期权及其定价

第六章期权及其定价

前面已经学习的资本资产定价模型和套利定价模型标志着分析型的现代金融和财务理论开始走向成熟。而最具革命性的里程碑式的突破性成果，则是布莱克和舒尔斯在1973年提出的第一个期权定价公式。期权是经济和金融理论中最伟大的发现之一。Black-Schocles期权定价公式的提出不仅使其作者之一的舒尔斯荣获诺贝尔经济学奖（布莱克已去世），而且也使期权这一衍生工具蓬勃发展,引发了被金融理论界所称道的“期权革命”。1第一节期权市场介绍一.什么是期权(option)？(P386-)

期权是未来的一种选择权，它赋予期权的持有者（购买者、多头）一种规定的权利，可以按预先敲定的价格购买或出售一定数量和一定品质的标的资产；但持有者并不需要承担相应的义务，也就是说，如果期权持有者觉得执行这种权利对自己不利，他可以不去执行。可见，期权的持有者只有权利而没有义务，因此必须为拥有这项权利付费，这就是购买期权的费用，即期权的价格。引出期权的定价问题。注意期权是一类衍生证券，期权的定价问题就是一类衍生证券的定价问题。2第一节期权市场介绍二.期权交易及合约1.场外交易（OTC）期权：(P388)

期权合约的条款可根据交易的需要而定。合约非标准化，交易成本高2.场内交易期权：(P388)

标准化交易合约，增加了任何特定期权的交易深度，从而降低了交易成本。高效率，低成本。3第一节期权市场介绍二.期权交易及合约3.标准化期权合约的构成要素（1）期权的买方（多头、持有者）：购买期权，支付期权费（即期权价格），获得权利。（2）期权的卖方（空头、出售者）：出售期权，获得期权费（即期权价格），具有接受买方选择的义务。（3）期权的标的资产：可以是商品，也可以是金融资产。有商品期权，金融期权。（4）执行价格（敲定价格）：是事先确定的期权持有者行使权利买入或卖出标的资产的价格。（5）到期日：期权权利是有时间限制的，超过这一时间界限期权合约所赋予的权利就会失效。期权权利开始失效的那一天称为到期日。4第一节期权市场介绍二.期权交易及合约3.标准化期权合约的构成要素（6）是否可以提前执行：如果期权合约赋予的权利可以在到期日前的任何时间行使，称为美式期权；如果期权合约赋予的权利只能在到期日行使，称为欧式期权。欧式期权比美式期权简单，美式期权的一些性质可以从欧式期权中推导出来。（7）合约规模：标准的期权合约上都标明有可以购买或出售的标的资产的数量。美国的一份期权合约的规模为100股股票。（8）期权费（期权价格）：是买方为获取权利而向卖方支付的费用，它是期权合约中的唯一变量，也就是期权的市场价格，其大小取决于期权合约的性质、到期期限及执行价格等各种因素，其确定颇费周折。注意，不管期权有没有被执行，卖方始终持有期权费。5第一节期权市场介绍二.期权交易及合约4.期权与股票的比较（1）相似之处：都是挂牌的证券；可以通过买入价和卖出价进行交易；投资者都可以追踪实时交易信息。（2）区别：股票可以无限期持有，而期权都有到期日；股票有固定的数目，而期权没有固定的数目，其流通量仅仅取决于乐意接受和赋予这些权利的买方和卖方的数量；股票给予持有者分享公司的所有权、股利等，而期权持有者分享的仅仅是股票价格波动可能带来的潜在收益。6第一节期权市场介绍二.期权交易及合约5.期权的分类（1）欧式期权和美式期权（2）商品期权和金融期权（3）场内交易期权和场外交易期权7第一节期权市场介绍二.期权交易及合约5.期权的分类（4）看涨期权（买权）和看跌期权（卖权）(P386-387)

看涨期权(买权)是这样一份合约：看涨期权持有者有权利在期权到期日以内或在到期日向期权出售者以执行价格购买一定数量的标的资产。买权持有者之所以要购买这一权利，是因为他对标的资产的价格看涨。

看跌期权(卖权)是这样一份合约：看跌期权持有者有权利在期权到期日以内或在到期日向期权出售者以执行价格出售一定数量的标的资产。卖权持有者之所以要购买这一权利，是因为他对标的资产的价格看跌。8第一节期权市场介绍二.期权交易及合约6.期权的常用记号（股票期权）（出售一股标的资产）执行价格:X

；到期时刻：T；

t时刻标的资产价格：S(t)t时刻美式看涨期权（买权）价格记为C(t)t时刻美式看跌期权（卖权）价格记为P(t)t时刻欧式看涨期权（买权）价格记为c(t)t时刻欧式看跌期权（卖权）价格记为p(t)9第一节期权市场介绍二.期权交易及合约7.期权的价值状态（在期权有效期内变化）(P387)如果期权立即执行，期权持有者具有正值的现金流，则期权处于实值状态，称为实值期权；如果期权立即执行，期权持有者具有负值的现金流，则期权处于虚值状态，称为虚值期权；如果期权立即执行，期权持有者的现金流为零，则期权处于两平状态，称为两平期权。10第一节期权市场介绍二.期权交易及合约8.期权到期时的价值（不考虑期权费）（1）买权多头：C(T)或c(T)=max(S(T)-X,0)（2）买权空头：-max(S(T)-X,0)（3）卖权多头：P(T)或p(T)=max(X-S(T),0)（4）卖权空头：-max(X-S(T)

,0)在任何一个时点立即执行期权的收益？11第一节期权市场介绍二.期权交易及合约9.场内期权的结束方式第一，对冲平仓。期权持有者卖出所持有的期权平仓或期权出售者买入售出期权平仓。第二，期权买方在有效期内履行合约。第三，期权买方到期放弃权利。三.期权策略(P393-397)阅读四.类似期权的证券(P399)阅读五.新型期权(P403-404)阅读12第二节期权定价一.期权定价导言1.期权的内在价值与时间价值(P411)（1）期权的内在价值期权的内在价值是立即执行期权的损益与零二者之中的极大值。（2）期权的时间价值期权的时间价值是期权的实际价格与内在价值的差。其来源是期权持有者只有权利没有义务，最多损失期权费。只要期权未到期，随着标的资产价格波动，存在着潜在的获利机会。是一种波动性价值。（3）期权的价值=内在价值+时间价值在到期日，所有期权的时间价值都为零，期权价值变为内在价值。13第二节期权定价一.期权定价导言2.期权价值的决定因素（股票期权）（1）股票价格（2）执行价格（3）股票价格波动率：由于期权持有者最多损失有限的期权费，但可能在股票价格的大幅波动中获利丰厚。所以期权价值会随着股票价格波动率的上升而增加。（4）到期期限：对美式期权和欧式期权的影响不同。由于到期期限长的美式期权包含了到期期限短的美式期权的获利机会，而且还有到期期限短的美式期权所没有的获利机会，所以期期限长的美式期权价值总是不低于到期期限短的美式期权的价值。而欧式期权由于只能到期执行，到期期限的增加不一定能增加其价值。14第二节期权定价一.期权定价导言2.期权价值的决定因素（股票期权）(P411)（5）无风险利率当利率增加时，股票价格的预期增长率也倾向于增加；同时期权持有者收到的未来现金流的现值会减少。这两种效应都会减少看跌期权的价值，看跌期权价值会减少。对看涨期权，前者增加其价值，后者减少其价值，可以证明前一个效应起主导作用，所以看涨期权价值会增加。（6）股票预期收益（红利）红利发放会降低股票价格，因此减少看涨期权价值，增加看跌期权价值。15变量欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权股票价格+-+-执行价格-+-+股票波动率++++到期期限？？++无风险利率+-+-红利-+-+16第二节期权定价二.期权价格的特征假定不存在套利机会。记号同前，无风险利率记为股票价格波动率记为。

[t,T]上无风险利率的折现因子记为。

B类套利：假如在一个市场中，人们可以身无分文入市，进行资产的买卖，能够保证最终不欠债，且有正概率的机会获得赢利。此类套利称为B类套利。即投资者的成本非正，但却有机会获得正的收益。一个例子是免费的彩票。17第二节期权定价二.期权价格的特征1.期权价值绝不为负。否则，买入期权，会存在B类套利机会。2.具有相同执行价格的美式期权的价值总不低于欧式期权的价值18

第二节期权定价

二.期权价格的特征2.具有相同执行价格的美式期权的价值总不低于欧式期权的价值。

证明：反证法。假如至少对某个则投机者可以在时刻t卖空一份欧式看涨期权，获得现金c(t)；同时买入一份美式看涨期权，支出现金C(t),再将余款c(t)-C(t)>0存入银行（利率

）,中途不执行美式看涨期权。在到期时刻T,可以将持有的美式看涨期权冲抵欧式看涨期权的空头平仓。总共获得无风险收益为[c(t)-C(t)]>0,这与市场无套利矛盾。故。同理可证看跌期权。19第二节期权定价二.期权价格的特征3.(看涨期权的价值上限)看涨期权的价值总不高于标的股票自身的价值。证明：反证法。假如至少对某个则投机者可以在时刻t买入一股股票，支出现金S(t),同时卖出一份相应股票的看涨期权，获得现金C(t),将净收入C(t)-S(t)>0存入银行,并持有该股票及美式看涨期权空头。这样在未来任何情况下都可以套利。如果该期权在某个时刻则他可以将持有的股票冲抵，获得现金X，从而共获得利润[C(t)–S(t)]>0;如果该期权最终没有执行，则在时刻T，他出售手中股票后获利[C(t)–S(t)]+S(T)>0。与市场无套利矛盾。故。20第二节期权定价二.期权价格的特征4.(看涨期权的价值下限)假定在[0,T]上，标的股票无红利配发，则有：（1）欧式看涨期权价值下限：在到期时刻T，有：（2）美式看涨期权价值下限：证明（1）反证法。卖空股票，买入欧式看涨期权，将净收入存入银行。这样在未来任何情况下都可以套利。21第二节期权定价二.期权价格的特征5.(看跌期权的价值上限)看跌期权的价值总不高于执行价格，有：（1）（2）证明:(1)反证法。若至少对某个t∈[0,T]，有这样套利者可以在时刻t出售一份欧式看跌期权，获期权费p(t),将收入存入银行。在时刻T，存款变p(t);另一方面，当该看跌期权将会被执行，套利者支付现金X购买股票,并卖出得市价S(T),最终获利

;当期权将不被执行，套利者最终获利

。与无套利矛盾。故（1）成立。22第二节期权定价二.期权价格的特征6.(看跌期权的价值下限)假定在[0,T]上，标的股票无红利配发，则有：（1）欧式看跌期权价值下限：在到期时刻T，有：（2）美式看跌期权价值下限7.距失效日时间长的美式期权的价值绝不低于距失效日时间短的同一个美式期权的价值。23第二节期权定价二.期权价格的特征8.不分红股票的美式看涨期权不可能提前执行。看涨期权不应提前执行的原因之一是由于期权提供保险。股票价格的上涨没有上限，而下跌是有下限的。当持有看涨期权而不是持有股票本身时，看涨期权保证持有者在股票价格下降到执行价格之下时不受损失。一旦该期权被执行，股票价格取代了执行价格，这种保险就消失了。另一个原因与货币的时间价值有关。越晚支付执行价格越好。9.提前执行不付红利股票的美式看跌期权可能是明智的。(P414例子)可以证明：当股票价格下降到一个很低的水平时，提前执行不付红利股票的美式看跌期权24第二节期权定价三.不分红股票的看涨期权与看跌期权之间的关系1.欧式买权与卖权之间的平价关系(P397，金72)假定在[0,T]上，标的股票无红利配发，则(具有同一执行价格和到期日的)欧式买权与卖权的价格满足下述关系：这个重要的关系称为欧式买权与卖权之间的平价关系。证明：考虑两个组合，组合1：一份欧式买权和数额为的现金组合2：一份欧式卖权和一股标的股票25第二节期权定价三.不分红股票的看涨期权与看跌期权之间的关系1.欧式买权与卖权之间的平价关系(P397，金72)注：（1）平价关系也可写为（2）平价关系表明：当标的股票价格、执行价格和无风险利率已知时，相应的欧式买权和卖权的价格可以相互导出，只要求得其中一个，就可得到另一个。26第二节期权定价三.不分红股票的看涨期权与看跌期权之间的关系2.不分红股票的美式买权与卖权之间的无套利均衡价格限定关系(金73)证明：对第一个不等式，考虑两个组合，组合1：一份美式买权和数额为

X的现金组合2：一份美式卖权和一股标的股票不论美式卖权是否提前执行，总有组合1的价值不低于组合2的价值。27第二节期权定价三.不分红股票的看涨期权与看跌期权之间的关系3.标的股票分红对期权价格的影响（1）欧式与美式看涨期权的上、下限均减小。（2）欧式与美式看跌期权的上限不变，下限增大。4.标的股票分红对是否提前执行美式期权的影响如果红利数额较大，那么美式看涨期权有可能提前执行；而美式看跌期权有可能推迟执行。28第二节期权定价四.期权定价的二叉树方法——动态复制技术1.动态完全市场如果未来只出现两种可能的状态，那么只需两项相互独立的证券就可以复制出所有其他的证券。但实际市场不可能只有两种可能状态，于是需要更多的相互独立的证券才能动态的复制其他证券，这就是市场的动态完全性问题。29第二节期权定价四.期权定价的二叉树方法——动态复制技术2.二叉树方法对期权定价的意义要对期权定价，需要对它进行复制，这涉及动态完全市场。但期权的定价问题有点特殊,它是衍生品，与其标的资产（股票)有高度的相关性，复制相对比较容易，如教材例子。期权的价值应当能够由标的股票和无风险证券动态复制出来。二叉树方法对期权定价是适用的。30第二节期权定价四.期权定价的二叉树方法——动态复制技术3.不分红股票的欧式买权1个时期的二叉树定价(金77)假设用△份标的股票和价值为L的无风险证券的组合来复制这一欧式买权，由其期末价值相同解出未知的△和L，从而由复制组合的价值求出欧式买权的价值。31第二节期权定价四.期权定价的二叉树方法——动态复制技术4.欧式买权二叉树定价的一般模型（1）记号（2）模型及定价用△份标的股票和价值为-L的无风险证券的组合来复制欧式买权,解出32第二节期权定价五.风险中性假设1.假想的风险中性的世界：对风险采取无所谓的态度。要求收益率为无风险收益率。无风险利率是折现率。2.风险中性假设如果对一个问题的分析与投资者的风险偏好无关，则可以将此问题放到一个假想的风险中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立。33第二节期权定价五.风险中性假设3.利用风险中性假设的欧式买权的二叉树定价（1）风险中性概率34第二节期权定价五.风险中性假设3.利用风险中性假设的欧式买权的二叉树定价（1）风险中性概率如果把p和1-p作为概率的话，上式就表明：买权的市场均衡价值相当于期末买权价值的预期值用无风险利率折现后的现值。一般说来，p和1-p不是真实世界里的概率。但在风险中性世界里，上式就顺理成章。p和1-p是风险中性世界里的概率，称为风险中性概率。35第二节期权定价五.风险中性假设3.利用风险中性假设的欧式买权的二叉树定价（2）风险中性假设打开了期权定价二叉树方法的技术之门36第二节期权定价六.布莱克-舒尔斯期权定价模型是连续计算收益率的股票在单位时间内的预期收益率37（完）38

如果把p和1-p作为概率的话，上式就表明：买权的市场均衡价值相当于期末买权价值的预期值用无风险利率折现后的现值。一般说来，p和1-p不是真实世界里的概率。但在风险中性世界里，上式就顺理成章。而p和1-p是风险中性世界里的概率，称为风险中性概率。（2）风险中性假设打开了期权定价二叉树方法的技术之门五.布莱克-舒尔斯期权定价模型是连续计算收益率的股票在单位时间内收益的预期收益率39402.期权价值的决定因素（股票期权）（1）股票价格（2）执行价格（3）股票价格波动率：由于期权持有者最多损失有限的期权费，但可能在股票价格的大幅波动中获利丰厚。所以期权价值会随着股票价格波动率的上升而增加。（4）到期期限：对美式期权和欧式期权的影响不同。由于到期期限长的美式期权包含了到期期限短的美式期权的获利机会，而且还有到期期限短的美式期权所没有的获利机会，所以期期限长的美式期权价值总是不低于到期期限短的美式期权的价值。而欧式期权由于只能到期执行，到期期限的增加不一定能增加其价值。41二.期权价格的特征假定不存在套利机会。记号同前，无风险利率记为股票价格波动率记为。

[t,T]上无风险利率的折现因子记为。

B类套利：假如在一个市场中，人们可以身无分文入市，进行资产的买卖，能够保证最终不欠债，且有正概率的机会获得赢利。此类套利称为B类套利。即投资者的成本非正，但却有机会获得正的收益。一个例子是免费的彩票。1.期权价值绝不为负。否则，买入期权，会存在B类套利机会。2.具有相同执行价格的美式期权的价值总不低于欧式期权的价值42（6）是否可以提前执行：如果期权合约赋予的权利可以在到期日前的任何时间行使，称为美式期权；如果期权合约赋予的权利只能在到期日行使，称为欧式期权。欧式期权比美式期权简单，美式期权的一些性质可以从欧式期权中推导出来。（7）合约规模：标准的期权合约上都标明有可以购买或出售的标的资产的数量。美国的一份期权合约的规模为100股股票。（8）期权费（期权价格）：是买方为获取权利而向卖方支付的费用，它是期权合约中的唯一变量，也就是期权的市场价格，其大小取决于期权合约的性质、到期期限及执行价格等各种因素，其确定颇费周折。注意，不管期权有没有被执行，卖方始终持有期权费。439.场内期权的结束方式第一，对冲平仓。期权持有者卖出所持有的期权平仓或期权出售者买入售出期权平仓。第二，期权买方在有效期内履行合约。第三，期权买方到期放弃权利。三.期权策略阅读四.类似期权的证券阅读五.新型期权阅读444.(看涨期权的价值下限)假定在[0,T]上，标的股票无红利配发，则有：（1）欧式看涨期权价值下限：在到期时刻T，有：（2）美式看涨期权价值下限：证明（1）反证法。卖空股票，买入欧式看涨期权，将净收入存入银行。这样在未来任何情况下都可以套利。455.(看跌期权的价值上限)看跌期权的价值总不高于执行价格，有：（1）（2）证明:(1)反证法。否则，至少对某个t∈[0,T]，有这样套利者可以在时刻t出售一份欧式看跌期权，获期权费p(t),将收入存入银行。在时刻T，存款变为p(t);另一方面，当该看跌期权将会被执行，套利者支付现金X购买股票,并卖出得市价S(T),最终获利>0;当期权将不被执行，套利者最终获利>0。与无套利矛盾。故（1）成立。463.(看涨期权的价值上限)看涨期权的价值总不高于标的股票自身的价值。证明：反证法。假如至少对某个则投机者可以在时刻t买入一股股票，支出现金S(t),同时卖出一份相应股票的看涨期权，获得现金C(t),将净收入C(t)-S(t)>0存入银行,并持有该股票及美式看涨期权空头。这样在未来任何情况下都可以套利。如果该期权在某个时刻，则他可以将持有的股票冲抵，获得现金X，从而共获得利润[C(t)–S(t)]>0;如果该期权最终没有执行，则在时刻T，他出售手中股票后获利[C(t)–S(t)]+S(T)>0。与市场无套利矛盾。故。477.期权的价值状态（在期权有效期内变化）如果期权立即执行，期权持有者具有正值的现金流，则期权处于实值状态，称为实值期权；如果期权立即执行，期权持有者具有负值的现金流，则期权处于虚值状态，称为虚值期权；如果期权立即执行，期权持有者的现金流为零，则期权处于两平状态，称为两平期权。8.期权到期时的价值（不考虑期权费）（1）买权多头：C(T)或c(T)=max(S(T)-X,0)（2）买权空头：-max(S(T)-X,0)（3）卖权多头：P(T)或p(T)=max(X-S(T)

,0)（4）卖权空头：-max(X-S(T)

,0)9.场内期权的结束方式48（5）无风险利率当利率增加时，股票价格的预期增长率也倾向于增加；同时期权持有者收到的未来现金流的现值会减少。这两种效应都会减少看跌期权的价值，看跌期权价值会减少。对看涨期权，前者增加其价值，后者减少其价值，可以证明前一个效应起主导作用，所以看涨期权价值会增加。（6）股票预期收益（红利）红利发放会降低股票价格，因此减少看涨期权价值，增加看跌期权价值。496.(看跌期权的价值下限)假定在[0,T]上，标的股票无红利配发，则有：（1）欧式看跌期权价值下限：在到期时刻T，有：（2）美式看跌期权价值下限50（4）看涨期权（买权）和看跌期权（卖权）看涨期权是这样一份合约：看涨期权持有者有权利在期权到期日以内或在到期日向期权出售者以执行价格购买一定数量的标的资产。买权持有者之所以要购买这一权利，是因为他对标的资产的价格看涨。看跌期权是这样一份合约：看跌期权持有者有权利在期权到期日以内或在到期日向期权出售者以执行价格出售一定数量的标的资产。卖权持有者之所以要购买这一权利，是因为他对标的资产的价格看跌。6.期权的常用记号（股票期权）（出售一股标的资产）执行价格:X

；到期时刻：T；t时刻标的资产价格：S(t)

t时刻美式看涨期权（买权）价格记为C(t)t时刻美式看跌期权（卖权）价格记为P(t)t时刻欧式看涨期权（买权）价格记为c(t)t时刻欧式看跌期权（卖权）价格记为p(t)514.期权与股票的比较（1）相似之处：都是挂牌的证券；可以通过买入价和卖出价进行交易；投资者都可以追踪实时交易信息。（2）区别：股票可以无限期持有，而期权都有到期日；股票有固定的数目，而期权没有固定的数目，其流通量仅仅取决于乐意接受和赋予这些权利的买方和卖方的数量；股票给予持有者分享公司的所有权、股利等，而期权持有者分享的仅仅是股票价格波动可能带来的潜在收益。5.期权的分类（1）欧式期权和美式期权（2）商品期权和金融期权（3）场内交易期权和场外交易期权523.不分红股票的欧式买权1个时期的二叉树定价假设用△份标的股票和价值为L的无风险证券的组合来复制这一欧式买权，由其期末价值相同解出未知的△和L，从而由复制组合的价值求出欧式买权的价值。4.欧式买权二叉树定价的一般模型（1）记号（2）模型及定价用△份标的股票和价值为-L的无风险证券的组合来复制欧式买权,解出53四.期权定价的二叉树方法——动态复制技术1.动态完全市场如果未来只出现两种可能的状态，那么只需两项相互独立的证券就可以复制出所有其他的证券。但实际市场不可能只有两种可能状态，于是需要更多的相互独立的证券才能动态的复制其他证券，这就是市场的动态完全性问题。2.二叉树方法对期权定价的意义要对期权定价，需要对它进行复制，这涉及动态完全市场。但期权的定价问题有点特殊,它是衍生品，与其标的资产（股票)有高度的相关性，