初二数学大全

（一）平移的定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。例1： 如下图所示，先将方格纸中的图形向右平移4格，然后向下平移3格。解答： 分两步平移。先向右平移4格，然后向下平移3格。说明： 平移不改变图形的形状和大小，理解这个概念应注意如下几点：1.平移是运动的一种形式，是图形变换的一种。2.图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离。这两个要素是图形平移的依据。3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小。这个特征是得出图形平移的基本性质的依据。例2：如下图，把图形ABCD平移到图形EFGH。1）在图中，线段AE、BF、CG、DH有怎样的位置关系？2）图中每对对应线段之间有怎样的位置关系？3）图中有哪些相等的线段、相等的角？ABCDFEGH解答:1)AE//BF//CG//DH2）AB//EF，AD//EH，DC//HG，BC//FG3）AB

EF,AD

EH,DC

HG,BC

FG,

A

E,

D

H,

B

F,

C

GABCDFEGH3）图中有哪些相等的线段、相等的角？（二）平移的基本性质 经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应

线段平行且相等，对应角相等。 理解平移的基本性质时应注意如下几点：1.这个基本性质刻画了图形在平移运动中的一部分不变性，而没有表达“不改变图形的形状和大小”的全部含义。2.要注意正确找出“对应线段、对应角”，从而正确表达

基本性质的特征。3.“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质即可

作平移图形之间的性质，又可作平移作图的依据。例3： 如下图所示，经过平移，△ABC的边AB平移到了EF处，请画出平移后的图形△EFGABCFE解答：解法一：如图甲所示，连结AE，过点C作CG//AE，且CG

AE，连结EG，FG，则△EFG即为所求的三角形。解法二：如图乙所示，过E作EG//AC，且使EG

AC，连结FG，则△EFG即为所求的三角形。ABCFGE甲ACFGEB乙解法三：如图乙，以E为圆心，AC的长为半径画弧；再以F为圆心，BC的长为半径画弧；两弧交于点G，连结EG，FG，则△EFG即为所求的三角形。GACFGEB乙例4： 如下图，AB

CD，画出线段AB平移后的线段DE，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长，平移后所得的线段DE与线段DC相等吗？

DEC与DCE相等吗？试说明理由。ABCD解答：

正确画法见右下图，线段DE与线段DC相等；

DEC

DCE。 理由：由图形平移的特征可知：ABCDE例5： 有一条河流，两岸分别有A、B两个村庄，假设河岸为两条平行直线；要在河上架一座垂直于河岸的桥梁，问怎样造桥，使得A、B两地行走路线最短？BQPabA 将图中的PQ沿QB的方向平移，距离为QB，得到BB

，连结B

A，与a有交点P

，过P

作P

Q

b，交b于Q

点，那么P

Q

即为所求。B

Q

P

ABQPab略证：因为P

Q

PQ（定值），它们的长度、方向均不变故AP

PQ

QB求最小值实际上是求AP

QB的最小值，通过平移，我们可知：QB

PB

，且P

Q

相当于B

B沿B

A方向的平移，这样有：BQ

B

P

，故AP

BQ

AP

P

B

AB

，因为“两点之间，线段最短”，故AB

是最小值。答：桥道在P

Q

处，A、B两地行走路线最短B

Q

P

ABQPab例6：

如下图，矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一个阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）。 A.bc

ab

ac

c2 B.ab

bc

ac

c2 C.a2

ab

bc

ac D.b2

bc

a2

abccABCDba分析与解答： 本题也可把图中两阴影部分平移成下图所示的图形，则空白部分面积不难求出，图中四块空白图形可组成长

为(a

c)、宽为(b

c)的矩形，因此，空白部分面积为： (a

c)(b

c)

ab

ac

bc

c2，故选B。ABCDccba例7:

如图，四边形ABCD中，AB//CD，

D2B，若AD

，AB

b，求CD的长。（第十二届“希望杯”初二第一试）DACB略解：将CB沿CD方向平移使C与D重合，则有CB//DB

，

B

DB

A，B

CDB

，又因为D2B，所以ADB

DB

A，所以AD

AB

a，可求出

CD的长为b

aDACBB

练习1.图形的操作过程（本题中四个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向边长均为b）：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1B2B2B1（即阴影部分）；在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）。A1B1A2B2(1)(3)(4)小路草地草地(2)A1B1A3B3A2B2（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影。（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：

S1______,S2______,S3______,（3）联想与探索：如图④所示，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。解答：（1）如图所示（2）S1(a1)b

S2(a1)b

S3(a1)b（3）草地面积是(a1)b，将小路沿两边沿剪开，把左边草地向右平移与右边的草地拼成一个长方形。A1B1A3B3A2B2A4B4练习2.如图所示，在长方形ABCD中，AB10cm，BC6cm，试问将长方形ABCD沿着AB方向平移多少才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm2？DAHECBGF解答：设长方形EFGH为平移后的长方形位置，由平移的特征可知，点E、F、G、H分别是点A、B、C、D平移后的对应点，且点D、H、C、G在同一条直线上，点A、E、B、F在另一条直线上，从而长方形EBCH即是重叠部分，由EB

BC24cm可得EB4cm，则AE

AB

EB6cm，又因为点A与点E是对应点，所以线段AE的长度就是长方形ABCD平移到长方形EFGH位置的距离。练习3.如图所示△DEF是等边三角形ABC沿线段BC方向平移得到的，请你想一想，图中共有多少个等边三角形？多少个平行四边形？AFDGECB解答：图中一共有4个等边三角形，它们分别是△ABC、△DEF、△AGD和△GEC，图中一共有两个平行四边形，它们分别是四边形ABED和四边形ACFD。AFDGECB练习4.如图，线段AB

CD，AB与CD相交于O，且AOC60°，CE是由AB平移所得，则AC

BD与AB的大小关系是 A.AC

BD

AB B.AC

BD

AB C.AC

BD

AB D.无法确定ADOECB解答：连结BE、DE，因为CE是由AB平移所得到的，所以AB//CE，且AB

CE，AC

BE，则有CD

CE，△CDE为等腰三角形，又因为AOC60°，所以DCE60°，则△CED为等边三角形，DE

AB，而AC

BD转化BE

DE，在△DBE中DE

BE

DB，所以AC

BD

AB。而当点B在DE上时，AC

BD

AB，这种特殊情况不能不考虑。所以答案为AC

BD

AB，答案选C。ADOECB练习5.如图所示，河的两岸分别有A、B两个村庄，假设河岸为两条平行直线，村庄A已有两条修建好的道路AC、AD、AC

AD，且C、D之间的连线平行于河岸，要在河上修架一座桥梁，问如何建桥，能利用已有的道路且使从A到B的行走路线最短？abBADC解答：因C点在河流方向上与B点的距离比D点与B点的距离小，故可利用AC这条道路，作图如下，EF即为所建