2b），宽为（2a+b）的长方形的面积减去长为（2b+a），宽为（b+a）的长方形的面积；（2）两个长为a，宽为2a的长方形的面积加上长为（2a+3b），宽为b的长方形的面积．【详解】解：（1）．答：图中阴影部分的面积是；（2）2•a•2a+（2a+3b）b=4a2+2ab+3b2．答：图中阴影部分的面积是4a2+2ab+3b2．【点睛】此题考查多项式乘多项式与图形的面积，掌握长方形的面积计算公式与整式混合运算的计算方法是解决问题的关键．变式训练【变式5-1】（2022·广西梧州·七年级期中）一个长方形的长为，宽比长少，若将长方形的长和宽都扩大．(1)求扩大后长方形的面积是多少？(2)若，求长方形扩大了的面积．【答案】(1)(2)增大的面积为【分析】（1）根据题意得（2x+2）（2x-3+2），利用多项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）把x=3代入（1）中的结果进行计算即可．（1）扩大后长方形的长为，宽为，则扩大后长方形的面积是答：扩大后长方形的面积是．（2）即面积增大了．当时，．答：增大的面积为．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式与多项式相乘的法则，根据题意列出等式是解题关键．【变式5-2】（2022·陕西咸阳·七年级期中）如图，某公园计划在长米，宽米的长方形空地上修建横、纵各两条宽为a米的小路（阴影部分）供行人散步，其余部分种植草皮．分别求草地和小路的面积．【答案】草地的面积为平方米，小路的面积为平方米．【分析】草地的部分可以拼成一个长方形，求出草地的面积，再用总的面积减去草地的面积即可得．【详解】解：因为草地的部分可以拼成一个长方形，所以草地的长为米，宽为（米），所以草地面积为平方米，所以小路面积为平方米．答：草地的面积为平方米，小路的面积为平方米．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键在于结合图形列出代数式，注意加单位．【变式5-3】（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，某市有一块长方形地块用来建造住宅、广场和商厦．住宅用地是长为米，宽为米的长方形，广场是长为米，宽为米的长方形．(1)这块用地的总面积是多少平方米？(2)求出当时商厦的用地面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据矩形的面积公式即可列式求解；（2）根据商厦的用地面积=（2a-b）(4a-3a)，利用整式的乘法化简，代入a，b即可求解．（1）解：用地总面积；（2）解：商厦的用地面积．当时，原式．【点睛】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是根据题意列式求解．题型六：多项式乘以多项式规律问题【例题6】（2022·甘肃定西·模拟预测）观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为____________．【答案】0或-2【分析】根据规律求出的值，再将所求的的值代入求解即可．【详解】解：根据规律：∵∴，解得：或将代入，可得：将代入，可得：故答案为：0或-2．【点睛】本题考查了探索规律、代入求值等知识点，找到规律是解答本题的关键．变式训练【变式6-1】（2021·利辛县第四中学七年级期中）（1）计算：；；猜想：；（2）请你利用上式的结论，求的值；（3）请直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据多项式乘多项式可进行求解；（2）由2-1=1及（1）中结论可直接进行求解；（3）根据（1）中结论可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：，，……猜想：；故答案为；（2）由（1）可得：原式=（3）由（1）的结论可得：原式=．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．【变式6-2】（2021·河南省淮滨县第一中学）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算所得多项式的一次项系数为______．（2）若计算所得多项式不含一次项，求的值；（3）若，则______．【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．【分析】根据题意可得出结论多项式和多项式相乘所得结果的一次项系数是每个多项式的一次项系数分别乘以其他多项式的常数项后相加所得．（1）中每个多项式的一次项系数分别是1、3、5，常数项分别是2、1、-3，再根据结论即可求出所得多项式的一次项系数．（2）中每个多项式的一次项系数分别是1、-3、2，常数项分别是1、a、-1，再根据所得多项式的一次项系数为0，结合结论即可列关于a的一元一次方程，从而求出a．（3）中每个多项式一次项系数为1，常数项系数也为1，为所得多项式的一次项系数．所以根据结论为2121个相加，即可得出结果．【详解】（1）根据题意可知的一次项系数为：．故答案为-11．（2）根据题意可知的一次项系数为：∵该多项式不含一次项，即一次项系数为0，∴解得．（3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数．∴故答案为2021【点睛】本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】计算的结果，与下列哪一个式子相同？（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积．【详解】解：由多项式乘法运算法则得．故选D．【点睛】本题考查多项式乘法运算法则，牢记法则，